Eléments propres d`un endomorphisme

Eléments propres d'un endomorphisme
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ELEMENTS PROPRES D'UN ENDOMORPHISME
E désigne un K espace vectoriel de dimension finie n )(* Nn∈.
1) Sous espaces stables
définition
Soient u un endomorphisme de E, F un sous espace vectoriel de E. On dit que F est stable par u si
FFu ⊂)( . Si F est un sous espace stable par u, la restriction de u à F induit un endomorphisme de
F, noté F
u défini par : )()(, xuxuFx F=
∈
∀.
théorème (caractérisation matricielle d'un sous espace stable)
Soit F un sous espace vectoriel non nul de E. Soit ),...,( 1n eee
=
une base de E obtenue en
complétant une base ),...,( 1p
ee de F. Alors f est stable par u si et seulement si );( eumat est de la
forme ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
C
BA
0, avec )(KMA p
∈
, )(
,KMC pnp −
∈
, 0 étant la matrice nulle à n-p lignes et p
colonnes
démonstration
2) Eléments propres d'un endomorphisme
E désigne ici un K espace vectoriel, non nécessairement de dimension finie.
définition (valeur propre)
Soit u un endomorphisme de E. On dit que K
∈
λ
est valeur propre de u si E idu λ− est non injectif,
c'est-à-dire s'il existe
{}
0−∈ Ex tel que xxu
λ
=
)( .
définition (spectre)
On appelle spectre d'un endomorphisme u de E, noté )(uSp , l'ensemble des valeurs propres de u.
définition (vecteur propre)
On dit que Ex∈ est vecteur propre d'un endomorphisme u si 0
≠
x et s'il existe K∈λ tels que
xxu λ=)(.
définition (sous espace propre)
Soit u un endomorphisme de u et )(uSp∈λ . On appelle sous espace propre de u associé à la valeur
propre λ, le sous espace )()( Eu iduKerE
λ
−
=λ .

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proposition
Soit u un endomorphisme de E. Soit nii ≤≤
λ
1
)( (2≥n) une famille de valeurs propres de u deux à
deux distinctes. Alors la somme ∑
=
λ
n
iiu
E
1)( est directe.
démonstration
Par récurrence sur n.
Notons P(n) : "si nii ≤≤
λ1 )( (
2≥n) est une famille de valeurs propres de u deux à deux distinctes,
alors la somme ∑
=
λ
n
iiu
E
1)( est directe".
• 2=n. Soit 21,λλ deux valeurs propres de u avec 21
λ
≠
λ
.
Soit )()( 21 λ∩λ∈ uu EEx . Alors xxu 1
)(
λ
= et xxu 2 )(
λ
=
.
Donc 0)( 21 =λ−λ x et donc 0=x (car 21
λ
≠
λ
).
Donc
{
}
0)()( 21 =λ∩λ uu EE et donc )()()()( 2121
λ
⊕
λ
=
λ
+
λ
uuuu EEEE . P(2) est donc vraie.
• Soit 2,≥∈ nNn .Supposons P(n) vraie. Soit 11
)( +≤≤
λ
nii une famille de valeurs propres de u deux
à deux distinctes. On a )()( 1
1iu
n
i
n
iiu EE λ=λ ⊕
∑=
=
car P(n) est vraie.
Soit ∑
=
+λ∩λ∈ n
iiunu EEx 1
1)()(.
Alors ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=λ∈∃
λ=
∏∑
==
+
n
i
n
iiiun
n
xxExx
xxu
11
1
1
),(),...,(
)(
.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∑
=
n
ii
xuxu 1 )(
∑
=
=n
ii
xu
1)(
∑
=
λ= n
iii x
1
Or ∑
=
++ λ=λ= n
iinn xxxu 1
11
)(
donc 0
1
1
1
=λ−λ ∑∑ =
+
=
n
iin
n
iii xx
donc ∑
=
+=λ−λ
n
iiin x
110)( .
Or, )()(, 1iuinin ExNi λ
∈
λ−λ∈∀ + donc ∑∑ ==
+λ∈λ−λ n
iiu
n
iini Ex 11 1)()(. La somme )(
1
∑
=
λ
n
iiu
E étant
directe, la décomposition est unique (voir chapitre sur sommes et sommes directes de sev) donc :
0)(, 1=λ−λ∈∀ +inin xNi donc 0,
=
∈∀ in xNi car 1+
λ
≠
λ
ni .
Donc 0=x donc
{}
∑
=
+=λ∩λ n
iiunu EE 1
10)()(.

