LES LOIS FONDAMENTALES DE LA PHYSIQUE I. NEWTON 1687

Les forces
LES LOIS FONDAMENTALES
DE LA PHYSIQUE
I. NEWTON
1687

Conservation de la quantité de mouvement
Pour un système de N points matériels:
qui se lit comme :la variation de la quantit´e de mouvement entredeux instants est ´egale `a l’impulsion de
la force pendant l’intervalle de temps, o`u l’on a d´efini l’impulsion comme ´etantl’int´egrale de la force sur
l’intervalle de temps consid´er´e.
Cette ´equation est paraphras´ee par l’affirmation suivante :plus courte sera la chute plus dur sera le
choc.En e↵et si l’on part `a l’instantt1avec une vitesse v(t1) = v0pour atteindre `a un instantult´erieur t2
une vitesse nulle v(t2) = 0 et si on suppose que la force Fest constante, alors la relation
6-3 mv0=F(t2t1)!F=mv0
t2t1
ne dit rien d’autre que “plus le temps d’arrˆet est court, plus la force doit ˆetre grande”.
Si la force totale ! Fest nulle, alors on ale th´eor`eme de conservation de la quantit´e de mouvement :
6-4 si ! Ftot =! 0alors ! p(t2) = ! p(t1)
Cette relation n’apprend rien de neuf car si la force totale sur un pointmassif est nulle alors on sait int´egrer
directementles ´equations du mouvementet pr´edire que la trajectoire est une ligne droite parcourue `a vitesse
constante.
6-2 La quantit´e de mouvement totale et le centre de masse
Pour un syst`eme de Npoints mat´eriels {A1,···, Ai,···AN}de masse respective{m1,···,mi,···,mN}
,on peut ´ecrire l’ensemble des ´equations de Newton en explicitantla force externe totale sur chaque point
Aiet les forces internes entre les points Ai:
6-5
d
dt!
p1=! Fext/1+! F2/1+! F3/1+···+! FN/1
d
dt!
p2=! Fext/2+! F1/2+! F3/2+···+! FN/2
···=···
d
dt!
pN=! Fext/N+! F1/N +! F2/N +···+! FN1/N
symboliquement r´esum´e en :
6-6 d
dt!
pi=! Fext/i +
j=N
X
j=1, j6=i
!
Fj/i
Si nous sommons toutes ces ´equations dynamiques, nous obtenons l’affirmation :la d´eriv´ee par rapport
au temps de la quantit´e de mouvementtotale ! P(= Pi! pi)est ´egale `a la somme des forces externes (la
troisi`eme loi de Newton nous garantit que toutes les forces internes s’´equilibrent ) :
6-7 d
dt!
Pdef =d
dt
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
!
Fext/i +
N
X
i=1 X
j6=i
!
Fj/i =
N
X
i=1
!
Fext/i
def
=! FTot.Ext
Th´eor`emes/ impulsion 88
de masse respective:
qui se lit comme :la variation de la quantit´e de mouvement entredeux instants est ´egale `a l’impulsion de
la force pendant l’intervalle de temps, o`u l’on a d´efini l’impulsion comme ´etantl’int´egrale de la force sur
l’intervalle de temps consid´er´e.
Cette ´equation est paraphras´ee par l’affirmation suivante :plus courte sera la chute plus dur sera le
choc.En e↵et si l’on part `a l’instantt1avec une vitesse v(t1) = v0pour atteindre `a un instantult´erieur t2
une vitesse nulle v(t2) = 0 et si on suppose que la force Fest constante, alors la relation
6-3 mv0=F(t2t1)!F=mv0
t2t1
ne dit rien d’autre que “plus le temps d’arrˆet est court, plus la force doit ˆetre grande”.
Si la force totale ! Fest nulle, alors on ale th´eor`eme de conservation de la quantit´e de mouvement :
6-4 si ! Ftot =! 0alors ! p(t2) = ! p(t1)
Cette relation n’apprend rien de neuf car si la force totale sur un pointmassif est nulle alors on sait int´egrer
directementles ´equations du mouvementet pr´edire que la trajectoire est une ligne droite parcourue `a vitesse
constante.
