Equations-produits : méthode de résolution d'une équation-produit

Equations-produits – Exercices corrigés
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Rappel : Une équation-produit nul est une équation à une inconnue de la forme       où
, ,  et  sont des nombres quelconques (avec  et  différents de  simultanément).
On dit que    et    désignent les facteurs du produit      (que l’on peut aussi noter
    , même si l’opérateur  de la multiplication est ici inutile).
Résoudre chacune des trois équations suivantes :
a)      
b)    
c)    
1- Factoriser     .
2- Résoudre      .
3- En déduire les solutions de l’équation     .
Rappel IMPORTANT : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est
nul.
Autrement dit,    si et seulement si    ou   . ( et  désignent des « facteurs » car ils sont
multipliés)
De même,    si et seulement si    ou    ou    ou   .
a) Soit l’équation      . Cette équation est une équation-produit nul. Or, un produit de
facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
Résoudre l’équation       revient par conséquent à résoudre :
 d’une part      (premier facteur nul)
 et d’autre part      (deuxième facteur nul)
Equations-produits – Exercices corrigés
Troisième (3ème)
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
Exercice 2 (3 questions) Niveau : moyen
On reconnait bien ici la
forme     

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L’équation       admet donc deux solutions :  et .
Remarque : Les solutions sont à ordonner dans l’ordre croissant ; c’est pourquoi la solution  est précisée
avant la solution  (puisque   ).
b) Soit l’équation    . Cette équation est une équation-produit nul. Or, un produit de facteurs est
nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul. Résoudre l’équation     revient par
conséquent à résoudre d’une part    (premier facteur nul) et d’autre part      (deuxième
facteur nul).
L’équation     admet donc deux solutions :  et .
c) Soit l’équation    . Cette équation est une équation-produit nul.
En effet,         . Le facteur    est en facteur de lui-même. Or, un
produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul. Résoudre l’équation
     revient donc à résoudre     .
L’équation      admet donc une solution double : .
1- Factorisons l’expression     .
   : on met en évidence l’identité remarquable  avec    et 
Correction de l’exercice 2

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       : on applique l’identité remarquable     
     : on réduit chacun des facteurs
Remarque importante : On peut poursuivre la factorisation puisque le deuxième facteur    peut s’écrire
    , c’est-à-dire   .
Ainsi,                  . (Les facteurs d’un
produit sont commutatifs, c’est-à-dire qu’on peut les permuter.)
2- Résolvons l’équation      .
      est une équation-produit nul. Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si
l’un des facteurs au moins est nul.
Résoudre l’équation       revient par conséquent à résoudre d’une part    
et d’autre part   .
L’équation       admet deux solutions :  et .
3- Résolvons l’équation     .
     revient à résoudre     
Or, d’après la première question,        .
D’autre part, d’après la deuxième question, l’équation       admet 2 solutions :  et .
Donc l’équation      admet exactement les mêmes solutions :  et .
 Vérifions que  est solution de l’équation      en remplaçant  par .
Donc  est solution de l’équation     .
 Vérifions que  est solution de l’équation      en remplaçant  par .
Donc  est solution de l’équation     .