Intégration Calcul intégral Encadrement d'une intégrale

Intégration – Encadrement d’intégrale
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
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Exercice 1 : encadrer une intégrale
Exercice 2 : donner un encadrement du logarithme népérien d’un nombre à l’aide d’une intégration
Exercice 3 : encadrer une intégrale dont l’intégrande est une fonction composée
Exercice 4 : encadrer une intégrale dont l’intégrande est le produit de deux fonctions
Exercice 5 : minorer la fonction exponentielle par une fonction polynôme (raisonnement par récurrence)
Exercice 6 : comparer deux intégrales et étudier la convergence d’une suite définie par une intégrale
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Avant de porter notre attention à la correction des exercices, rappelons la définition d’une fonction primitive
ainsi que les primitives des fonctions usuelles et les primitives de fonctions composées couramment
rencontrées.
Dans ces formulaires,
désigne une constante réelle et
est une fonction dérivable sur un intervalle.
Rappel : Primitive d’une fonction et calcul d’une intégrale
Soit
une fonction continue sur un intervalle [
existe, une fonction
Si
dérivable sur [
est une fonction continue sur [
] vérifiant
] et si
∫
] avec
( )
. Une primitive de
sur [
est une primitive de
[ ( )]
( )
sur [
] est, si elle
].
sur [
], alors, pour tout
[
]:
( )
Remarque : Dans une intégrale, la fonction qui est intégrée est appelée intégrande.
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1
Formulaire des primitives de fonctions usuelles
définie par ( )
Fonction
(
Primitives
définies par ( )
Conditions sur
et
)
√
√
√
√
Formulaire des primitives de fonctions composées
Fonction
√
√
Primitives de la fonction
Conditions sur
et
√
√
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Exercice corrigé 1 (2 questions)
Dans cet exercice,
Niveau : facile
désigne une fonction continue sur
[
1) Sachant que, pour tout
],
( )
∫
[
2) Sachant que, pour tout
.
],
, donner un encadrement de l’intégrale :
( )
( )
, donner un encadrement de l’intégrale :
∫ ( )
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
1) Donnons un encadrement de l’intégrale.
Rappel : Conservation de l’ordre par intégration (ordre et intégrale / intégration d’une inégalité)
Soient
et
deux fonctions continues sur un intervalle [
( )
( )
∫
] avec
( )
∫
[
. Alors, pour tout réel
]:
( )
Remarques :
 On dit que l’intégrale conserve l’ordre.
La fonction
∫
(
( )
∫
)
∫
[
et l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel
est continue sur
( )
 La réciproque n’est pas vraie.
[
∫
( )
(
]
)
∫
( )
∫
( )
[
], il vient que :
]
2) Donnons un encadrement de l’intégrale.
La fonction
( )
[
]
et l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel
est continue sur
∫ (
∫ ( )
)
[
∫ ( )
]
(
∫
[
)
∫ ( )
]
∫ ( )
[
], il vient que :
[
]
∫ ( )
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3
Exercice corrigé 2 (3 questions)
Niveau : facile
[
1) Montrer que, pour tout réel
],
2) En déduire un encadrement, pour tout réel
[
], de l’intégrale suivante :
∫
3) En déduire un encadrement de
.
Correction de l’exercice 2
Retour au menu
1)
La fonction
est une fonction affine de taux d’accroissement positif donc elle est croissante sur
[
], il vient que
Par conséquent, pour tout réel
, soit
.
et en particulier sur [
De plus, la fonction inverse est décroissante sur
[
tel que
],
, soit
.
]. Il s’ensuit que, pour tout réel
.
2)
La fonction
. Elle est donc continue sur [
est une fonction homographique définie sur
[
En outre, l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel
∫
∫
∫
∫
[
].
], il vient que :
]
[ ]
∫
∫
3)
Pour tout réel
[
], ⏟
. Par conséquent, d’après ce qui précède, il vient que :
( )
( )
∫
⏞
⏟
[⏟(
( )
En posant
)]
(
)
⏟(
)
(
)
( )
, il résulte que
(
)
, c’est-à-dire
.
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Exercice corrigé 3 (2 questions)
Niveau : facile
1) Démontrer que, pour tout réel
,
2) En déduire que, pour tout réel
,
∫
Correction de l’exercice 3
Retour au menu
1)
Soit un réel tel que
. Alors, en multipliant par
, il vient que
. De plus, la fonction
opposée étant décroissante sur , il vient que
. Enfin, comme la fonction exponentielle est
croissante et positive sur , pour tout réel tel que
, il résulte que
.
