Session 2 - Centre de Physique Théorique

UFR-Sciences de Luminy L1 PC et IM 2009–2010
Centre d’Oc´ eanologie de Marseille UEL SME 2009–2010
D´ epartement de Physique Examen PHY1 – Session 2
DYNAMIQUE DES SYSTEMES – PHY1
Examen du 16 juin 2010
Documents non autoris´es – Calculatrice non autoris´ee
1 Constante cosmologique
L’acc´el´eration gravitationnelle, ~g, cr´e´ee au point ~r par une ´etoile ponctuelle est de la forme
~g = µ−GM
r3+Λ 3¶~r
o`u G > 0 est la constante de Newton, Mla masse de l’astre, Λ ≥0 la constante cosmologique1
et r > 0 la distance du point consid´er´e au centre de l’´etoile.
1) A quelle distance r=r0le champ de gravitation s’annule-t-il ?
2) Montrer que pour r > r0la gravitation devient r´epulsive !
3) Ecrire les ´equations du mouvement d’un point mat´eriel, de masse m, dans le champ de
gravitation de l’´etoile (deuxi`eme loi de Newton). Justifier qu’elles sont ind´ependantes de m.
4) Un satellite de cette ´etoile a une orbite circulaire de rayon r=R, sa vitesse angulaire
est ω. Prouver que ω= const.
N.B.On rappelle que ¨ ~r = (¨r−r˙ θ2)~er+ (r¨ θ+ 2 ˙r˙ θ)~eθen coordonn´ees polaires (r, θ).
5) Prouver aussi, pour cette orbite, la “troisi`eme loi de Kepler” :
µω2+Λ
3¶R3=GM
6) Un autre objet c´eleste ´evolue radialement (θ= const.) dans le champ de gravitation
de l’´etoile. Montrer que l’´equation du mouvement prend la forme ¨r=g(r) o`u l’acc´el´eration
gravitationnelle g(r), `a la distance r, sera donn´ee en fonction de G, M et Λ.
7) V´erifier que r(t) = r0est une solution exacte de l’´equation radiale du mouvement.
8) Entreprendre la lin´earisation de cette derni`ere en posant r(t) = r0+εr1(t) avec ε¿1.
Quelle est la stabilit´e de la position r0?N.B.On rappelle que (1 + ε)n= 1 + nε + O(ε2).
.../...
1Cette constante est associ´ee `a l’´energie noire, responsable de l’acc´el´eration de l’expansion de l’univers `a
grande ´echelle.
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2 Chute de projectile
Un projectile de masse mest soumis au champ d’acc´el´eration de la pesanteur ~g =−g ~ezo`u
g= const. > 0. Au temps t= 0, il est lanc´e horizontalement de la position {x= 0, z =h > 0}
`a la vitesse ~v(t= 0) = v0~ex.
(A) En l’absence de frottement, le projectile touche le sol au temps t=t0, `a la position
{x=d0, z = 0}.
1. Ecrire l’´equation fondamentale de la dynamique en l’absence de frottement.
2. R´esoudre les ´equations diff´erentielles auxquelles ob´eissent x(t) et z(t).
3. D´eterminer le temps t0en fonction de het g.
4. D´eterminer la distance d0en fonction de h,get v0.
(B) En pr´esence de frottement, le projectile touche le sol au temps t=T0, `a la position
{x=D0, z = 0}.
Les conditions initiales sont identiques `a celles de la question (A), `a savoir : x(0) = 0, z(0) = h,
˙x(0) = v0et ˙z(0) = 0.
1. R´e´ecrire l’´equation fondamentale de la dynamique en pr´esence d’une force de frottement
~
f=−η~v, proportionnelle `a la vitesse ~v, o`u η= const. > 0.
2. Montrer que, compte tenu des conditions initiales, les composantes de la vitesse v´erifient :
˙x(t) = v0e−ηt/m
˙z(t) = mg
η(e−ηt/m −1)
3. R´esoudre ces ´equations diff´erentielles afin de d´eterminer x(t) et z(t).
4. A partir des expressions de x(t) et z(t) obtenues, ´etablir la relation suivante :
z(t) = mg
ηv0¡x(t)−v0t¢+h
5. En d´eduire l’expression de T0en fonction de h,g,m,η,v0et D0. Comparer T0et t0.
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