6-2 La quantit´e de mouvement totale et le centre de masse
Pour un syst`eme de Npoints mat´eriels {A1,···, Ai,···AN}de masse respective{m1,···,mi,···,mN}
,on peut ´ecrire l’ensemble des ´equations de Newton en explicitantla force externe totale sur chaque point
Aiet les forces internes entre les points Ai:
6-5
d
dt!
p1=! Fext/1+! F2/1+! F3/1+···+! FN/1
d
dt!
p2=! Fext/2+! F1/2+! F3/2+···+! FN/2
···=···
d
dt!
pN=! Fext/N+! F1/N +! F2/N +···+! FN1/N
symboliquement r´esum´e en :
6-6 d
dt!
pi=! Fext/i +
j=N
X
j=1, j6=i
!
Fj/i
Si nous sommons toutes ces ´equations dynamiques, nous obtenons l’affirmation :la d´eriv´ee par rapport
au temps de la quantit´e de mouvementtotale ! P(= Pi! pi)est ´egale `a la somme des forces externes (la
troisi`eme loi de Newton nous garantit que toutes les forces internes s’´equilibrent ) :
6-7 d
dt!
Pdef =d
dt
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
!
Fext/i +
N
X
i=1 X
j6=i
!
Fj/i =
N
X
i=1
!
Fext/i
def
=! FTot.Ext
Th´eor`emes/ impulsion 88
qui se lit comme :la variation de la quantit´e de mouvement entredeux instants est ´egale `a l’impulsion de
la force pendant l’intervalle de temps, o`u l’on a d´efini l’impulsion comme ´etantl’int´egrale de la force sur
l’intervalle de temps consid´er´e.
Cette ´equation est paraphras´ee par l’affirmation suivante :plus courte sera la chute plus dur sera le
choc.En e↵et si l’on part `a l’instantt1avec une vitesse v(t1) = v0pour atteindre `a un instantult´erieur t2
une vitesse nulle v(t2) = 0 et si on suppose que la force Fest constante, alors la relation
6-3 mv0=F(t2t1)!F=mv0
t2t1
ne dit rien d’autre que “plus le temps d’arrˆet est court, plus la force doit ˆetre grande”.
Si la force totale ! Fest nulle, alors on ale th´eor`eme de conservation de la quantit´e de mouvement :
6-4 si ! Ftot =! 0alors ! p(t2) = ! p(t1)
Cette relation n’apprend rien de neuf car si la force totale sur un pointmassif est nulle alors on sait int´egrer
directementles ´equations du mouvementet pr´edire que la trajectoire est une ligne droite parcourue `a vitesse
constante.
6-2 La quantit´e de mouvement totale et le centre de masse
Pour un syst`eme de Npoints mat´eriels {A1,···, Ai,···AN}de masse respective{m1,···,mi,···,mN}
,on peut ´ecrire l’ensemble des ´equations de Newton en explicitantla force externe totale sur chaque point
Aiet les forces internes entre les points Ai:
6-5
d
dt!
p1=! Fext/1+! F2/1+! F3/1+···+! FN/1
d
dt!
p2=! Fext/2+! F1/2+! F3/2+···+! FN/2
···=···
d
dt!
pN=! Fext/N+! F1/N +! F2/N +···+! FN1/N
symboliquement r´esum´e en :
6-6 d
dt!
pi=! Fext/i +
j=N
X
j=1, j6=i
!
Fj/i
Si nous sommons toutes ces ´equations dynamiques, nous obtenons l’affirmation :la d´eriv´ee par rapport
au temps de la quantit´e de mouvementtotale ! P(= Pi! pi)est ´egale `a la somme des forces externes (la
troisi`eme loi de Newton nous garantit que toutes les forces internes s’´equilibrent ) :
6-7 d
dt!
Pdef =d
dt
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
!
