Intégration Calcul intégral Encadrement d'une intégrale

Intégration – Encadrement d’intégrale – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
 Exercice 1 : encadrer une intégrale
 Exercice 2 : donner un encadrement du logarithme népérien d’un nombre à l’aide d’une intégration
 Exercice 3 : encadrer une intégrale dont l’intégrande est une fonction composée
 Exercice 4 : encadrer une intégrale dont l’intégrande est le produit de deux fonctions
 Exercice 5 : minorer la fonction exponentielle par une fonction polynôme (raisonnement par récurrence)
 Exercice 6 : comparer deux intégrales et étudier la convergence d’une suite définie par une intégrale
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Avant de porter notre attention à la correction des exercices, rappelons la définition d’une fonction primitive
ainsi que les primitives des fonctions usuelles et les primitives de fonctions composées couramment
rencontrées.
Dans ces formulaires,  désigne une constante réelle et  est une fonction dérivable sur un intervalle.
Rappel : Primitive d’une fonction et calcul d’une intégrale
Soit  une fonction continue sur un intervalle  avec . Une primitive de  sur  est, si elle
existe, une fonction  dérivable sur  vérifiant  sur .
Si  est une fonction continue sur  et si  est une primitive de  sur , alors, pour tout  :
Remarque : Dans une intégrale, la fonction qui est intégrée est appelée intégrande.
Intégration – Encadrement d’intégrale
Exercices corrigés

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Formulaire des primitives de fonctions usuelles
Fonction  définie par 
Primitives  définies par 
Conditions sur  et 
Formulaire des primitives de fonctions composées
Fonction 
Primitives de la fonction 
Conditions sur  et 

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Dans cet exercice,  désigne une fonction continue sur .
1) Sachant que, pour tout , , donner un encadrement de l’intégrale :
2) Sachant que, pour tout , , donner un encadrement de l’intégrale :
1) Donnons un encadrement de l’intégrale.
Rappel : Conservation de l’ordre par intégration (ordre et intégrale / intégration d’une inégalité)
Soient  et  deux fonctions continues sur un intervalle  avec . Alors, pour tout réel  :
Remarques :
 On dit que l’intégrale conserve l’ordre.
 La réciproque n’est pas vraie.
La fonction  est continue sur  et l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel , il vient que :
2) Donnons un encadrement de l’intégrale.
La fonction  est continue sur  et l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel , il vient que :
Exercice corrigé 1 (2 questions) Niveau : facile
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1) Montrer que, pour tout réel , 
2) En déduire un encadrement, pour tout réel , de l’intégrale suivante :
3) En déduire un encadrement de .
1)
La fonction  est une fonction affine de taux d’accroissement positif donc elle est croissante sur .
Par conséquent, pour tout réel , il vient que , soit .
De plus, la fonction inverse est décroissante sur 
 et en particulier sur . Il s’ensuit que, pour tout réel 
tel que , 
, soit  .
2)
La fonction  
 est une fonction homographique définie sur . Elle est donc continue sur .
En outre, l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel , il vient que :
3)
Pour tout réel , 
. Par conséquent, d’après ce qui précède, il vient que :
En posant , il résulte que 
, c’est-à-dire  .
Exercice corrigé 2 (3 questions) Niveau : facile
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1) Démontrer que, pour tout réel , 
2) En déduire que, pour tout réel , 
1)
Soit  un réel tel que . Alors, en multipliant par , il vient que . De plus, la fonction
opposée étant décroissante sur , il vient que . Enfin, comme la fonction exponentielle est
croissante et positive sur , pour tout réel  tel que , il résulte que .
2)
Rappel : Linéarité de l’intégrale (propriété de linéarité multiplicative)
Soit un réel . Si  est une fonction continue sur un intervalle  avec , alors :
La fonction  est la composée d’une fonction polynôme par la fonction exponentielle, toutes deux
continues sur , donc la fonction  est continue sur  et en particulier sur . De même, la
fonction  est continue sur  comme étant la composée d’une fonction affine par la fonction
exponentielle, toutes deux continues sur . En outre, l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel , il
vient que :
Or, pour tout réel ,  donc  et  d’où .
Finalement, il vient que :
Exercice corrigé 3 (2 questions) Niveau : facile
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