Eléments propres d'un endomorphisme ELEMENTS PROPRES D'UN ENDOMORPHISME E désigne un K espace vectoriel de dimension finie n (n ∈ N * ) . 1) Sous espaces stables définition Soient u un endomorphisme de E, F un sous espace vectoriel de E. On dit que F est stable par u si u ( F ) ⊂ F . Si F est un sous espace stable par u, la restriction de u à F induit un endomorphisme de F, noté u F défini par : ∀x ∈ F , u F ( x) = u ( x) . théorème (caractérisation matricielle d'un sous espace stable) Soit F un sous espace vectoriel non nul de E. Soit e = (e1 ,..., en ) une base de E obtenue en complétant une base (e1 ,..., e p ) de F. Alors f est stable par u si et seulement si mat (u; e) est de la ⎛ A B⎞ ⎟⎟ , avec A ∈ M p (K ) , C ∈ M p , n− p ( K ) , 0 étant la matrice nulle à n-p lignes et p forme ⎜⎜ ⎝ 0 C⎠ colonnes démonstration 2) Eléments propres d'un endomorphisme E désigne ici un K espace vectoriel, non nécessairement de dimension finie. définition (valeur propre) Soit u un endomorphisme de E. On dit que λ ∈ K est valeur propre de u si u − λid E est non injectif, c'est-à-dire s'il existe x ∈ E − {0} tel que u ( x) = λx . définition (spectre) On appelle spectre d'un endomorphisme u de E, noté Sp(u ) , l'ensemble des valeurs propres de u. définition (vecteur propre) On dit que x ∈ E est vecteur propre d'un endomorphisme u si x ≠ 0 et s'il existe λ ∈ K tels que u ( x ) = λx . définition (sous espace propre) Soit u un endomorphisme de u et λ ∈ Sp(u ) . On appelle sous espace propre de u associé à la valeur propre λ , le sous espace Eu (λ ) = Ker (u − λid E ) . © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 1/5 Eléments propres d'un endomorphisme proposition Soit u un endomorphisme de E. Soit (λ i )1≤i≤ n ( n ≥ 2 ) une famille de valeurs propres de u deux à n deux distinctes. Alors la somme ∑E i =1 u (λ i ) est directe. démonstration Par récurrence sur n. Notons P(n) : "si (λ i )1≤i≤ n ( n ≥ 2 ) est une famille de valeurs propres de u deux à deux distinctes, n alors la somme ∑E i =1 u (λ i ) est directe". • n = 2 . Soit λ1 ,λ 2 deux valeurs propres de u avec λ1 ≠ λ 2 . Soit x ∈ Eu (λ1 ) ∩ Eu (λ 2 ) . Alors u ( x) = λ1 x et u ( x) = λ 2 x . Donc (λ1 − λ 2 ) x = 0 et donc x = 0 (car λ1 ≠ λ 2 ). Donc Eu (λ1 ) ∩ Eu (λ 2 ) = {0} et donc Eu (λ1 ) + Eu (λ 2 ) = Eu (λ1 ) ⊕ Eu (λ 2 ) . P(2) est donc vraie. • Soit n ∈ N , n ≥ 2 .Supposons P(n) vraie. Soit (λ i )1≤i≤n+1 une famille de valeurs propres de u deux à deux distinctes. On a n n i =1 i =1 ∑ Eu (λ i ) = ⊕ Eu (λ i ) car P(n) est vraie. n Soit x ∈ Eu (λ n +1 ) ∩ ∑ Eu (λ i ) . i =1 ⎧u ( x) = λ n+1 x ⎪ n n Alors ⎨ . ∃ ∈ λ = ( x ,..., x ) E ( ), x xi ∑ ∏ n u i ⎪ 1 i =1 i =1 ⎩ n ⎛ ⎞ u ( x ) = u ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ n = ∑ u ( xi ) i =1 n = ∑ λ i xi i =1 n Or u ( x) = λ n+1 x = λ n +1 ∑ xi i =1 n donc ∑λ x − λ n+1 ∑ xi = 0 ∑ (λ − λ i ) xi = 0 . i =1 n donc n i =1 i i n +1 i =1 Or, ∀i ∈ N n , (λ i − λ n+1 ) xi ∈ Eu (λ i ) donc n n i =1 i =1 ∑ (λ i − λ n+1 ) xi ∈ ∑ Eu (λ i ) . La somme n ∑E i =1 u (λ i ) étant directe, la décomposition est unique (voir chapitre sur sommes et sommes directes de sev) donc : ∀i ∈ N n , (λ i − λ n+1 ) xi = 0 donc ∀i ∈ N n , xi = 0 car λ i ≠ λ n +1 . n Donc x = 0 donc Eu (λ n+1 ) ∩ ∑ Eu (λ i ) = {0} . i =1 © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 2/5 Eléments propres d'un endomorphisme n +1 Donc ∑E i =1 • n +1 u (λ i ) = ⊕ Eu (λ i ) donc P(n+1) est vraie. i =1 Donc : ∀n ∈ N , n ≥ 2, P(n) est vraie. Corollaire (i) Un vecteur propre est associé à une seule valeur propre. (ii) Si ( x1 ,..., xn ) est une famille de vecteurs propres associé à des valeurs propres deux à deux distinctes, alors cette famille est libre. proposition Soit u un endomorphisme de E et λ ∈ Sp (u ) . (i) ∀P ∈ K [ X ], P(λ) ∈ Sp( P (u )) (ii) ∀k ∈ N , λk ∈ Sp(u k ) démonstration P( X ) − P(λ ) est divisible par X − λ (car ce polynôme admet λ comme racine). ∃Q ∈ K [ X ], P( X ) − P(λ ) = ( X − λ)Q( X ) . Donc P (u ) − P (λ )id E = Q (u ) D (u − λid E ) donc Ker (u − λid E ) ⊂ Ker ( P (u ) − P (λ)id E ) . Comme Ker (u − λid E ) ≠ {0} car λ ∈ Sp(u ) , il en résulte que Ker ( P (u ) − P (λ)id E ) ≠ {0} donc P (u ) − P (λ )id E est non injectif donc P(λ) ∈ Sp ( P(u )) . (ii) on applique (i) avec P ( X ) = X k . proposition Soit u un endomorphisme de E.Si u est inversible, alors 0 ∉ Sp(u ) et on a : ⎧1 ⎫ Sp (u −1 ) = ⎨ , λ ∈ Sp(u )⎬ . ⎩λ ⎭ démonstration Si u est inversible, alors u est injective donc Ker (u ) = {0} et donc 0 ∉ Sp(u ) . λ ∈ Sp(u −1 ) ⇔ ∃x ∈ E − {0}, u −1 ( x) = λx ⇔ ∃x ∈ E − {0}, x = u (λx) ⇔ ∃x ∈ E − {0}, x = λu ( x) 1 ⇔ ∃x ∈ E − {0}, u ( x) = x λ © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 3/5 Eléments propres d'un endomorphisme 3) Polynôme caractéristique E désigne un k espace vectoriel de dimension finie n ( n ∈ N * ). théorème Soit A ∈ M n (K ) . det( A − X I n ) est un polynôme de degré n. Si a et b sont semblebles, alors det( A − X I n ) = det( B − X I n ) . démonstration Notons A = (ai j )1≤i≤n et A − X I n = ( pi j )1≤i≤ n . 1≤ j ≤ n 1≤ j ≤ n ⎧⎪si i = j , pi i = ai i − X . ∀i, j ∈ N n , ⎨ ⎪⎩si i ≠ j , pi j = ai j det( A − X I n ) = • n ∑ ε(σ) ∏ pσ(i ), i σ∈S n i =1 n n n i =1 i =1 i =1 si σ = id N n , ∏ pσ ( i ), i = ∏ pi i = ∏ (ai i − X ) donc n ∏p σ ( i ), i est un polynôme de degré n et de i =1 coefficient dominant (−1) n . • n si σ ≠ id N n , ∏ pσ ( i ), i est un polynôme de degré inférieur ou égal à n-1 donc det( A − X I n ) est i =1 un polynôme de degré n, de coefficient dominant (−1) n . • Soient A, B ∈ M n ( K ) deux matrices semblables. ∃P ∈ GLn ( K ), B = P −1 AP . det( B − X I n ) = det( P −1 AP − X I n ) = det( P −1 AP − P −1 ( X I n ) P) = det( P −1 ( A − X I n ) P) = det( P −1 ) × det( A − X I n ) × det( P ) = det( A − X I n ) ( det( P −1 ) × det( P) = 1 ) définition (polynôme caractéristique d'une matrice) Le polynôme χ A ( X ) = det( A − X I n ) est appelé polynôme caractéristique de A. définition Soit u un endomorphisme de E. Soit e une base de E et A = mat (u; e) . Le polynôme χ u ( X ) = det( A − X I n ) est indépendant de la base choisie. χ u est appelé polynôme caractéristique de u. théorème Soit u un endomorphisme de E (resp. A ∈ M n (K ) ). λ est valeur propre de u (resp. de A) si et seulement si λ est racine du polynôme caractéristique de u (resp. de A). © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 4/5 Eléments propres d'un endomorphisme démonstration λ ∈ Sp (u ) ⇔ Ker (u − λid E ) ≠ {0} ⇔ det(u − λid E ) = 0 ⇔ χ u (λ ) = 0 définition On dit que λ ∈ K est valeur propre de u d'ordre m si λ est racine de χ u d'ordre de multiplicité m. proposition Soit u un endomorphisme de E et λ une valeur propre de u d'ordre m. Alors 1 ≤ dim( Eu (λ)) ≤ m . démonstration • λ est valeur propre de u. Soit x un vecteur propre associé. x ∈ Eu (λ ) et x ≠ 0 donc dim( Eu (λ)) ≥ 1 . • Soit v l'endomorphisme de Eu (λ ) induit par u. Soit p = dim( Eu (λ )) . Soit e une base de Eu (λ) . mat (v; e) = diag (λ,..., λ) , λ apparaissant p fois. χ v ( X ) = (λ − X ) p et χ v divise χ u donc p ≤ m , c'est-à-dire dim( Eu (λ)) ≤ m . © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 5/5