Loi binomiale et échantillonnage Révisions de permière S 1 Loi de Bernoulli Dénition 1 : Épreuve de Bernoulli On nomme épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ayant deux issues possibles : un succès noté S et un échec noté E = S . Exemple : Vous lancez une pièce de monnaie après avoir parié sur pile. Il s'agit d'une expérience de Bernoulli : pile est le succès, face l'échec. Dénition 2 : Loi de Bernoulli Soit X la variable aléatoire associée à une épreuve de Bernoulli telle que : • X = 0 en cas d'échec, • X = 1 en cas de succès, et soit p la probabilité du succès. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. La loi de probabilité de X est donc : xi p(X = xi ) Propriété 1 : 0 1 p 1−p Espérance et variance Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p. L'espérance de X est E(X) = p. La variance de X est V (X) = p(1 − p). Par ailleurs, on se souvient que l'écart-type est : σ = 2 √ V , d'où : σ(X) = p p(1 − p). Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux Dénition 3 : Schéma de Bernoulli La succession de n épreuves de Bernoulli de paramètre p de façon indépendante (le résultat d'une épreuve n'inue pas sur les autres) constitue un schéma de Bernoulli. Exemple : On lance quatre fois d'alée une pièce de monnaie : il s'agit d'un schéma de Bernoulli puisqu'on a répété quatre fois une expérience de Bernoulli. Si l'on obtient : pile, pile, face, pile, et que pile est le succès, l'issue de ce schéma de Bernoulli est { S S S S }. 1 Dénition 4 : Coefficient binomial On pose un schéma de Bernoulli de n répétitions. n Pour tout 0 ≤ k ≤ n, on note le nombre de chemins permettant de réaliser k succès à k l'issue des n répétitions. 0 Par convention, on pose = 1. 0 n se lit k parmi n . k Si l'on reprend l'exemple de quatre lancers de pièce successifs, il y a quatre chemins permettant de réaliser trois succès : { S S S S }, { S S S S }, { S S S S }, { S S S S }. 4 On a donc = 4. 3 Remarque : Les coecients binomiaux se calculent par : n! n = , k k!(n − k)! avec n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n. Cette formule n'est pas au programme mais mérite d'être connue. Propriété 2 : Coefficients binomiaux Les coecients binomiaux vérient les propriétés suivantes : pour tous n∈N et 0 ≤ k ≤ n. On retrouve ces résultats dans le 0 1 2 3 4 .. . n 3 n−1 n−1 n + = k k−1 k n n =1 = n 0 n n = n−k k triangle de Pascal : 0 1 1 1 1 1 .. . 1 2 3 4 ··· 1 2 3 4 .. . 1 3 6 .. . 1 4 .. . 1 .. . ... n 0 n 1 n 2 n 3 n 4 ··· k n k Loi binomiale Dénition 5 : Loi binomiale On étudie un schéma de Bernoulli de n répétitions et de paramètre p (c'est-à-dire qu'on répète n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p). Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus. On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p et on note : X ∼ B(n, p). 2 Propriété 3 : Loi binomiale Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p). Pour tout entier k compris entre 0 et n, on a : n p(X = k) = × pk × (1 − p)n−k k Exemple : On lance cinq fois un dé (équilibré) à six faces. On nomme succès l'événement obtenir un 6 . Quelle est la probabilité d'obtenir trois succès ? X suit la loi binomiale de paramètres 5 et 61 . On a alors : p(X = 2) = 5−3 3 1 1 5 × 1− × 3 6 6 = 3 2 1 5 10 × × 6 6 = 0, 322 (valeur approchée à 10−4 près) Propriété 4 : Espérance, variance Soit X une variable aléatoire telle que X ∼ B(n, p). Son espérance est E(X) = np. Sa variance est V (X) = np(1 − p). • • On a aussi l'écart-type σ(X) = 4 p V (X). Échantillonnage 4.1 Intervalle de uctuation Dénition 6 : Intervalle de fluctuation (rappel de seconde) Soit p la proportion d'un caractère A dans une population avec p ∈ [0, 2 ; 0, 8]. Soit un échantillon de taille n ≥ 25 de cette population. h La fréquence f du caractère A dans l'échantillon appartient à l'intervalle p − avec une probabilité d'au moins 95 %. √1 n ; p+ √1 n i Propriété 5 Soit p la proportion d'un caractère A dans une population avec p ∈ [0, 2 ; 0, 8]. Soit un échantillon de taille n ≥ 25 de cette population. La variable aléatoire X qui compte le nombre d'individus de l'échantillon présentant le caractère A suit la loi binomiale de paramètres n et p. 3 Propriété 6 : Intervalle de fluctuation dans le cas d'une loi binomiale L'intervalle de uctuation à 95 % de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d'une variable aléatoire X ∼ B(n, p), est na ; nb , où a est le plus petit entier tel que p(X ≤ a) > 0, 025 et b le plus petit entier tel que p(X ≤ a) ≥ 0, 975. 4.2 Prise de décision sur un échantillon On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractère est p. Dans un échantillon de taille n extrait de cette population, le caractère a pour fréquence f . On cherche à vérier que la proportion du caractère dans la population est bien p. Soit I l'intervalle de uctuation à 95 % de f dans un échantillon de taille n (voir propriété 6) : • si f ∈ / I on rejette l'hypothèse initiale au seuil de risque 5 % ; • sinon, on ne rejette pas cette hypothèse au seuil de risque 5 %. 4.3 Un exemple Un laboratoire pharmaceutique annonce qu'un médicament sauve 40 % des patients atteints d'une maladie rare. Pour contrôler cette armation, on teste le médicament sur 100 patients touchés par cette maladie, et on sauve 30 malades. Au seuil de risque 5 %, que peut-on dire de l'annonce faite par le laboratoire? Soit X le nombre de malades sauvés par ce médicament dans un échantillon (aléatoire et assimilé à un tirage avec remise) de malades de taille 100. X suit la loi binomiale de paramètres 100 et 0,4. À l'aide de la calculatrice, on obtient : p(X ≤ 49) ≈ 0, 973 , d'où b = 50 p(X ≤ 50) ≈ 0, 983 L'intervalle de uctuation à 95 % de la fréquence dans les échantillons de taille 100 est donc [0, 31 ; 0, 50]. p(X ≤ 30) ≈ 0, 0248 , d'où a = 31 p(X ≤ 31) ≈ 0, 040 D'où la règle de décision : si f ∈ [0, 31 ; 0, 50] l'hypothèse p = 0, 40 est acceptable ; sinon elle est rejetée (au seuil de risque 5 %). La fréquence observée est f = 0, 30 et f ∈ / [0, 31 ; 0, 50], donc, au seuil de risque 5 %, on rejette l'hypothèse selon laquelle ce médicament guérit 40 % des malades. Références [1] Frédéric Gaudon (lycée Charles Péguy à Orléans). Loi de Bernoulli et loi binomiale. http://mathsfg.net.free.fr/. [2] F. Siecielski (lycée Léo Lagrange de Bully-les Mines). Loi binomiale et échantillonnage. http://lagrangeamaths.free.fr/. [3] Clara Parfeno, Alain Solean, and Alexis Museux. Schéma de Bernoulli, loi binomiale. http://www.parfenoff.org/. 4