Fext/i +
N
X
i=1 X
j6=i
!
Fj/i =
N
X
i=1
!
Fext/i
def
=! FTot.Ext
Th´eor`emes/ impulsion 88
On peut écrire les équations de Newton en explicitant les forces externe et
internes sur chaque point:
qui se lit comme :la variation de la quantit´e de mouvement entredeux instants est ´egale `a l’impulsion de
la force pendant l’intervalle de temps, o`u l’on a d´efini l’impulsion comme ´etantl’int´egrale de la force sur
l’intervalle de temps consid´er´e.
Cette ´equation est paraphras´ee par l’affirmation suivante :plus courte sera la chute plus dur sera le
choc.En e↵et si l’on part `a l’instantt1avec une vitesse v(t1) = v0pour atteindre `a un instantult´erieur t2
une vitesse nulle v(t2) = 0 et si on suppose que la force Fest constante, alors la relation
6-3 mv0=F(t2t1)!F=mv0
t2t1
ne dit rien d’autre que “plus le temps d’arrˆet est court, plus la force doit ˆetre grande”.
Si la force totale ! Fest nulle, alors on ale th´eor`eme de conservation de la quantit´e de mouvement :
6-4 si ! Ftot =! 0alors ! p(t2) = ! p(t1)
Cette relation n’apprend rien de neuf car si la force totale sur un pointmassif est nulle alors on sait int´egrer
directementles ´equations du mouvementet pr´edire que la trajectoire est une ligne droite parcourue `a vitesse
constante.
6-2 La quantit´e de mouvement totale et le centre de masse
Pour un syst`eme de Npoints mat´eriels {A1,···, Ai,···AN}de masse respective{m1,···,mi,···,mN}
,on peut ´ecrire l’ensemble des ´equations de Newton en explicitantla force externe totale sur chaque point
Aiet les forces internes entre les points Ai:
6-5
d
dt!
p1=! Fext/1+! F2/1+! F3/1+···+! FN/1
d
dt!
p2=! Fext/2+! F1/2+! F3/2+···+! FN/2
···=···
d
dt!
pN=! Fext/N+! F1/N +! F2/N +···+! FN1/N
symboliquement r´esum´e en :
6-6 d
dt!
pi=! Fext/i +
j=N
X
j=1, j6=i
!
Fj/i
Si nous sommons toutes ces ´equations dynamiques, nous obtenons l’affirmation :la d´eriv´ee par rapport
au temps de la quantit´e de mouvementtotale ! P(= Pi! pi)est ´egale `a la somme des forces externes (la
troisi`eme loi de Newton nous garantit que toutes les forces internes s’´equilibrent ) :
6-7 d
dt!
Pdef =d
dt
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
!
Fext/i +
N
X
i=1 X
j6=i
!
Fj/i =
N
X
i=1
!
Fext/i
def
=! FTot.Ext
Th´eor`emes/ impulsion 88
Que l’on résume en notation:

Conservation de la quantité de mouvement
Si nous sommons toutes ces équations dynamiques, nous obtenons: la dérivée par rapport
au temps de la quantité de mouvement totale est égale à la somme des forces externes, la
troisième loi de Newton nous garantit que toutes les forces internes s’équilibrent :
qui se lit comme :la variation de la quantit´e de mouvement entredeux instants est ´egale `a l’impulsion de
la force pendant l’intervalle de temps, o`u l’on a d´efini l’impulsion comme ´etantl’int´egrale de la force sur
l’intervalle de temps consid´er´e.
Cette ´equation est paraphras´ee par l’affirmation suivante :plus courte sera la chute plus dur sera le
choc.En e↵et si l’on part `a l’instantt1avec une vitesse v(t1) = v0pour atteindre `a un instantult´erieur t2
une vitesse nulle v(t2) = 0 et si on suppose que la force Fest constante, alors la relation
6-3 mv0=F(t2t1)!F=mv0
t2t1
ne dit rien d’autre que “plus le temps d’arrˆet est court, plus la force doit ˆetre grande”.
