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Feuille d’exercices N5
Bases d’un Espace Vectoriel
Exercise 1
Exercise 2
Exercise 3 Les ensembles suivants déterminent-ils des bases du Cespace
vectoriel C2?
1. La partie P=f(1; i)gn’est pas génératrice car par exemple le vecteur
(1;0) de C2n’est pas combinaison linéaire de (1; i)c’est-à-dire de la forme
(1; i),nombre complexe.
Donc Pne détermine pas une base de C2.
2. La partie Q=f(1; i);(i; 1)gn’est pas libre car (1; i) = i(i; 1) :
Donc Qne détermine pas une base de C2.
3. A voir que la partie S=f(1;1) ;(i; i)gest libre.
Soient et des nombres complexes véri…ant :
(1;1) + (i; i) = 0
alors et satisfont au système :
+i = 0
i = 0
d’où l’on tire immédiatement = 0 puis = 0 . Donc la partie
Sest libre.
A voir que la partie Sest génératrice. Soit u= (z; z0)un vecteur quel-
conque de C2,uest combinaison linéaire d’éléments de Ssi et seulement
si il existe des nombres complexes et tels que
u=(1;1) + (i; i):
Cela revient à trouver des solutions au système :
+i =z
i =z0,+i =z
2i =z+z0
système ayant pour solution :
=i
2z+i
2z0:
Donc la partie Sest génératrice.
Conclusion : Sdétermine une base de C2.
1
4. La partie T=f(1;0) ;(0;1) ;(i; 0) ;(0; i)gn’est pas libre, en e¤et (i; 0) =
i(1;0) :
Donc Tne détermine pas une base de C2.
Exercise 4 Le vecteur u= (x; y; z; t)de Fest élément de R4si et seulement
si t=x+yz. Donc un élément ude R4appartient à Fsi et seulement si il
existe trois réels x; y; z, tels que
u= (x; y; z; x +yz)
ce qui équivaut à
u=x(1;0;0;1) + y(0;1;0;1) + z(0;0;1;1) :
On met ainsi en évidence vecteurs :
u1= (1;0;0;1) ; u2= (0;1;0;1) ; u2= (0;0;1;1) :
Ces trois vecteurs sont des éléments de Fet en constituent une famille généra-
trice.
Véri…ons qu’ils sont linéairement indépendants : Soit ,et des réels tels
que
(1;0;0;1) + (0;1;0;1) + (0;0;1;1) = 0
alors
(; ; ; +) = (0;0;0;0)
d’où
=== 0:
Ainsi on vient de construire une base de F:
f(1;0;0;1) ;(0;1;0;1) ;(0;0;1;1)g:
Exercise 5 Soit P2l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur
ou égal à 2, à coe¢ cients réels.
1. Montrons que fp1; p2; p3gest une famille libre de P2: Soient des réels
; ; ; véri…ant
p1+p2+p3= 0
, donc pour tout réel x;
(x+ 1) + (x1) + x21= 0:
En particulier pour x= 1;
2= 0;
et pour x=1;
2= 0;
2
et pour x= 0;
= 0
on obtient alors
=== 0:
Ceci démontre que fp1; p2; p3gest une partie libre.
On sait que q1:x!1; q2:x!xet q3:x!x2est la base canonique de
P2. De plus
q1=1
2p11
2p2; q2=1
2p1+1
2p2; q3=1
2p11
2p2+p3:
Donc toute combinaison linéaire de q1; q2; q3est aussi combinaison linéaire
de p1; p2; p3. Ceci démontre que fp1; p2; p3gest une partie génératrice de
P2.
On peut alors conclure que fp1; p2; p3gest une base de P2.
2. On cherche des réels ; ; véri…ant :
p1+p2+p3=f
donc pour tout réel x;
(x+ 1) + (x1) + x21=x25x+ 4:
Il su¢ t que f; ; gsoit solution du système :
8
<
:
= 4
+=5
= 1
,8
<
:
= 1
= 5
+=5
qui a pour solution
= 0; =5; = 1:
Ainsi les coordonnées de fdans la base fp1; p2; p3gsont 0;5;1.
3. Une fonction polynôme p(x) = ax2+bx+cest élément de Fsi et seulement
si
a+b+c= 0
ce qui équivaut à
p(x) = ax21+b(x1)
c’est à dire
p=ap3+bp2:
Ainsi Fest l’ensemble des combinaisons linéaires de p2et p3, c’est donc
le sous-espace vectoriel engendré par p2et p3.
En…n la famille fp2; p3g, sous-famille d’une base donc d’une partie libre,
est aussi libre.
Conclusion : fp2; p3gest une base de F.
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