produit scalaire

Produit scalaire :
I - Angles orientés d’un couple de vecteurs non nuls :
Soient
u
et
v
deux vecteurs non nuls.
• OM est le représentant d'origine O de u .
• ON est le représentant d'origine O de v .
• C est le cercle trigonométrique de centre O.
• OM
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥ coupe C en M'.
• ON
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥ coupe C en N'.
• Les mesures de l'arc orienté MN' sont aussi
les mesures de l'angle u ; v
( )
.
II - Produit scalaire de deux vecteurs :
A) Définition :
Soient
u
et
v
deux vecteurs du plan, on appelle le produit scalaire de
u
par
v
le nombre réel
noté
u ⋅v
défini par :
u ⋅v =
0 si u =0 ou si v =0
u ×v ×cos u ; v
( )
si u ≠0 et v ≠0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
Exemples :
• u =3 ; v =4 ; u ; v
( )
=π
6
⇒u ⋅v =3×4×cos π
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⇒u ⋅v =6 3
 Lefebvre Corentin
Produit scalaire
- 1 -

• u =5 ; v =3
2 ; u
; v
( )
=4π
3
⇒u ⋅v =−15
4
• u =4 ; v =2 ; u ; v
( )
=π
2
⇒u ⋅v =0
Remarque :
u ⋅v =0⇔u ×v ×cos u ; v
( )
=0
⇔u =0 ou v =0 ou cos u ; v
( )
=0
⇔u =0 ou v =0 ou u v .
B) Règles de calculs :
Propriétés : Soient
u
,
v
et
w
trois vecteurs et soient a et b deux réels :
1) u ⋅v =v ⋅u
2) u ⋅v +w
( )
=u ⋅v +u ⋅w
3) au
( )
⋅bv
( )
=ab
( )
×u ⋅v
( )
4) u
2
=u
2
5) u +v
2
=u +v
( )
2
=u
2
+2u ⋅v +v
2
=u
2
+2u ⋅v +v
2
6) u −v
2
=u −v
( )
2
=u
2
−2u ⋅v +v
2
=u
2
−2u ⋅v +v
2
7) u +v
( )
⋅u −v
( )
=u
2
−v
2
=u
2
−v
2
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Produit scalaire
- 2 -

Démonstration :
1) u ⋅v =u ×v ×cos u ; v
( )
v ⋅u =v ×u ×cos v ; u
( )
v ; u
( )
=−u ; v
( )
mais cos v ; u
( )
=cos u ; v
( )
4) u
2
=u ⋅u
=u ×u ×cos u ; u
( )
=u
2
×1
=u
2
En particulier, pour 4) :
AB
  2
=AB ⋅AB =AB
  2
=AB2
En particulier, pour 5) :
• u +v
2
≠u
2
+v
2
.
• Si u v alors u ⋅v =0, donc u +v
2
=u
2
+v
2
on retrouve le théorème de Pythagore.
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Produit scalaire
- 3 -

III - Formules analytiques :
Le plan est muni d’un repère orthonormal
O ; i ; j
( )
, Soient
u x ; y
( )
et
v x' ; y'
( )
.
Théorème :
1) u ⋅v =xx '+yy '.
2) u =x2+y2.
3) Si A a pour coordonnées xA ; yA
( )
et B xB ; yB
( )
alors AB ⋅AB =AB
  2
=AB 2
=AB2=xB−xA
( )
2+yB−yA
( )
2.
Corollaire :
u v ⇔u ⋅v =0⇔xx '+yy '=0
u / /v ⇔xy '−x'y=0
Démonstration :
1) u ⋅v =xi +y j
( )
⋅x'i +y'j
( )
u ⋅v =xx 'i ⋅i +xy 'i ⋅j +yx 'j ⋅i +yy 'j ⋅j
Or,
i ⋅i =i
2
=i
2
=1
j ⋅j =j
2
=j
2
=1
i ⋅j =j ⋅i =0 car i j
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Donc u ⋅v =xx '+yy '
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Produit scalaire
- 4 -

IV - Applications du produit scalaire :
A) La relation d’Al Kashi :
Théorème :
On a :
a2=b2+c2−2bc cos A
( )
b2=a2+c2−2ac cos B
( )
c2=b2+a2−2ab cos C
( )
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Démonstration :
BC =BA +AC
BC =AC −AB
BC
  2
=AC −AB
( )
2
BC2=AC2−2AC ⋅AB +AB2
BC2=AC2−2AC×AB×cos A
( )
+AB2
a2=b2+c2−2bc cos A
( )
Remarque : Si le triangle ABC est rectangle en A :
a2=b2+c2−2bc cos A
( )
or, cos A
( )
=0
, d’où
a2=b2+c2
, on retrouve le théorème de
Pythagore.
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