Si la force totale ! Fest nulle, alors on ale th´eor`eme de conservation de la quantit´e de mouvement :
6-4 si ! Ftot =! 0alors ! p(t2) = ! p(t1)
Cette relation n’apprend rien de neuf car si la force totale sur un pointmassif est nulle alors on sait int´egrer
directementles ´equations du mouvementet pr´edire que la trajectoire est une ligne droite parcourue `a vitesse
constante.
6-2 La quantit´e de mouvement totale et le centre de masse
Pour un syst`eme de Npoints mat´eriels {A1,···, Ai,···AN}de masse respective{m1,···,mi,···,mN}
,on peut ´ecrire l’ensemble des ´equations de Newton en explicitantla force externe totale sur chaque point
Aiet les forces internes entre les points Ai:
6-5
d
dt!
p1=! Fext/1+! F2/1+! F3/1+···+! FN/1
d
dt!
p2=! Fext/2+! F1/2+! F3/2+···+! FN/2
···=···
d
dt!
pN=! Fext/N+! F1/N +! F2/N +···+! FN1/N
symboliquement r´esum´e en :
6-6 d
dt!
pi=! Fext/i +
j=N
X
j=1, j6=i
!
Fj/i
Si nous sommons toutes ces ´equations dynamiques, nous obtenons l’affirmation :la d´eriv´ee par rapport
au temps de la quantit´e de mouvementtotale ! P(= Pi! pi)est ´egale `a la somme des forces externes (la
troisi`eme loi de Newton nous garantit que toutes les forces internes s’´equilibrent ) :
6-7 d
dt!
Pdef =d
dt
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
!
Fext/i +
N
X
i=1 X
j6=i
!
Fj/i =
N
X
i=1
!
Fext/i
def
=! FTot.Ext
Th´eor`emes/ impulsion 88
Sommer les équations des N corps élimine les forces internes mais aussi remplace
les N équations du mouvement par une seule.
On perd donc le détail du comportement individuel de chaque point.

Conservation de la quantité de mouvement
La quantité de mouvement totale:
Nous permet de définir un point fictif : le centre de masse G
Sommer les ´equations des Ncorps ´elimine les forces internes mais aussi remplace les N´equations du
mouvementpar une seule. On perd donc le d´etail du comportementindividuel de chaque point. La quantit´e
de mouvementtotale ! P,qui apparaˆıt dans l’´equation pr´ec´edente, nous permet de d´efinir un pointfictif :le
centre de masse G,dontla position ! OG va ˆetre d´etermin´ee pour assurer la propri´et´e suivante :
6-8 ! P=
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
mi! vi=d
dt
N
X
i=1
mi! OAi
def
=Md
dt!
OG =M! VG
o`u Mest la masse totale des Npoints. On ´ecrira donc :
6-9 M=
N
X
i=1
miet ! OG =1
M
N
X
i=1
mi! OAi
ou encore, si ⇢est la masse par unit´e de volume :
6-10 M=Z Z Z ⇢dV ;! OG =1
MZZZ⇢!
xdV
L’´equation de Newton pour la quantit´e de mouvementtotale peut donc s’exprimer aussi sous la forme :
6-11 d
dtM!
VG=! FTot.Ext
Le centre de masse des Ncorps (le pointG)ob´eit donc `a la deuxi`eme loi de Newton avec comme force
motrice la somme des forces externes agissantsur chaque point. Si cette force externe est la gravitation, la
force externe totale est alors le poids total du corps. Lors d’un tir balistique, par exemple, le centre de masse
va d´ecrire une trajectoire parabolique mˆeme si l’objet lanc´e se d´esint´egre en vol sous l’e↵et d’un m´ecanisme
interne.
6-3 La conservation de la quantit´e de mouvement
Si la force externe totale est nulle, alors on obtientle th´eor`eme dit de la conservation de la quantit´e de
mouvementtotale.L’´equation g´en´erale (6-7) nous assure en e↵et l’invariance de la quantit´e de mouvement
totale, invariance qui s’exprime aussi en disantque le centre de masse Greste dans l’´etat de mouvement
qu’il occupait :
6-12 d
dt!
