Th`ese Daikh: Temps de passage de paquets d`ondes de basses

Th`ese Daikh:
Temps de passage de paquets d’ondes de basses fr´equences ou limit´es en bandes
de fr´equences par une barri`ere de potentiel.
Ce travail consiste en ´etudier un probl`eme de transmission pour l’´equation de Klein-
Gordon unidimensionnelle sur un intervalle fini coupl´e avec l’´equation des ondes sur le
reste de l’axe r´eel. Ceci correspond `a un mod`ele d’une particule en m´ecanique quantique
qui bouge dans un monde `a une dimension en espace poss´edant une barri`ere de potentiel.
La particule va pr´esenter l’effet de tunnel, c.a.d. son apparition dans des endroits qui sont
classiquement interdits. Le but principal est l’´etude de la dynamique de ce ph´enom`ene.
On constate un ph´enom`ene de transmission avanc´ee de certains types de paquets
d’ondes en traversant la barri`ere. Ceci signifie que des aspects du paquet d’ondes avant le
passage se retrouvent de l’autre cot´e avant l’arriv´ee d’un signal test qui se propage sans
la pr´esence d’une barri`ere de potentiel. On consid`ere deux cas de figure: des paquets
Gaussiens modul´es ou des fonctions qui sont limit´ees en bande de fr´equence. Dans les
deux cas, ceci ne contredit pas la causalit´e classique, car les conditions initiales peuvent
ˆetre plus ou moins localis´ees, mais ne peuvent pas ˆetre `a support compact.
Ceci est en accord avec des exp´eriences physiques ´effectu´ees par A. Enders et G. Nimtz
en 1992 pour des micro-ondes et R.Y. Chiao, P.G. Kwiat et A.M. Steinberg en 1993 pour
des photons optiques. Un approche th´eorique pour une explication `a ´et´e propos´e par J.M.
Deutch et F.E. Low en 1993 pour des paquets Gaussiens utilisant la transformation de
Laplace en temps confirmant le temps de passage z´ero pour ce type de conditions initiales.
Dans cette th`ese nous adaptons d’abord l‘approche de Deutch et Low pour traiter des
paquets Gaussiens convolu´es avec des fonctions ayant une forme g´en´erale pour s’approcher
de la question de transmission avanc´ee d’information. Ensuite on aborde des barri`eres de
forme perturb´ee. Finalement nous utilisons un autre approche, celui de la th´eorie spectrale
(suivant J. Weidmann, 1987, E. Croc/Y. Dermenjian, 1995) qui nous permet de d´efinir
des paquets d’ondes qui sont limit´ees en bande de fr´equence. Ceci correspond `a la notion
des experimentateurs d’envoyer des paquets d’ondes “ayant une fr´equence principale”. Ici
on s’inspire du travail sur le probl`eme compl´ementaire de la reflexion retard´ee par F. Ali
Mehmeti et V. R´egnier (publi´e en 2004). On constate que pour des barri`eres suffisamment
larges, le temps de passage passe de presque zero pour des paquets de basses fr´equences
au temps utilis´e par un signal test sans barri`ere, quand la fr´equence tend vers l’infini.
Nous avons ainsi raffin´e dans plusieurs sens les ´etudes sur la dynamique de l’effet de
tunnel.
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