Equations-produits : méthode de résolution d'une équation-produit

Equations-produits – Exercices corrigés
Troisième (3ème)
Rappel : Une équation-produit nul est une équation à une inconnue de la forme (
, , et sont des nombres quelconques (avec et différents de simultanément).
)(
) et (
) désignent les facteurs du produit (
), même si l’opérateur de la multiplication est ici inutile).
On dit que (
(
) (
)(
)
où
) (que l’on peut aussi noter
Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
Résoudre chacune des trois équations suivantes :
a) (
b) (
c) (
)(
)
)
)
Exercice 2 (3 questions)
Niveau : moyen
1- Factoriser (
)
.
)(
)
2- Résoudre (
.
3- En déduire les solutions de l’équation (
)
.
Correction de l’exercice 1
Rappel IMPORTANT : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est
nul.
Autrement dit,
multipliés)
De même,
si et seulement si
si et seulement si
ou
. ( et
ou
désignent des « facteurs » car ils sont
ou
ou
.
)(
)
a) Soit l’équation (
. Cette équation est une équation-produit nul. Or, un produit de
facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
)(
)
Résoudre l’équation (
revient par conséquent à résoudre :
 d’une part (
)
(premier facteur nul)
On reconnait bien ici la
 et d’autre part (
)
(deuxième facteur nul)
)(
)
forme (
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L’équation (
)(
)
admet donc deux solutions :
et .
Remarque : Les solutions sont à ordonner dans l’ordre croissant ; c’est pourquoi la solution
avant la solution (puisque
).
est précisée
)
b) Soit l’équation (
. Cette équation est une équation-produit nul. Or, un produit de facteurs est
)
nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul. Résoudre l’équation (
revient par
conséquent à résoudre d’une part
(premier facteur nul) et d’autre part (
)
(deuxième
facteur nul).
L’équation (
)
admet donc deux solutions :
et .
)
c) Soit l’équation (
. Cette équation est une équation-produit nul.
En effet, (
)
(
)(
). Le facteur (
) est en facteur de lui-même. Or, un
produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul. Résoudre l’équation
(
)
revient donc à résoudre (
)
.
L’équation (
)
admet donc une solution double :
.
Correction de l’exercice 2
1- Factorisons l’expression (
)
.
(
)
(
)
: on met en évidence l’identité remarquable
avec
(
) et
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2
(
(
)(
) : on applique l’identité remarquable
) : on réduit chacun des facteurs
)(
(
)(
Remarque importante : On peut poursuivre la factorisation puisque le deuxième facteur
, c’est-à-dire (
).
)
(
)(
) (
)[ (
Ainsi, (
produit sont commutatifs, c’est-à-dire qu’on peut les permuter.)
)]
(
)(
)
peut s’écrire
). (Les facteurs d’un
)(
)
2- Résolvons l’équation (
.
(
)(
)
est une équation-produit nul. Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si
l’un des facteurs au moins est nul.
)(
)
)
Résoudre l’équation (
revient par conséquent à résoudre d’une part (
).
et d’autre part (
L’équation (
)(
)
admet deux solutions :
3- Résolvons l’équation (
(
)
)
)
)
(
)(
D’autre part, d’après la deuxième question, l’équation (
Donc l’équation (


)
.
.
revient à résoudre (
Or, d’après la première question, (
et
)(
).
)
admet 2 solutions :
admet exactement les mêmes solutions :
Vérifions que
est solution de l’équation (
(
( )
)
(
)
( )
Donc
est solution de l’équation (
)
Vérifions que
est solution de l’équation (
(
(
)
)
(
)
( )
Donc
est solution de l’équation (
)
)
et
en remplaçant
et
.
.
par
.
.
)
en remplaçant
par
.
.
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