P= 0 !X! pi(t1) = X! pj(t2)8t1&8t2! VG(t2) = ! VG(t1)
Illustrons ce th´eor`eme par quelques exemples simples.
Expulsion :
Un corps constitu´e de deux masses Met minitialementimmobile, expulse la masse mdonton mesure
vitesse ! v,que peut-on en d´eduire pour la masse restante M?
Th´eor`emes/ impulsion 89
dont la position va être déterminée pour assurer la propriété suivante :
Sommer les ´equations des Ncorps ´elimine les forces internes mais aussi remplace les N´equations du
mouvementpar une seule. On perd donc le d´etail du comportementindividuel de chaque point. La quantit´e
de mouvementtotale ! P,qui apparaˆıt dans l’´equation pr´ec´edente, nous permet de d´efinir un pointfictif :le
centre de masse G,dontla position ! OG va ˆetre d´etermin´ee pour assurer la propri´et´e suivante :
6-8 ! P=
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
mi! vi=d
dt
N
X
i=1
mi! OAi
def
=Md
dt!
OG =M! VG
o`u Mest la masse totale des Npoints. On ´ecrira donc :
6-9 M=
N
X
i=1
miet ! OG =1
M
N
X
i=1
mi! OAi
ou encore, si ⇢est la masse par unit´e de volume :
6-10 M=Z Z Z ⇢dV ;! OG =1
MZZZ⇢!
xdV
L’´equation de Newton pour la quantit´e de mouvementtotale peut donc s’exprimer aussi sous la forme :
6-11 d
dtM!
VG=! FTot.Ext
Le centre de masse des Ncorps (le pointG)ob´eit donc `a la deuxi`eme loi de Newton avec comme force
motrice la somme des forces externes agissantsur chaque point. Si cette force externe est la gravitation, la
force externe totale est alors le poids total du corps. Lors d’un tir balistique, par exemple, le centre de masse
va d´ecrire une trajectoire parabolique mˆeme si l’objet lanc´e se d´esint´egre en vol sous l’e↵et d’un m´ecanisme
interne.
6-3 La conservation de la quantit´e de mouvement
Si la force externe totale est nulle, alors on obtientle th´eor`eme dit de la conservation de la quantit´e de
mouvementtotale.L’´equation g´en´erale (6-7) nous assure en e↵et l’invariance de la quantit´e de mouvement
totale, invariance qui s’exprime aussi en disantque le centre de masse Greste dans l’´etat de mouvement
qu’il occupait :
6-12 d
dt!
P= 0 !X! pi(t1) = X! pj(t2)8t1&8t2! VG(t2) = ! VG(t1)
Illustrons ce th´eor`eme par quelques exemples simples.
Expulsion :
Un corps constitu´e de deux masses Met minitialementimmobile, expulse la masse mdonton mesure
vitesse ! v,que peut-on en d´eduire pour la masse restante M?
Th´eor`emes/ impulsion 89
où M est la masse totale des N points.
Sommer les ´equations des Ncorps ´elimine les forces internes mais aussi remplace les N´equations du
mouvementpar une seule. On perd donc le d´etail du comportementindividuel de chaque point. La quantit´e
de mouvementtotale ! P,qui apparaˆıt dans l’´equation pr´ec´edente, nous permet de d´efinir un pointfictif :le
centre de masse G,dontla position ! OG va ˆetre d´etermin´ee pour assurer la propri´et´e suivante :
6-8 ! P=
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
mi! vi=d
dt
N
X
i=1
mi! OAi
def
=Md
dt!
OG =M! VG
o`u Mest la masse totale des Npoints. On ´ecrira donc :
6-9 M=
N
X
i=1
miet ! OG =1
M
N
X
i=1
mi! OAi
ou encore, si ⇢est la masse par unit´e de volume :
6-10 M=Z Z Z ⇢dV ;! OG =1
MZZZ⇢!
xdV
L’´equation de Newton pour la quantit´e de mouvementtotale peut donc s’exprimer aussi sous la forme :
6-11 d
dtM!
