Le temps de chute t
L’oscillateur harmonique amorti
Combinons une force de rappel linéaire et une force de frottement visqueux, le comportement de
l’élongation au cours du temps est donné par:
Le temps de chute tcest donc modifi´e par rapport `a une chute libre et est d´etermin´e approximativement(si
on peut n´egliger l’exponentielle dans la formule, c’est-`a-dire si le temps de chute est grand par rapport au
temps caract´eristique) par :
5-43 tc⇡H+m2g
2
mg
=H
mg +m
=H
v1
+v1
g
Il devientici directementproportionnel `a la hauteur Havec une correction qui tientcompte du temps
n´ecessaire au corps pour atteindre sa vitesse limite.
De mˆeme si la force de freinage proportionnelle au carr´e de la vitesse est rapidementdominante on a
avec une bonne approximation :
5-44
mdv
dt =mg ⇤v2
mdv
mg ⇤v2=dt
mZv
0
dv
mg ⇤v2=t
arctanh vp⇤
pmg =pmg⇤t
donc finalement :
5-45 v(t) = rmg
⇤tanh ⇣pmg⇤t⌘
ici aussi une vitesse limite v1=pmg/⇤peut ˆetre atteinte asymptotiquementet un temps caract´eristique
⌧= 1/pmg⇤´emerge. En int´egrantla vitesse, on obtientla position
5-46 x=HZt
0rmg
⇤tanh ⇣pmg⇤t⌘dt
on trouve :
5-47 x(t) = H1
⇤ln ⇣cosh ⇣p⇤mgt⌘⌘=H1
⇤ln ✓cosh ✓t
⌧◆◆
Ce qui nous donne un temps de chute approximatif tc(s’il est nettementplus grand que le temps car-
act´eristique ⌧) :
5-48 tc⇡⌧(ln 2 + H⇤) = H
v1
+(ln 2) ⌧
5-6 L’oscillateur harmonique amorti
Si on combine la force de rappel et la force de frottementvisqueux, le comportementde l’´elongation
(t)est d´etermin´e par l’´equation :
5-49 md2
dt2=kd
dt
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 77
Nous retrouvons une équation différentielle ordinaire du second ordre à coefficients constants.
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
Conditions initiales :
position initiale et vitesse
initiale.
L’oscillateur harmonique amorti
Deux solutions r1 et r2 qui sont (démonstration voir cours de math...):
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
Trois cas se présentent.
L’oscillateur harmonique amorti
Premier cas:
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
Les deux solutions r1 et r2 sont
réelles:
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
Note that in these calculations, we used the following relations (see Appendix):
ex=cosh(x)+sinh(x)
e−x=cosh(x)−sinh(x)(100)
The constant A1and A2can be found when initial conditions are given. Defining x0=x(0)
and v0=˙x(0), we find that A1=x0and A2=wx0+v0
w"and the solution becomes:
x(t)=e−wt !x0cosh(w"t)+wx0+v0
w"sinh(w"t)"(101)
This case is refered to as “over-damped oscillations”.
(2) If w=w0,theirisonlyoneeigenvaluesλ1=λ2=−w.Inthisparticularcase,the
solution of eq. (95) is of the form (see exercise 4):
x(t)=C1eλt+C2teλt
=C1e−wt −C2we−wt (102)
The constant C1and C2can be determined if the initial conditions are given. Defining
x0=x(0) and v0=˙x(0), we find that C1=x0and C2=−wx0+v0and the solution
becomes:
x(t)=e−wt(x0+(−wx0+v0)t)(103)
This case is refered to as “critically damped oscillations”.
(3) If w<w
0,thetwoeigenvaluesλ1and λ2are complex conjugated. They can be
written as:
λ=−w±i#w2
0−w2(104)
where i2=−1.
Remembering that (see Appendix):
eiθ=cos(θ)+isin(θ)ande−iθ=cos(θ)−isin(θ)(105)
and defining w"=$w2
0−w2(i.e. λ1,2=−w±iw"), we can write the general solution of
the differential equation (95) as:
x(t)=C1eλ1t+C2eλ2t
=C1e−w+iw!t+C2e−w−iw!t
=C1e−wteiw!t+C2e−we−iw!t
=e−wt %C1eiw!t+C2e−iw!t&
=e−wt (A1(cos(w"t)+A2sin(w"t))) (106)
20
L’oscillateur harmonique amorti
Premier cas:
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
Le comportement est donné par
une combinaison linéaire
d’exponentielles décroissantes
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
L’oscillateur harmonique amorti
Deuxième cas: Les deux solutions r1 et r2 sont
égales:
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
dans l’expression précédente.
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
C’est une ´equation qui appartient `a la classe canonique des ´equations di↵´erentielles du second degr´e `a
coefficients constants ; ´equations facilementsolubles.
Puisque l’on sait que la d´eriv´ee d’une exponentielle ert est encore une exponentielle rert,on peut
transformer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire `a coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. Plus
explicitement, en injectantun comportementde (t) = (0) ert dans l’´equation, on obtientune ´equation du
second degr´e en r:
5-50 mr2+r+k= 0
qui poss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1et r2.Si on prend en compte la position initiale (t=0) =0et
la vitesse initiale ˙
(t=0) =˙
0,on peut alors montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est unique
et qu’elle s’´ecrit[3] :
5-51
(t) = 0✓r2er1tr1er2t
r2r1◆+˙
0✓er2ter1t
r2r1◆
˙
(t) = 0r1r2✓er1ter2t
r2r1◆+˙
0✓r2er2tr1er1t
r2r1◆
Trois cas se pr´esentent :
•si 24km > 0alors r1et r2sontdistincts, r´eels, n´egatifs et valentrespectivement
5-52 r2=+p24km
2m
def
=↵+et r1=p24km
2m
def
=↵
avec
5-53 =r2
4m2k
met ↵=
2m
5-54
(t) = 1
0e↵t(↵sinh(t) + cosh(t)) +˙
0
1
e↵tsinh(t)
˙
(t) = 0
2↵2
e↵tsinh(t) + ˙
0
1
e↵t(cosh(t)↵sinh(t))
Le comportementest donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec, `a l’infini t!
+1,un comportementdomin´e par exp(↵+)t.
•si 24km = 0 alors r1et r2sont ´egaux :r1=r2=/(2m)def
=↵et l’expression de (t)et de
˙
(t)est `a r´e´ecrire. Apr`es un petit passage `a la limite (!0) dans l’expression pr´ec´edente de (t), on
trouve :
5-55
(t) = 0e↵t(1 + ↵t) + ˙
0te↵t
˙
(t) = 0(↵2t)e↵t+˙
0e↵t(1 ↵t)
3. Pour les d´emonstrations, nous renvoyons aux cours de math´ematiques sur le calcul di↵´erentiel et int´egral.
Forces/ L’oscillateur harmonique amorti 78
6
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