Feuille d’exercices N 5 Bases d’un Espace Vectoriel Exercise 1 Exercise 2 Exercise 3 Les ensembles suivants déterminent-ils des bases du C vectoriel C2 ? espace 1. La partie P = f(1; i)g n’est pas génératrice car par exemple le vecteur (1; 0) de C2 n’est pas combinaison linéaire de (1; i) c’est-à-dire de la forme (1; i), nombre complexe. Donc P ne détermine pas une base de C2 . 2. La partie Q = f(1; i) ; ( i; 1)g n’est pas libre car (1; i) = i ( i; 1) : Donc Q ne détermine pas une base de C2 . 3. A voir que la partie S = f(1; 1) ; (i; i)g est libre. Soient et des nombres complexes véri…ant : (1; 1) + (i; i) = 0 alors et satisfont au système : +i i = d’où l’on tire immédiatement S est libre. = = 0 0 0 puis = 0 . Donc la partie A voir que la partie S est génératrice. Soit u = (z; z 0 ) un vecteur quelconque de C2 , u est combinaison linéaire d’éléments de S si et seulement si il existe des nombres complexes et tels que u= (1; 1) + (i; i) : Cela revient à trouver des solutions au système : +i i = z , = z0 +i 2i système ayant pour solution : i i z + z0: 2 2 = Donc la partie S est génératrice. Conclusion : S détermine une base de C2 . 1 = z = z + z0 4. La partie T = f(1; 0) ; (0; 1) ; (i; 0) ; (0; i)g n’est pas libre, en e¤ et (i; 0) = i (1; 0) : Donc T ne détermine pas une base de C2 . Exercise 4 Le vecteur u = (x; y; z; t) de F est élément de R4 si et seulement si t = x + y z. Donc un élément u de R4 appartient à F si et seulement si il existe trois réels x; y; z, tels que u = (x; y; z; x + y z) ce qui équivaut à u = x (1; 0; 0; 1) + y (0; 1; 0; 1) + z (0; 0; 1; 1) : On met ainsi en évidence vecteurs : u1 = (1; 0; 0; 1) ; u2 = (0; 1; 0; 1) ; u2 = (0; 0; 1; 1) : Ces trois vecteurs sont des éléments de F et en constituent une famille génératrice. Véri…ons qu’ils sont linéairement indépendants : Soit , et des réels tels que (1; 0; 0; 1) + (0; 1; 0; 1) + (0; 0; 1; 1) = 0 alors ( ; ; ; + ) = (0; 0; 0; 0) d’où = = = 0: Ainsi on vient de construire une base de F : f(1; 0; 0; 1) ; (0; 1; 0; 1) ; (0; 0; 1; 1)g : Exercise 5 Soit P2 l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2, à coe¢ cients réels. 1. Montrons que fp1 ; p2 ; p3 g est une famille libre de P2 : Soient des réels ; ; ; véri…ant p1 + p 2 + p3 = 0 , donc pour tout réel x; (x + 1) + (x 1) + En particulier pour x = 1; 2 = 0; et pour x = 1; 2 = 0; 2 x2 1 = 0: et pour x = 0; =0 on obtient alors = = = 0: Ceci démontre que fp1 ; p2 ; p3 g est une partie libre. On sait que q1 : x ! 1; q2 : x ! x et q3 : x ! x2 est la base canonique de P2 . De plus q1 = 1 p1 2 1 1 1 1 p2 ; q 2 = p 1 + p 2 ; q 3 = p1 2 2 2 2 1 p2 + p3 : 2 Donc toute combinaison linéaire de q1 ; q2 ; q3 est aussi combinaison linéaire de p1 ; p2 ; p3 . Ceci démontre que fp1 ; p2 ; p3 g est une partie génératrice de P2 . On peut alors conclure que fp1 ; p2 ; p3 g est une base de P2 . 2. On cherche des réels ; ; véri…ant : p 1 + p2 + p3 = f donc pour tout réel x; (x + 1) + (x 1) + x2 1 = x2 Il su¢ t que f ; ; g soit solution du système : 8 8 = 4 < < + = 5 , : : = 1 + 5x + 4: = = = 1 5 5 qui a pour solution = 0; = 5; = 1: Ainsi les coordonnées de f dans la base fp1 ; p2 ; p3 g sont 0; 5; 1. 3. Une fonction polynôme p (x) = ax2 +bx+c est élément de F si et seulement si a+b+c=0 ce qui équivaut à p (x) = a x2 1 + b (x 1) c’est à dire p = ap3 + bp2 : Ainsi F est l’ensemble des combinaisons linéaires de p2 et p3 , c’est donc le sous-espace vectoriel engendré par p2 et p3 . En…n la famille fp2 ; p3 g, sous-famille d’une base donc d’une partie libre, est aussi libre. Conclusion : fp2 ; p3 g est une base de F . 3