VG=! FTot.Ext
Le centre de masse des Ncorps (le pointG)ob´eit donc `a la deuxi`eme loi de Newton avec comme force
motrice la somme des forces externes agissantsur chaque point. Si cette force externe est la gravitation, la
force externe totale est alors le poids total du corps. Lors d’un tir balistique, par exemple, le centre de masse
va d´ecrire une trajectoire parabolique mˆeme si l’objet lanc´e se d´esint´egre en vol sous l’e↵et d’un m´ecanisme
interne.
6-3 La conservation de la quantit´e de mouvement
Si la force externe totale est nulle, alors on obtientle th´eor`eme dit de la conservation de la quantit´e de
mouvementtotale.L’´equation g´en´erale (6-7) nous assure en e↵et l’invariance de la quantit´e de mouvement
totale, invariance qui s’exprime aussi en disantque le centre de masse Greste dans l’´etat de mouvement
qu’il occupait :
6-12 d
dt!
P= 0 !X! pi(t1) = X! pj(t2)8t1&8t2! VG(t2) = ! VG(t1)
Illustrons ce th´eor`eme par quelques exemples simples.
Expulsion :
Un corps constitu´e de deux masses Met minitialementimmobile, expulse la masse mdonton mesure
vitesse ! v,que peut-on en d´eduire pour la masse restante M?
Th´eor`emes/ impulsion 89
Sommer les ´equations des Ncorps ´elimine les forces internes mais aussi remplace les N´equations du
mouvementpar une seule. On perd donc le d´etail du comportementindividuel de chaque point. La quantit´e
de mouvementtotale ! P,qui apparaˆıt dans l’´equation pr´ec´edente, nous permet de d´efinir un pointfictif :le
centre de masse G,dontla position ! OG va ˆetre d´etermin´ee pour assurer la propri´et´e suivante :
6-8 ! P=
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
mi! vi=d
dt
N
X
i=1
mi! OAi
def
=Md
dt!
OG =M! VG
o`u Mest la masse totale des Npoints. On ´ecrira donc :
6-9 M=
N
X
i=1
miet ! OG =1
M
N
X
i=1
mi! OAi
ou encore, si ⇢est la masse par unit´e de volume :
6-10 M=Z Z Z ⇢dV ;! OG =1
MZZZ⇢!
xdV
L’´equation de Newton pour la quantit´e de mouvementtotale peut donc s’exprimer aussi sous la forme :
6-11 d
dtM!
VG=! FTot.Ext
Le centre de masse des Ncorps (le pointG)ob´eit donc `a la deuxi`eme loi de Newton avec comme force
motrice la somme des forces externes agissantsur chaque point. Si cette force externe est la gravitation, la
force externe totale est alors le poids total du corps. Lors d’un tir balistique, par exemple, le centre de masse
va d´ecrire une trajectoire parabolique mˆeme si l’objet lanc´e se d´esint´egre en vol sous l’e↵et d’un m´ecanisme
interne.
6-3 La conservation de la quantit´e de mouvement
Si la force externe totale est nulle, alors on obtientle th´eor`eme dit de la conservation de la quantit´e de
mouvementtotale.L’´equation g´en´erale (6-7) nous assure en e↵et l’invariance de la quantit´e de mouvement
totale, invariance qui s’exprime aussi en disantque le centre de masse Greste dans l’´etat de mouvement
qu’il occupait :
6-12 d
dt!
P= 0 !X! pi(t1) = X! pj(t2)8t1&8t2! VG(t2) = ! VG(t1)
Illustrons ce th´eor`eme par quelques exemples simples.
Expulsion :
Un corps constitu´e de deux masses Met minitialementimmobile, expulse la masse mdonton mesure
vitesse ! v,que peut-on en d´eduire pour la masse restante M?
