sec questions

Exercices choisis pour préparer la compétition de Mathématiques
Répondre par Vrai ou Faux en donnant une preuve concise ou un contre-exemple. Une
question non justi…é sera ignorée
1. Il existe une fonction continue
: R ! R véri…ant
pour tout n 2 N :
( (x))n
(0) = 0 et lim
= +1
x !0
jxj
2. Soit f : R ! R de classe C 1 : Si f (x) ! 0 lorsque x ! +1; alors f 0 (x) tend aussi vers
0:
3. Soit f; g : [a; b] ! R continues telles que 8x 2 [a; b] ; f (x) > g(x); alors il existe
tel que 8x 2 [a; b] ; f (x) g(x) + :
>0
4. Une application bijective de R dans R est strictement monotone:
5. Soient g; f : R+ ! R continues telles que lim f (x) g (x) = +1; alors lim f (x) =
x!+1
x!+1
+1 ou lim g (x) = +1:
x!+1
6. Soit f : [a; b] ! R continue véri…ant f ([a; b])
f (c) = c:
[a; b] : Alors il existe c 2 [a; b] tel que
7. Soit P un polynôme. Si pour tout n 2 Z; P (n) 2 Z; alors P est à coe¢ cients entiers.
Autres exercices
1. Soit f : R ! R continue.
(a) On suppose que f ([0; 1])
(b) On suppose que [0; 1]
[0; 1] : Montrer qu’il existe
f ([0; 1]) : Montrer qu’il existe
2 [0; 1] telque f ( ) = :
2 [0; 1] telque f ( ) = :
2. Soit f : [0; 1] ! [0; 1] une fonction continue et on note f k = f
suppose que
i) f (0) = 0; f (1) = 1
ii) f 2 (x) = x pour tout x 2 [0; 1] :
(a) Montrer que f (x) = x pour tout x 2 [0; 1] :
f::: f (k fois). On
(b) Le résultat est-il vrai si i) est remplacé par f k (x) = x pour tout x 2 [0; 1] où
k 2 N est …xé ?
(c) Le résultat est-il vrai si la condition i) n’est pas satisfaite ?
3. Soit a; b 2 R; calculer le maximum de f ( ) = a cos + b sin :
4. Trouver un entier m à deux chi¤res sachant que les restes de la division euclidenne des
trois entiers 2012; 2969; 5144 par m sont égaux.
5. Déterminer les réels x en les quels l’application
T (x) =
1
(jx
503
1j + jx
2j + ::: + jx
2012j)
atteint son minimum et calculer ce minimum.
6. Soit a1 ; :::; an des réels. Montrer la formule :
max (a1 ; :::; an ) = a1 + a2 + ::: + an
min (a1 ; a2 ) min (a1 ; a2 ) min (a2 ; a3 ) + :::
+ min (a1 ; a2 ; a3 ) + min (a1 ; a2 ; a4 ) + :::
::::
+ ( 1)n min (a1 ; :::; an )
7. Soit (an )n 1 une suite strictement croissante d’entiers véri…ant les deux conditions
i) a2n = an + n;
ii) si an est premier, alors n est premier.
Montrer que an = n:
8. Soit p; n1 ; :::; np ; d 2 N ; n = n1 :::np avec p 2: On suppose que ni divise ni+1 pour
1 i p 1 et que d divise n: Montrer qu’il existe des entiers di 2 N ; 1 i p tels
que d = d1 :::dp et di divise ni :
9. Dénombrer les sous-ensembles de cardinal 3 de l’ensemble f1; 2; :::; 200g dont la somme
de ses éléments est un multiple de 3:
10. On suppose que X est un sous-ensemble de f1; 2; :::; 100g de cardinal 50 tel que 8x 6=
y 2 X, x + y 6= 100: Montrer que X contient le carré d’un entier.
11. Montrer que l’équation 4x3
7y 3 = 2015 n’a pas de solution (x; y) dans Z2 :
12. Notons s (n) le nombre des couples (x; y) d’entiers naturels véri…ant
1
1 1
+ = :
x y
n
(a) Calculer s (2) :
(b) Déterminer les entiers n tels que s (n) = 5:
13. Soit a1 ; :::; an des réels. Montrer qu’il existe un entier k 2 f0; 1; :::; ng tel que
P
1 i k
ai
P
k+1 i n
ai
max jai j
(la première somme est nulle si k = 0 et la seconde est nulle si k = n)