2)
Rappel : Linéarité de l’intégrale (propriété de linéarité multiplicative)
Soit un réel . Si
est une fonction continue sur un intervalle [
( )
∫
∫
] avec
, alors :
( )
est la composée d’une fonction polynôme par la fonction exponentielle, toutes deux
La fonction
continues sur , donc la fonction
est continue sur
et en particulier sur [
[. De même, la
fonction
est continue sur
comme étant la composée d’une fonction affine par la fonction
exponentielle, toutes deux continues sur . En outre, l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel
, il
vient que :
∫
∫
∫
⏟
∫
∫
∫ ⏟
⏟
( )
∫
[⏟]
(
∫
)
( )
∫
( )
Or, pour tout réel
,
donc
et
d’où
.
Finalement, il vient que :
∫
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Exercice corrigé 4 (2 questions)
définie sur [
Soit la fonction
Niveau : moyen
] par ( )
.
].
1) Donner un encadrement de ( ) sur [
2) En déduire un encadrement de l’intégrale de
à
( )√ .
de la fonction
Correction de l’exercice 4
Retour au menu
1) Encadrons ( ) sur [
].
( )
La fonction
est définie sur [
⏞
] par ( )
. Or, cette fonction est une fonction rationnelle donc elle
⏟
( )
est dérivable sur son ensemble de définition.
[
Par conséquent pour tout
( )
( )
( )
⏞
(
⏞
], il vient que :
( )
)
(⏟
⏞
(
)
( )
⏞
)
(
)
(
)
( )
Notons
Comme
le discriminant du trinôme du second degré
, le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
√
√
√
[
] avec
Or,
et
)
comme (
pour tout
].
strictement croissante sur [
Dès lors, il vient que pour tout
part ( )
[
[
√
√
)
.
√
] avec
[
],
donc, pour tout
. De plus,
], il résulte que ( )
]. Finalement, la fonction est
sur [
[
], ( )
( )
donc
( )
( ). Or, d’une part ( )
et d’autre
.
2) Donnons un encadrement de l’intégrale de
à
de la fonction
( )√ .
] donc continue sur cet intervalle. De plus, la fonction racine carrée est
est dérivable sur [
]. Par conséquent, la fonction
( )√ est continue sur [
].
donc en particulier sur [
La fonction
continue sur
Pour tout
(
. Alors
[
], √
donc
√
( )√
√
.
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En vertu de la conservation de l’ordre par intégration, il vient que :
( )√
√
∫ √
⏟
[
( √
]
∫
√
∫ ( )√
∫
∫ √
∫
∫ ( )√
∫ ( )√
√ )
√
[
∫ ( )√
]
( √
[
∫ ( )√
∫ ( )√
√ ]
√ )
√
√
∫
[
∫ ( )√
√ ]
√
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Exercice corrigé 5 (1 question)
Niveau : difficile
Montrer que, pour tout entier naturel
et pour tout réel positif , on a :
Rappel : Factorielle
entier naturel
∑
(
Correction de l’exercice 5
d’un
)
Retour au menu
Rappel : Principe du raisonnement par récurrence
Soit
une proposition définie sur un intervalle de . Soit
Une proposition est un
énoncé, soit vrai, soit faux.
.
Si :
1) la proposition
est initialisée à un certain rang
2) la proposition
est héréditaire à partir du rang
l’implication
( )
(
, c’est-à-dire si
(
) est vraie au rang
, c’est-à-dire si, pour tout
tel que
, on a
)
Alors :
3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que
On vérifie que
( ) est vraie
On suppose que
( ) est vraie
rang
rang
.
On vérifie alors que
(
) est vraie
On conclut que, pour tout
entier naturel
,
( ) est vraie
rang
1ère étape
2e étape
3e étape
Initialisation
Hérédité
Conclusion
Soit la proposition
définie sur
par ( ) : « Pour tout réel positif ,
∑
».
 Initialisation :
D’une part,
∑
D’autre part, la fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur
. Or, comme
, il vient que
.
donc, pour tout réel
,
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∑
Par conséquent,
Autrement dit, ( ) est vraie ; la proposition
est initialisée au rang 0.
 Hérédité :
Supposons ( ) vraie à partir d’un certain rang
Soit un réel positif
[
et soit un réel tel que
].