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Donc )()(
1
1
1
1i
n
iu
n
i
iu EE λ=λ
∑⊕
+
=
+
=
donc P(n+1) est vraie.
• Donc : ,2, ≥∈∀ nNn P(n) est vraie.
Corollaire
(i) Un vecteur propre est associé à une seule valeur propre.
(ii) Si ),...,( 1n
xx est une famille de vecteurs propres associé à des valeurs propres deux à deux
distinctes, alors cette famille est libre.
proposition
Soit u un endomorphisme de E et )(uSp∈λ .
(i) ))(()(],[ uPSpPXKP ∈λ∈∀
(ii) )(, kk uSpNk ∈λ∈∀
démonstration
)()( λ− PXP est divisible par λ−X (car ce polynôme admet
λ
comme racine).
)()()()(],[ XQXPXPXKQ λ−
=
λ−∈∃ .
Donc )()()()( EE iduuQidPuP λ−=λ− D
donc ))()(()( EE idPuPKeriduKer λ−⊂λ− .
Comme
{
}
0)( ≠λ− E iduKer car )(uSp∈λ , il en résulte que
{
}
0))()(( ≠λ− E idPuPKer donc
E
idPuP )()( λ− est non injectif donc ))(()( uPSpP
∈
λ
.
(ii) on applique (i) avec k
XXP =)(.
proposition
Soit u un endomorphisme de E.Si u est inversible, alors )(0 uSp
∉
et on a :
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧∈λ
λ
=
−)(,
1
)( 1uSpuSp .
démonstration
Si u est inversible, alors u est injective donc
{
}
0)(
=
uKer et donc )(0 uSp
∉
.
{}
xxuExuSp λ=−∈∃⇔∈λ −− )(,0)( 11
{}
)(,0 xuxEx λ=−∈∃⇔
{}
)(,0 xuxEx λ=−∈∃⇔
{}
xxuEx λ =−∈∃⇔ 1 )(,0

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3) Polynôme caractéristique
E désigne un k espace vectoriel de dimension finie n ( *
Nn∈).
théorème
Soit )(KMA n ∈. )det( n IXA
−
est un polynôme de degré n. Si a et b sont semblebles, alors
)det()det( nn IXBIXA −=− .
démonstration
Notons nj niji
aA ≤≤ ≤≤ =1
1
)( et nj nijin pIXA ≤≤ ≤≤ =− 1
1
)( .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≠
−==
∈∀
jiji
iiii
napjisi
Xapjisi
Nji ,
,
,,.
∑∏
∈σ =
σ
σε=−
n
S
n
iiin pIXA 1),(
)()det(
• si ∏∏∏ ===
σ−===σ n
iii
n
iii
n
iiiN Xappid n111 ),( )(, donc ∏
=
σ
n
iii
p
1),( est un polynôme de degré n et de
coefficient dominant n
)1(−.
• si ∏
=
σ
≠σ n
iiiN pid n1),(
, est un polynôme de degré inférieur ou égal à n-1 donc )det( n IXA− est
un polynôme de degré n, de coefficient dominant n
)1(−.
• Soient )(, KMBA n
∈ deux matrices semblables. APPBKGLP n1 ),( − =∈∃ .
)det()det( 1nn IXAPPIXB −=− −
))(det( 11 PIXPAPP n
−− −=
))(det( 1PIXAP n
−= −
)det()det()det( 1PIXAP n×−×= −
)det( n
IXA−= ( 1)det()det( 1=×
−PP )
définition (polynôme caractéristique d'une matrice)
Le polynôme )det()( nA IXAX −=χ est appelé polynôme caractéristique de A.
définition
Soit u un endomorphisme de E. Soit e une base de E et );( eumatA
=
. Le polynôme
)det()( nu IXAX −=χ est indépendant de la base choisie. u
χ
est appelé polynôme caractéristique
de u.
théorème
Soit u un endomorphisme de E (resp. )(KMA n
∈
).
λ
est valeur propre de u (resp. de A) si et
seulement si λ est racine du polynôme caractéristique de u (resp. de A).

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démonstration
{}
0)()( ≠λ−⇔∈λ E iduKeruSp
0)det( =λ−⇔ E
idu
0)( =λχ⇔ u
définition
On dit que K∈λ est valeur propre de u d'ordre m si
λ
est racine de u
χ
d'ordre de multiplicité m.
proposition
Soit u un endomorphisme de E et λ une valeur propre de u d'ordre m. Alors mEdim u
≤
λ≤ ))((1.
démonstration
• λ est valeur propre de u. Soit x un vecteur propre associé. )(λ
∈
u
Ex et 0≠x donc
1))(( ≥λ
u
Edim .
• Soit v l'endomorphisme de )(λ
u
E induit par u. Soit ))((
λ
=
u
Edimp . Soit e une base de )(
λ
u
E.
),...,();( λλ= diagevmat ,
λ
apparaissant p fois. p
vXX )()( −λ=χ et v
χ
divise u χ donc m
p
≤
,
c'est-à-dire mEdim u≤λ))((.