Série 3 : Oscillateur Harmonique Amorti

Niveau : SM - L2/Physique Semestre : 3
Module : UEF123 - Vibrations & Ondes Ann´ee : 1437 - 15/16
S´erie 3 : Oscillateur Harmonique Amorti
Exercice 3.1. Une masse de 0.3 kg est attach´e `a un ressort de constant de raideur 500 N/m. Elle
est soumise `a une force d’amortissement 0.1 N s/m. Calculer la fr´equence angulaire (pulsation)
non-amortie, la pulsation amortie, et les valeurs de γet Q.
Exercice 3.2. Un objet de masse 0.2 kg est suspendu `a un ressort dont la constante de raideur
est 80 N/m. L’objet est soumis `a une force de r´esistance donn´ee par −bv, o`u vest la vitesse en
m`etres par seconde.
(a) Mettre en place l’´equation diff´erentielle du mouvement pour les oscillations libres du sys-
t`eme.
(b) Si la fr´equence amorti est 0.995 d’une non-amortie, quelle est la valeur de la constante b?
(c) Quelle est la valeur de facteur de qualit´e Qdu syst`eme, et par quel facteur est l’amplitude
de l’oscillation r´eduite apr`es quatre cycles complets ?
(d) Quelle fraction de l’´energie initiale reste apr`es quatre oscillations ?
Exercice 3.3. Le d´eplacement de l’´equilibre, s(t), de stylo d’un enregistreur graphique peut
ˆetre mod´elis´ee comme une oscillateur harmonique amortie satisfaisant l’´equation diff´erentielle
homog`ene :
¨s+γ˙s+ω2
0s= 0
(a) Trouver l’´evolution temporelle du d´eplacement si le stylo est amortie de fa¸con critique avec
les conditions initiales s(t= 0) = 0 et ˙s(t= 0) = v0. Est-ce que s(t) changent de signe
avant qu’il s’installe `a son position d’´equilibre pour s= 0 ?
(b) Trouver la r´eponse d’un stylo sur-amorti pour les conditions initiales s(0) = s0et ˙s(0) = 0.
(c) Utilisez votre outil 1math´ematique pr´ef´er´ee pour tracer votre solution pour s(t) dans la
partie (b) en fonction de temps. Utilisez ω0= 3π/7, γ = 3 et s0= 1 pour la courbe. Prenez
t∈[0 −10] secondes. Pour votre propre curiosit´e, une fois que vous avez votre code ´ecrit,
vous pouvez varier γpour voir l’effet de l’amortissement sur la r´eponse.
Exercice 3.4. Soient les syst`emes m´ecaniques repr´esent´es dans les figures ci-dessous. Pour des
petites oscillations, d´eterminer pour chaque syst`eme :
(a) Le Lagrangien.
(b) L’´equation diff´erentielle du mouvement.
(c) La pulsation propre.
1. Exemples : Mathematica, Maple, Octave
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(d) La solution g´en´erale pour une faible amortissement pour les conditions initiales suivants :
θ(0) = 0,˙ θ(0) = ˙ θ0.
Exercice 3.5. Lorsque la chaˆıne Ed’un outil (fr´equence 330 Hz) est pinc´ee, l’intensit´e sonore
diminue par un facteur de 2 apr`es 4 s. D´eterminer
(i) Le temps de d´ecroissance (constant de temps) τ.
(ii) Le facteur de qualit´e Q.
(iii) La perte d’´energie par cycle.
Exercice 3.6. Une masse de 0.50 kg est suspendu `a l’extr´emit´e d’un ressort l´eg`ere. Le sys-
t`eme est amorti par une voile l´eg`ere fix´ee `a la masse de sorte que le rapport des amplitudes
des oscillations cons´ecutives est ´egal `a 0.90. On constate que 10 oscillations compl`ete prend
25 s. Obtenir une expression quantitative de la force d’amortissement et d´eterminer le facteur
d’amortissement du syst`eme γ.
Exercice 3.7. La figure montre un graphique du d´eplacement xvs temps tpour un oscillateur
harmonique amorti. En d´eduire le facteur de qualit´e Qde l’oscillateur.
Exercice 3.8. Un oscillateur non-amorti a une fr´equence naturelle ω0. Diverses quantit´es
d’amortissement sont ajout´es au syst`eme pour donner des valeurs de facteur d’amortissement
γ´egal `a : 0.01,0.30 et 1.0 s−1.
1. Pour chaque valeur de γtrouver le correspondant Q-valeur et la fr´equence γdes oscilla-
tions amorties. Commenter le changement de ωau cours de cette intervalle de γ.
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2. Pour chacune des valeurs de Q, utiliser un tableur pour tracer x=A0exp (−γt/2) cos(ωt)
durant l’intervalle de temps t= 0 `a 10 s, utilisant une valeur de 10 mm pour A0.
3. Obtenir une expression pour xpour le cas d’amortissement critique avec la condition
initiale x= 10 mm et dx/dt= 0. Tracer xpendant l’intervalle de temps t= 0 `a 10 s.
Exercice 3.9. Le syst`eme de la figure ci-contre est constitu´e d’un cylindre
homog`ene de masse Met de rayon Ren rotation autour de son axe de
r´evolution fixe (∆). Un fil inextensible, de masse n´egligeable, entraˆıne
le cylindre sans glissement sur sa p´eriph´erie ; ses deux extr´emit´es sont
reli´ees `a un bˆati fixe (B) par un ressort de raideur Ket un amortisseur
de coefficient de frottement visqueux b. Quelle est la valeur critique du
coefficient bc?
Exercice 3.10. ?? Selon la th´eorie ´electromagn´etique classique, une acc´el´eration d’´electrons
´emet de l’´energie `a un taux Ke2a2/c3, o`u aest l’acc´el´eration, eest la charge ´electrique, cest
la vitesse de la lumi`ere et Kest une constante ayant une valeur de 6 ×109Nm2C−2. Supposer
que le mouvement de l’´electron peut ˆetre repr´esent´ee par l’expression x=Asin ωt pendant un
cycle de son mouvement.
(a) Montrer que l’´energie ´emet pendant un cycle est Ke2πω3A2/c3.
(b) Rappelant que l’´energie totale d’un oscillateur harmonique est mω2A2/2 o`u mest la masse,
montrent que le facteur de qualit´e Qest mc3/Ke2ω.
(c) Pour une valeur typique de ωpour un photon visible, estimer la “dur´ee de vie” [lifetime]
τ= 1/δ du syst`eme rayonnant. (e= 1,6×10−19 C, me−= 9,1×10−31 kg).
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