sec questions

Exercices choisis pour préparer la compétition de Mathématiques
Répondre par Vrai ou Faux en donnant une preuve concise ou un contre-exemple. Une
question non justi…é sera ignorée
1. Il existe une fonction continue :R! Rvéri…ant (0) = 0 et lim
x!0
( (x))n
jxj= +1
pour tout n2N:
2. Soit f:R!Rde classe C1:Si f(x)!0lorsque x!+1;alors f0(x)tend aussi vers
0:
3. Soit f; g : [a; b]!Rcontinues telles que 8x2[a; b] ; f(x)> g(x);alors il existe  > 0
tel que 8x2[a; b]; f(x)g(x) + :
4. Une application bijective de Rdans Rest strictement monotone:
5. Soient g; f :R+! Rcontinues telles que lim
x!+1f(x)g(x) = +1;alors lim x!+1f(x) =
+1ou lim
x!+1g(x) = +1:
6. Soit f: [a; b]! Rcontinue véri…ant f([a; b]) [a; b]:Alors il existe c2[a; b]tel que
f(c) = c:
7. Soit Pun polynôme. Si pour tout n2Z; P (n)2Z;alors Pest à coe¢ cients entiers.
Autres exercices
1. Soit f:R! Rcontinue.
(a) On suppose que f([0;1]) [0;1] :Montrer qu’il existe 2[0;1] telque f() = :
(b) On suppose que [0;1] f([0;1]) :Montrer qu’il existe 2[0;1] telque f() = :
2. Soit f: [0;1] ! [0;1] une fonction continue et on note fk=ff::: f(k fois). On
suppose que
i) f(0) = 0; f (1) = 1
ii) f2(x) = xpour tout x2[0;1] :
(a) Montrer que f(x) = xpour tout x2[0;1] :
(b) Le résultat est-il vrai si i) est remplacé par fk(x) = xpour tout x2[0;1] où
k2Nest …xé ?
(c) Le résultat est-il vrai si la condition i) n’est pas satisfaite ?
3. Soit a; b 2R;calculer le maximum de f() = acos +bsin :
1

4. Trouver un entier mà deux chi¤res sachant que les restes de la division euclidenne des
trois entiers 2012;2969;5144 par msont égaux.
5. Déterminer les réels xen les quels l’application
T(x) = 1
503 (jx1j+jx2j+::: +jx2012j)
atteint son minimum et calculer ce minimum.
6. Soit a1; :::; andes réels. Montrer la formule :
max (a1; :::; an) = a1+a2+::: +an
min (a1; a2)min (a1; a2)min (a2; a3) + :::
+ min (a1; a2; a3) + min (a1; a2; a4) + :::
::::
+ (1)nmin (a1; :::; an)
7. Soit (an)n1une suite strictement croissante d’entiers véri…ant les deux conditions
i) a2n=an+n;ii) si anest premier, alors nest premier.
Montrer que an=n:
8. Soit p; n1; :::; np; d 2N; n =n1:::npavec p2:On suppose que nidivise ni+1 pour
1ip1et que ddivise n: Montrer qu’il existe des entiers di2N;1iptels
que d=d1:::dpet didivise ni:
9. Dénombrer les sous-ensembles de cardinal 3de l’ensemble f1;2; :::; 200gdont la somme
de ses éléments est un multiple de 3:
10. On suppose que Xest un sous-ensemble de f1;2; :::; 100gde cardinal 50 tel que 8x6=
y2X,x+y6= 100:Montrer que Xcontient le carré d’un entier.
11. Montrer que l’équation 4x37y3= 2015 n’a pas de solution (x; y)dans Z2:
12. Notons s(n)le nombre des couples (x; y)d’entiers naturels véri…ant 1
x+1 y=1 n:
(a) Calculer s(2) :
(b) Déterminer les entiers ntels que s(n) = 5:
13. Soit a1; :::; andes réels. Montrer qu’il existe un entier k2 f0;1; :::; ngtel que
P
1ik
aiP
k+1in
ai
max jaij
(la première somme est nulle si k= 0 et la seconde est nulle si k=n)
2