CFIE SANI Ahmed supervisé par Abdel BEDAA élémentaires 1 1 Rappels sur les probabilités Maths2 Expériences aléatoires 1.1 Dénitions Une expérience aléatoire est toute épreuve qui peut conduire à plusieurs issues, appelées encore ou éventualités, mais dont on ne peut prévoir le résultat avant que l'expérience soit réalisée. résultats possibles Exemple: quand on lance au hasard un dé ou une pièce de monnaie, on réalise une expérience aléatoire. L'univers associé à une expérience aléatoire est l'ensemble Ω des résultats possibles. On appelle tout sous-ensemble de l'univers. Un événement élémentaire est un événement formé d'une unique éventualité. Si, à l'issue d'une expérience aléatoire on obtient l'éventualité ω , et si un événement A contient ω , on dit que l'événement A est réalisé. événement 1.2 Incompatibilité, complémentarité Des événement A et B sont incompatibles (ou disjoint) sont des événements tels que A ∩ B = ∅. Des événements A et B contraires (ou complémentaires) sont des événements tels que A∩B = ∅ et A ∪ B = Ω. On note alors B = Ā. Remarque : A ∪ B est l'événement A ou B . A ∩ B est l'événement A et B 2 Loi de probabilité 2.1 Dénition Soit Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } l'univers associé à une expérience aléatoire. Dénir une loi de probabilité sur Ω c'est associer à chaque éventualité ωi un réel positif pi . Les nombres réels pi doivent vérier la relation p1 + p2 + · · · + pn = 1. Le nombre réel pi est appelé la probabilité de l'éventualité ωi . Remarque : pour tout nombre entier i tel que 1 ≤ i ≤ n, on a 0 ≤ pi ≤ 1. 2.2 Équiprobabilité Lorsque tous les nombres pi sont égaux on dit qu'il y a équiprobabilité ou encore que la loi de probabilité est équirépartie. Dans ce cas, pour tout nombre entier i tel que 1 ≤ i ≤ n on a pi = n1 3 Probabilité d'un événement 3.1 dénition Une loi de probabilité étant dénie sur un univers Ω, la probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des éventualités qui composent A. Cette probabilité est notée P (A). 3.2 propriétés On a les propriétés suivantes : P (Ω) = 1 P (∅) = 0 1. Ceci est juste un résumé qui fera objet de développements oraux et illustrés par notre ami M.Johra 1 Pour tout événement A : 0 ≤ P (A) ≤ 1 P (Ā) = 1 − P (A) Si A et B sont des événements incompatibles P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Si A et B sont des événements quelconques P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 3.3 Loi équirépartie Si l'univers Ω contient n éventualités et si la loi de probabilité est équirépartie, alors la probabilité d'un événement A qui contient k éventualités (0 ≤ k ≤ n) est nk . On peut remarquer : P (A) = nombre de cas favorables à la réalisation de A nombre de cas possibles 2