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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun 2015
École Nationale Supérieure d’Électricité et de Mécanique
CONCOURS NATIONAL COMMUN
d'Admission dans les Établissements de Formation
d'Ingénieurs et Établissements Assimilés
Édition 2015
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I
Filière MP
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de calculatrice est interdit

p>2r∈N∗Mp,r(R)
p r p =rMp,r(R)Mp(R)
p IpMp(R)M∈ Mp,r(R)t M
M
n>2Mn,1(R)
k.k(x, y)7−→ := t y x
A:R+−→ Mn(R)
∀t∈R+,∀x∈ Mn,1(R), < A(t)x, x >=t xA(t)x≥0.
ΣAF:R+−→ Mn,1(R)
∀t∈R+, F 00(t) = A(t)F(t).
ΣA
B:R+−→ M2n(R), t 7−→ B(t) = 0In
A(t) 0 B
AΣBR+
x0=B(t)x.
F:R+−→ Mn,1(R)
xF:R+−→ M2n,1(R)
∀t∈R+, xF(t) = F(t)
F0(t).
ΣAR.
ΣA
F:R+−→ Mn,1(R)
F∈ΣAxF∈ΣB
Φ:ΣA−→ ΣBF7−→ xF
ΣA
(s, v, w)∈R+× Mn,1(R)× Mn,1(R)
FΣAF(s) = v F 0(s) = w

F∈ΣAf:R+−→ Rf(t) = kF(t)k2, t ≥0.
fR+
fR+
(t1, t2)∈R20≤t1< t2F(t1) = F(t2)=0.
t∈[t1, t2], f(t) = 0.
F
v∈ Mn,1(R)FvΣAFv(0) = F0
v(0) = v.
v6= 0 t7−→ kFv(t)k+∞
ΣA
b
Ψ:ΣA−→ Mn,1(R)× Mn,1(R), F 7−→ (F(0), F (b))
k.kb:F7−→ kF(0)k+kF(b)kΣA.
k.k∞,b :F7−→ sup
0≤t≤b
kF(t)kΣA.
k.k∞,b k.kbΣA
ΣA
a∈ Mn,1(R)m≥1gm,a ΣA
gm,a(0) = a gm,a(m)=0
m≥1t7−→ kgm,a(t)k
[0, m]
(gm,a)m∈N∗(ΣA,k.k1).
(gm,a)m∈N∗(gσ(m),a)m∈N∗(ΣA,k.k1)
ga
(gσ(m),a)m∈N∗R+
ga
ga(0) = a t 7−→ kga(t)kR+
ga
(e1, ..., en)
Mn,1(R) (ge1, ..., gen)
Σ1ΣA
Σ1
(ge1, ..., gen) Σ1
v∈ Mn,1(R)FvΣAFv(0) = F0
v(0) = v
Σ2:= {Fv;v∈ Mn,1(R)}ΣAn
Σ1Σ2ΣA
ΣA\Σ1ΣAF
(F∈ΣA\Σ1,kF(t)k −→
t−→+∞+∞;
F∈Σ1, F R+.

Zd
dk.k1
Rdkxk1=
d
X
i=1
|xi|x= (x1, ..., xd)∈Rdx∈ZdV(x)
Zdx V (x) = {y∈Zd;ky−xk1= 1}
x2d
AZdI(A)x∈A V (x)⊂A ∂A
A I(A)A=ZdI(A) = A ∂A =∅A
<2d I(A) = ∅∂A =A
f:A−→ RI(A)x∈I(A)
f(x) = 1
2dX
y∈V(x)
f(y).
(Ω,A, P )
Zd
d= 1
f:Z−→ R Z
k f(k+ 2) −2f(k+ 1) + f(k) = 0
Z
f:Z∗−→ RI(Z∗)
I(Z∗)
d
f:Zd−→ R Zd
k∈Zd`∈V(k)f(`)≤2d f(k)
k∈Zd`∈Zdf(`)≤(2d)k`−kk1f(k)
k∈Zdf(k)=0 f
f ` ∈Zd|ln(f(`)) −ln(f(k))| ≤
k`−kk1ln(2d)
f:Zd−→ R Zdf
dN∗Rd(e[1], ..., e[d])
∀(i, j)∈ {1, ..., d}2, e[i]j=(1i=j;
0i6=j.
(Xn)n∈N
Dd={−d, −d+ 1, ..., −1,1, ..., d −1, d}
(Yn)n∈N
Y0= 0,∀n∈N, Yn+1 =Yn+sign(Xn)e[|Xn|],
k∈N∗sign(k) = k
|k|.