Th´eor`emes/ impulsion 89
Position du centre de masse:
Sommer les ´equations des Ncorps ´elimine les forces internes mais aussi remplace les N´equations du
mouvementpar une seule. On perd donc le d´etail du comportementindividuel de chaque point. La quantit´e
de mouvementtotale ! P,qui apparaˆıt dans l’´equation pr´ec´edente, nous permet de d´efinir un pointfictif :le
centre de masse G,dontla position ! OG va ˆetre d´etermin´ee pour assurer la propri´et´e suivante :
6-8 ! P=
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
mi! vi=d
dt
N
X
i=1
mi! OAi
def
=Md
dt!
OG =M! VG
o`u Mest la masse totale des Npoints. On ´ecrira donc :
6-9 M=
N
X
i=1
miet ! OG =1
M
N
X
i=1
mi! OAi
ou encore, si ⇢est la masse par unit´e de volume :
6-10 M=Z Z Z ⇢dV ;! OG =1
MZZZ⇢!
xdV
L’´equation de Newton pour la quantit´e de mouvementtotale peut donc s’exprimer aussi sous la forme :
6-11 d
dtM!
VG=! FTot.Ext
Le centre de masse des Ncorps (le pointG)ob´eit donc `a la deuxi`eme loi de Newton avec comme force
motrice la somme des forces externes agissantsur chaque point. Si cette force externe est la gravitation, la
force externe totale est alors le poids total du corps. Lors d’un tir balistique, par exemple, le centre de masse
va d´ecrire une trajectoire parabolique mˆeme si l’objet lanc´e se d´esint´egre en vol sous l’e↵et d’un m´ecanisme
interne.
6-3 La conservation de la quantit´e de mouvement
Si la force externe totale est nulle, alors on obtientle th´eor`eme dit de la conservation de la quantit´e de
mouvementtotale.L’´equation g´en´erale (6-7) nous assure en e↵et l’invariance de la quantit´e de mouvement
totale, invariance qui s’exprime aussi en disantque le centre de masse Greste dans l’´etat de mouvement
qu’il occupait :
6-12 d
dt!
P= 0 !X! pi(t1) = X! pj(t2)8t1&8t2! VG(t2) = ! VG(t1)
Illustrons ce th´eor`eme par quelques exemples simples.
Expulsion :
Un corps constitu´e de deux masses Met minitialementimmobile, expulse la masse mdonton mesure
vitesse ! v,que peut-on en d´eduire pour la masse restante M?
Th´eor`emes/ impulsion 89

Conservation de la quantité de mouvement
Sommer les ´equations des Ncorps ´elimine les forces internes mais aussi remplace les N´equations du
mouvementpar une seule. On perd donc le d´etail du comportementindividuel de chaque point. La quantit´e
de mouvementtotale ! P,qui apparaˆıt dans l’´equation pr´ec´edente, nous permet de d´efinir un pointfictif :le
centre de masse G,dontla position ! OG va ˆetre d´etermin´ee pour assurer la propri´et´e suivante :
6-8 ! P=
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
mi! vi=d
dt
N
X
i=1
mi! OAi
def
=Md
dt!
OG =M! VG
o`u Mest la masse totale des Npoints. On ´ecrira donc :
6-9 M=
N
X
i=1
miet ! OG =1
M
N
X
i=1
mi! OAi
ou encore, si ⇢est la masse par unit´e de volume :
6-10 M=Z Z Z ⇢dV ;! OG =1
MZZZ⇢!
xdV
L’´equation de Newton pour la quantit´e de mouvementtotale peut donc s’exprimer aussi sous la forme :
6-11 d
dtM!
VG=! FTot.Ext
Le centre de masse des Ncorps (le pointG)ob´eit donc `a la deuxi`eme loi de Newton avec comme force
motrice la somme des forces externes agissantsur chaque point. Si cette force externe est la gravitation, la
force externe totale est alors le poids total du corps. Lors d’un tir balistique, par exemple, le centre de masse
va d´ecrire une trajectoire parabolique mˆeme si l’objet lanc´e se d´esint´egre en vol sous l’e↵et d’un m´ecanisme
interne.
