Définition d`une probabilité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 27 avril 2017
Enoncés
1
Dénition d'une probabilité
Exercice 1 [ 04002 ] [Correction]
Soit P une probabilité sur (N, ℘(N)).
Montrer que
P ({n}) −→ 0
n→+∞
Exercice 2 [ 04016 ] [Correction]
Soit (an )n∈N une suite strictement décroissante de réels positifs de limite nulle.
Déterminer λ ∈ R tel qu'il existe une probabilité P sur N, ℘(N) vériant
P {n, n + 1, . . .} = λan
Exercice 3 [ 04009 ] [Correction]
Soit (Ω, T , P) un espace probabilisé. Pour A, B ∈ T , on pose
d(A, B) = P(A∆B)
avec A∆B la diérence symétrique de A et B dénie par
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
(a) Vérier
d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)
(b) En déduire
|P(A) − P(B)| ≤ P(A∆B)
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Corrections
Corrections
2
(a) On vérie par les éléments l'inclusion
Exercice 1 : [énoncé] S
On a P(N) = 1 et N = n∈N {n}. Par σ -additivité d'une probabilité
+∞
X
A∆C ⊂ (A∆B) ∪ (B∆C)
et donc
P(A∆C) ≤ P(A∆B) + P(B∆C)
P ({n}) = 1
(b) On a
n=0
Puisque cette série converge, son terme général tend vers 0.
Par considération de reste de série convergente, on a aussi
P(A) = P(A∆∅) ≤ P(A∆B) + P(B∆∅) = P(A∆B) + P(B)
donc
P(A) − P(B) ≤ P(A∆B)
P({k} | k ≥ n) −→ 0
n→+∞
Un raisonnement symétrique fournit aussi
Exercice 2 : [énoncé]
Analyse : Si P est solution alors P(N) = 1 et donc λa0 = 1. On en déduit
λ = 1/a0 .
De plus,
P ({n}) = P ({n, n + 1, . . .}) − P ({n + 1, n + 2, . . .}) =
ce qui détermine P .
Synthèse : Posons
pn =
P(B) − P(A) ≤ P(A∆B)
an − an+1
a0
an − an+1
a0
Les pn sont des réels positifs car la suite (an )n∈N est décroissante. De plus
+∞
X
+∞
1 X
pn =
(an − an+1 ) = 1
a0 n=0
n=0
car la suite (an )n∈N est de limite nulle. Il existe donc une probabilité P sur N
vériant
P({n}) = pn
et alors, par continuité croissante
P ({n, n + 1, . . .}) =
+∞
X
k=n
pk =
an
a0
Exercice 3 : [énoncé]
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