Test n 4

IPM 2 TEST N° 4 14/01/2016
Les quatre parties de cet exercicepeuvent être traitées de façon indépendante.
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10−2
A. Loi de Poisson
On désigne par X la variable aléatoire qui, a tout intervalle de temps d’une durée de 30 secondes,
associe le nombredeskieurs se présentant àune remontée mécanique, entre 14 heures et 15 heures. On
admet que X suit la loi de Poisson de paramètre λ= 6.
1. Déterminer la probabilité P(X =6).
2. Calculer laprobabilité que pendantunintervalledetempsd’uneduréede30 secondes pris au hasard
entre 14 heures et 15 heures, il se présente au plus 6 skieurs.
B. Loi exponentielle
On désigne par T la variable aléatoire qui, à toute remontée mécanique choisie au hasard associe sa
durée de vie avant une défaillance.
On note P(T  t) la probabilité qu’une remontée mécanique n’ait pas de défaillance avant l’instant t,
exprimé en jours. On suppose que T suit une loi exponentielle de paramètre  = 0,004.On rappelle que
P(T t ) = e–t.
1. Calculer la probabilité qu’une remontée choisie au hasard fonctionne plus de 100 jours sans
défaillance.
2. Déterminer t pour que la probabilité qu’une remontée mécanique n’ait pas de défaillance
pendant t jours, soit égale à 0,9. Arrondir à l’entier par défaut.
C. Loi normale
Une entreprise découpe une grande quantité de tubes pour le montage des remontées mécaniques. La
longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque
celle-ci appartient à l’intervalle [245; 255].
On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d’une
journée, associe sa longueur.
1. Après un réglage de la machine, on admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de
moyenne 250 et d’écart type 3.
Calculer la probabilité qu’un tube pris au hasard dans la production de cette journée soit
conforme pour la longueur.
2. Le résultat obtenu au 1. n’est pas jugé satisfaisant. On décide de modifier l’écart type àl’aide
d’un nouveau réglagede la machine. Danscette question, la variable aléatoire Y suit une loi
normale de moyenne 250 et d’écart type σ.Déterminer l’écart type σ pour que P(245 Y 255)
=0,95.
D. Loi binomiale
Dans un lot de tubes, 3% des tubes ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard 50
tubes de ce lot. Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un
tirage avec remise de 50 lots. On considère la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement ainsi défini,
associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.
1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité P(Z =0).
3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au moins un tube ne soit pas conforme pour la
longueur.