∑
D’après l’hypothèse de récurrence, on a :
Or, la fonction
.
est la fonction exponentielle donc elle est continue sur
une fonction polynôme de degré (somme de monômes) donc elle est continue sur
], il vient que :
conserve l’ordre donc, en intégrant sur [
∑
∫
[ ]
∫ ∑
∫ ∑
∑
. La fonction
est
. De plus, l’intégrale
∫ ∑
∫ ∑
Rappel : Linéarité de l’intégrale (propriété de linéarité additive)
Si
et
sont deux fonctions continues sur un intervalle [
∫ ( ( )
( ))
∫
] avec
( )
, alors :
∫
( )
En vertu de la linéarité de l’intégrale, il vient finalement que :
∫ ∑
∑[
∑
∑∫
(
)
]
∑[
∑(
(
∑
)
(
)
)
]
∑[
∑
(
(
)
]
)
∑
) est vraie. On vient donc de montrer que si
On en déduit que (
la proposition est héréditaire.
( ) est vraie, alors (
) est vraie ;
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 Conclusion :
La proposition
est initialisée au rang 0 et héréditaire donc, pour tout
et pour tout
, on a :
∑
Remarques :
1) Dans cet exercice, on vient de minorer la fonction exponentielle par une fonction polynôme de degré .
De ce résultat, on peut déduire la limite en
de la fonction exponentielle en utilisant le théorème de
comparaison en
. En l’occurrence,
.
Rappel : Théorème de comparaison en
Soient
et
]
deux fonctions définies sur un intervalle
Si, pour tout
, ( )
( ) d’une part et si
[.
( )
( )
d’autre part, alors
.
2) Les propriétés de linéarité additive et de linéarité multiplicative de l’intégrale précédemment énoncées
peuvent également être formulées ainsi :
Rappel : Linéarité de l’intégrale (propriétés de linéarité additive et de linéarité multiplicative)
Soient deux réels
∫ (
et . Si
( )
et
( ))
sont deux fonctions continues sur un intervalle [
∫
( )
∫
( )
∫
( )
] avec
∫
, alors :
( )
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Exercice corrigé 6 (5 questions)
Niveau : difficile
On considère la suite numérique ( ) définie pour tout entier naturel
∫
non nul par :
√
1) Démontrer que la suite ( ) est croissante.
On définit la suite ( ) pour tout entier naturel
non nul par :
(
∫
2)
3)
4)
5)
)
Comparer et .
Exprimer en fonction de .
Montrer que la suite ( ) est majorée par un réel.
Que peut-on en conclure pour la suite ( ) ?
Correction de l’exercice 6
Retour au menu
1) Démontrons que la suite ( ) est croissante.
Rappel : Intégration et relation de Chasles
Soit
une fonction continue sur un intervalle [
Pour tous réels ,
∫ ( )
et tels que
∫
Pour tout entier naturel
∫
].
,
∫ ( )
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
non nul,
∫
√
[
],
Or, pour tout
l’ordre, il résulte que pour tout
et √
[
∫
√
√
(
)
donc
. De plus, comme l’intégrale conserve
√
] et pour tout entier naturel non nul :
∫
Comme
∫
√
, la suite ( ) est croissante pour tout entier naturel
non nul.
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2) Comparons
et
Pour tout réel
(
.
,
d’où
et
) . Comme la fonction racine carrée est croissante sur
√(
) ,
(
). En
. Dès lors, en multipliant par
, il résulte que
√
] et tenant compte de la conservation de l’ordre avec l’intégrale, on a finalement :
c’est-à-dire √
passant à l’intégrale sur [
∫
Autrement dit, pour tout entier naturel
3) Exprimons
, c’est-à-dire
. Il vient alors que
√
∫
non nul,
.
(
, il vient que √
)
en fonction de .
(
). Les primitives de cette fonction sont les fonctions
Déterminons une primitive de la fonction
(
)
avec , et réels. De telles fonctions sont dérivables sur comme étant la somme
du réel
et du produit d’une fonction affine par la composée de la fonction opposée par la fonction
exponentielle.
Ainsi, pour tout réel
,
( )
(
)
(
, d’où le système {
identification,
En particulier, en posant
(
) sur
fonction
( )
à résoudre. Or, {
(
Par conséquent, les primitives de la fonction
réel.
). Comme
{
) sont les fonctions
(
(
, on peut conclure que la fonction
( ), par
.
)
avec
) est une primitive de la
.
Il résulte alors immédiatement que :
∫
(
)
[
(
)]
(
)
(
)
(
)
4) Montrons que la suite ( ) est majorée par un réel.
(
On a montré à la question précédente que
Or, pour tout entier naturel
(
)
non nul,
, c’est-à-dire
De plus, d’après la question précédente,
La suite ( ) est donc majorée par le réel
)
et
.
(
donc
)
. Par conséquent,
.
. Il s’ensuit que
.
.
5) Concluons.
La première question a permis d’établir que, pour tout entier naturel non nul, la suite ( ) est croissante. En
outre, d’après la question précédente, cette suite est majorée par le réel
.
Etant croissante et majorée, la suite ( ) converge.
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