6-3 La conservation de la quantit´e de mouvement
Si la force externe totale est nulle, alors on obtientle th´eor`eme dit de la conservation de la quantit´e de
mouvementtotale.L’´equation g´en´erale (6-7) nous assure en e↵et l’invariance de la quantit´e de mouvement
totale, invariance qui s’exprime aussi en disantque le centre de masse Greste dans l’´etat de mouvement
qu’il occupait :
6-12 d
dt!
P= 0 !X! pi(t1) = X! pj(t2)8t1&8t2! VG(t2) = ! VG(t1)
Illustrons ce th´eor`eme par quelques exemples simples.
Expulsion :
Un corps constitu´e de deux masses Met minitialementimmobile, expulse la masse mdonton mesure
vitesse ! v,que peut-on en d´eduire pour la masse restante M?
Th´eor`emes/ impulsion 89
L’équation de Newton pour la quantité de mouvement totale peut
donc s’exprimer aussi sous la forme :
Le centre de masse des N corps (le point G) obéit donc à la deuxième loi de Newton avec
comme force motrice la somme des forces externes agissant sur chaque point.
Si cette force externe est la gravitation, la force externe totale est alors le poids total du
corps.
Lors d’un tir balistique, par exemple, le centre de masse va d’écrire une trajectoire parabolique
même si l’objet lancé se désintègre en vol sous l’effet d’un mécanisme interne.
Sommer les ´equations des Ncorps ´elimine les forces internes mais aussi remplace les N´equations du
mouvementpar une seule. On perd donc le d´etail du comportementindividuel de chaque point. La quantit´e
de mouvementtotale ! P,qui apparaˆıt dans l’´equation pr´ec´edente, nous permet de d´efinir un pointfictif :le
centre de masse G,dontla position ! OG va ˆetre d´etermin´ee pour assurer la propri´et´e suivante :
6-8 ! P=
N
X
i=1
!
pi=
N
X
i=1
mi! vi=d
dt
N
X
i=1
mi! OAi
def
=Md
dt!
OG =M! VG
o`u Mest la masse totale des Npoints. On ´ecrira donc :
6-9 M=
N
X
i=1
miet ! OG =1
M
N
X
i=1
mi! OAi
ou encore, si ⇢est la masse par unit´e de volume :
6-10 M=Z Z Z ⇢dV ;! OG =1
MZZZ⇢!
xdV
L’´equation de Newton pour la quantit´e de mouvementtotale peut donc s’exprimer aussi sous la forme :
6-11 d
dtM!
VG=! FTot.Ext
Le centre de masse des Ncorps (le pointG)ob´eit donc `a la deuxi`eme loi de Newton avec comme force
motrice la somme des forces externes agissantsur chaque point. Si cette force externe est la gravitation, la
force externe totale est alors le poids total du corps. Lors d’un tir balistique, par exemple, le centre de masse
va d´ecrire une trajectoire parabolique mˆeme si l’objet lanc´e se d´esint´egre en vol sous l’e↵et d’un m´ecanisme
interne.
6-3 La conservation de la quantit´e de mouvement
Si la force externe totale est nulle, alors on obtientle th´eor`eme dit de la conservation de la quantit´e de
mouvementtotale.L’´equation g´en´erale (6-7) nous assure en e↵et l’invariance de la quantit´e de mouvement
totale, invariance qui s’exprime aussi en disantque le centre de masse Greste dans l’´etat de mouvement
qu’il occupait :
6-12 d
dt!
P= 0 !X! pi(t1) = X! pj(t2)8t1&8t2! VG(t2) = ! VG(t1)
Illustrons ce th´eor`eme par quelques exemples simples.
Expulsion :
Un corps constitu´e de deux masses Met minitialementimmobile, expulse la masse mdonton mesure
vitesse ! v,que peut-on en d´eduire pour la masse restante M?
Th´eor`emes/ impulsion 89