Série 3 : Oscillateur Harmonique Amorti

Niveau : SM - L2/Physique
Module : UEF123 - Vibrations & Ondes
Semestre : 3
Année : 1437 - 15/16
Série 3 : Oscillateur Harmonique Amorti
Exercice 3.1. Une masse de 0.3 kg est attaché à un ressort de constant de raideur 500 N/m. Elle
est soumise à une force d’amortissement 0.1 N s/m. Calculer la fréquence angulaire (pulsation)
non-amortie, la pulsation amortie, et les valeurs de γ et Q.
Exercice 3.2. Un objet de masse 0.2 kg est suspendu à un ressort dont la constante de raideur
est 80 N/m. L’objet est soumis à une force de résistance donnée par −bv, où v est la vitesse en
mètres par seconde.
(a) Mettre en place l’équation différentielle du mouvement pour les oscillations libres du système.
(b) Si la fréquence amorti est 0.995 d’une non-amortie, quelle est la valeur de la constante b ?
(c) Quelle est la valeur de facteur de qualité Q du système, et par quel facteur est l’amplitude
de l’oscillation réduite après quatre cycles complets ?
(d) Quelle fraction de l’énergie initiale reste après quatre oscillations ?
Exercice 3.3. Le déplacement de l’équilibre, s(t), de stylo d’un enregistreur graphique peut
être modélisée comme une oscillateur harmonique amortie satisfaisant l’équation différentielle
homogène :
s̈ + γ ṡ + ω02 s = 0
(a) Trouver l’évolution temporelle du déplacement si le stylo est amortie de façon critique avec
les conditions initiales s(t = 0) = 0 et ṡ(t = 0) = v0 . Est-ce que s(t) changent de signe
avant qu’il s’installe à son position d’équilibre pour s = 0 ?
(b) Trouver la réponse d’un stylo sur-amorti pour les conditions initiales s(0) = s0 et ṡ(0) = 0.
(c) Utilisez votre outil 1 mathématique préférée pour tracer votre solution pour s(t) dans la
partie (b) en fonction de temps. Utilisez ω0 = 3π/7, γ = 3 et s0 = 1 pour la courbe. Prenez
t ∈ [0 − 10] secondes. Pour votre propre curiosité, une fois que vous avez votre code écrit,
vous pouvez varier γ pour voir l’effet de l’amortissement sur la réponse.
Exercice 3.4. Soient les systèmes mécaniques représentés dans les figures ci-dessous. Pour des
petites oscillations, déterminer pour chaque système :
(a) Le Lagrangien.
(b) L’équation différentielle du mouvement.
(c) La pulsation propre.
1. Exemples : Mathematica, Maple, Octave
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(d) La solution générale pour une faible amortissement pour les conditions initiales suivants :
θ(0) = 0, θ̇(0) = θ̇0 .
Exercice 3.5. Lorsque la chaı̂ne E d’un outil (fréquence 330 Hz) est pincée, l’intensité sonore
diminue par un facteur de 2 après 4 s. Déterminer
(i) Le temps de décroissance (constant de temps) τ .
(ii) Le facteur de qualité Q.
(iii) La perte d’énergie par cycle.
Exercice 3.6. Une masse de 0.50 kg est suspendu à l’extrémité d’un ressort légère. Le système est amorti par une voile légère fixée à la masse de sorte que le rapport des amplitudes
des oscillations consécutives est égal à 0.90. On constate que 10 oscillations complète prend
25 s. Obtenir une expression quantitative de la force d’amortissement et déterminer le facteur
d’amortissement du système γ.
Exercice 3.7. La figure montre un graphique du déplacement x vs temps t pour un oscillateur
harmonique amorti. En déduire le facteur de qualité Q de l’oscillateur.
Exercice 3.8. Un oscillateur non-amorti a une fréquence naturelle ω0 . Diverses quantités
d’amortissement sont ajoutés au système pour donner des valeurs de facteur d’amortissement
γ égal à : 0.01, 0.30 et 1.0 s−1 .
1. Pour chaque valeur de γ trouver le correspondant Q-valeur et la fréquence γ des oscillations amorties. Commenter le changement de ω au cours de cette intervalle de γ.
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2. Pour chacune des valeurs de Q, utiliser un tableur pour tracer x = A0 exp (−γt/2) cos(ωt)
durant l’intervalle de temps t = 0 à 10 s, utilisant une valeur de 10 mm pour A0 .
3. Obtenir une expression pour x pour le cas d’amortissement critique avec la condition
initiale x = 10 mm et dx/dt = 0. Tracer x pendant l’intervalle de temps t = 0 à 10 s.
Exercice 3.9. Le système de la figure ci-contre est constitué d’un cylindre
homogène de masse M et de rayon R en rotation autour de son axe de
révolution fixe (∆). Un fil inextensible, de masse négligeable, entraı̂ne
le cylindre sans glissement sur sa périphérie ; ses deux extrémités sont
reliées à un bâti fixe (B) par un ressort de raideur K et un amortisseur
de coefficient de frottement visqueux b. Quelle est la valeur critique du
coefficient bc ?
Exercice 3.10. ?? Selon la théorie électromagnétique classique, une accélération d’électrons
émet de l’énergie à un taux Ke2 a2 /c3 , où a est l’accélération, e est la charge électrique, c est
la vitesse de la lumière et K est une constante ayant une valeur de 6 × 109 Nm2 C−2 . Supposer
que le mouvement de l’électron peut être représentée par l’expression x = A sin ωt pendant un
cycle de son mouvement.
(a) Montrer que l’énergie émet pendant un cycle est Ke2 πω 3 A2 /c3 .
(b) Rappelant que l’énergie totale d’un oscillateur harmonique est mω 2 A2 /2 où m est la masse,
montrent que le facteur de qualité Q est mc3 /Ke2 ω.
(c) Pour une valeur typique de ω pour un photon visible, estimer la “durée de vie” [lifetime]
τ = 1/δ du système rayonnant. (e = 1, 6 × 10−19 C, me− = 9, 1 × 10−31 kg).
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