Session 2 - Centre de Physique Théorique

UFR-Sciences de Luminy
L1 PC et IM 2009–2010
Centre d’Océanologie de Marseille
UEL SME 2009–2010
Département de Physique
Examen PHY1 – Session 2
DYNAMIQUE DES SYSTEMES – PHY1
Examen du 16 juin 2010
Documents non autorisés – Calculatrice non autorisée
1
Constante cosmologique
L’accélération gravitationnelle, ~g, créée au point ~r par une étoile ponctuelle est de la forme
µ
¶
GM
Λ
~g = − 3 +
~r
r
3
où G > 0 est la constante de Newton, M la masse de l’astre, Λ ≥ 0 la constante cosmologique 1
et r > 0 la distance du point considéré au centre de l’étoile.
1) A quelle distance r = r0 le champ de gravitation s’annule-t-il ?
2) Montrer que pour r > r0 la gravitation devient répulsive !
3) Ecrire les équations du mouvement d’un point matériel, de masse m, dans le champ de
gravitation de l’étoile (deuxième loi de Newton). Justifier qu’elles sont indépendantes de m.
4) Un satellite de cette étoile a une orbite circulaire de rayon r = R, sa vitesse angulaire
est ω. Prouver que ω = const.
N .B. On rappelle que ~r¨ = (r̈ − rθ̇2 ) ~er + (rθ̈ + 2ṙθ̇) ~eθ en coordonnées polaires (r, θ).
5) Prouver aussi, pour cette orbite, la “troisième loi de Kepler” :
¶
µ
Λ
2
R3 = GM
ω +
3
6) Un autre objet céleste évolue radialement (θ = const.) dans le champ de gravitation
de l’étoile. Montrer que l’équation du mouvement prend la forme r̈ = g(r) où l’accélération
gravitationnelle g(r), à la distance r, sera donnée en fonction de G, M et Λ.
7) Vérifier que r(t) = r0 est une solution exacte de l’équation radiale du mouvement.
8) Entreprendre la linéarisation de cette dernière en posant r(t) = r0 + εr1 (t) avec ε ¿ 1.
Quelle est la stabilité de la position r0 ? N .B. On rappelle que (1 + ε)n = 1 + nε + O(ε2 ).
. . ./. . .
1
Cette constante est associée à l’énergie noire, responsable de l’accélération de l’expansion de l’univers à
grande échelle.
1
2
Chute de projectile
Un projectile de masse m est soumis au champ d’accélération de la pesanteur ~g = −g ~ez où
g = const. > 0. Au temps t = 0, il est lancé horizontalement de la position {x = 0, z = h > 0}
à la vitesse ~v (t = 0) = v0 ~ex .
(A) En l’absence de frottement, le projectile touche le sol au temps t = t0 , à la position
{x = d0 , z = 0}.
1. Ecrire l’équation fondamentale de la dynamique en l’absence de frottement.
2. Résoudre les équations différentielles auxquelles obéissent x(t) et z(t).
3. Déterminer le temps t0 en fonction de h et g.
4. Déterminer la distance d0 en fonction de h, g et v0 .
(B) En présence de frottement, le projectile touche le sol au temps t = T0 , à la position
{x = D0 , z = 0}.
Les conditions initiales sont identiques à celles de la question (A), à savoir : x(0) = 0, z(0) = h,
ẋ(0) = v0 et ż(0) = 0.
1. Réécrire l’équation fondamentale de la dynamique en présence d’une force de frottement
f~ = −η~v , proportionnelle à la vitesse ~v , où η = const. > 0.
2. Montrer que, compte tenu des conditions initiales, les composantes de la vitesse vérifient :
ẋ(t) = v0 e−ηt/m
mg −ηt/m
ż(t) =
(e
− 1)
η
3. Résoudre ces équations différentielles afin de déterminer x(t) et z(t).
4. A partir des expressions de x(t) et z(t) obtenues, établir la relation suivante :
z(t) =
¢
mg ¡
x(t) − v0 t + h
ηv0
5. En déduire l’expression de T0 en fonction de h, g, m, η, v0 et D0 . Comparer T0 et t0 .
2