VECTEURS ET REPERES Dérivée de vecteurs 4.4 Coordonnées curvilignes, ou(etrepère de ..................................................................... Frenet.......................................................... 4.34.2 Coordonnées sphériques. ........................................................................................... 6165 51 Coordonnées cylindriques polaires) 55 , ET DANS LES DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES ........................... V OM 4. 4.3..................................................................................................................... Coordonnées sphériques. ........................................................................................... 61 5. C4.4 ONCLUSION 69 Coordonnées curvilignes, ou repère de Frenet.......................................................... 65 4.3 Coordonnées sphériques. ........................................................................................... 61 4.1 Coordonnées cartésiennes.......................................................................................... 51 65 4.4 Coordonnées curvilignes, ou repère de Frenet.......................................................... A5.NNEXE : DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES , VECTEURS .......................................................... 69 CONCLUSION ..................................................................................................................... 4.4 Coordonnées oucylindriques repère de Frenet. ......................................................... 6569 4.2curvilignes, Coordonnées (et polaires) ..................................................................... 55 69 5. C ONCLUSION ..................................................................................................................... ANNEXE : DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES , VECTEURS .......................................................... 5. CONCLUSION ..................................................................................................................... 6969 4.3 Coordonnées sphériques. ........................................................................................... 61 A NNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69 ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES , VECTEURS .......................................................... 69 4.4 Coordonnées curvilignes, ou repère de Frenet.......................................................... 65 Rappels sur les vecteurs 5. CONCLUSION ..................................................................................................................... 69 ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69 Position, vitesse et accélération PositionOM(t+dt)Position, Accélération vitesse et accélération Position, vitessevitesse et accélération Position, et accélération V(t+dt) Position, vitesse et accélération OM(t) OM(t+dt) OM (t+dt) OM OM(t+dt) dOM dOM dOM (t+dt) dOM dOM VV (t)(t) dV dV dV colinéaire V dOM Vest est colinéaire colinéaire àà dOM V est colinéaire à dOM = dt === dV dV dtdtdt = = dt dt à dV est colinéaire est colinéaire à dV dV = dt forme différentielle dV== dtdV dt =forme V dtdifférentielle forme différentielle dV forme différentielle Forme différentielle dV= =dt dt forme différentielle dOM dOM = V dt dV dV estest colinéaire à dVà dV colinéaire est colinéaire à dV est colinéaire à dV V est colinéaire à dOM V dt dOMdOM = V=dt V(t+dt) (t) V(t)(t)(t) V dOM dOM = V dt V(t+dt) V V OM(t)OM(t) dOM dOM dOM dt V = dOM VV = = dtdt dOM dtV = V = dt dt V est colinéaire à dOM V est colinéaire à dOM dV dV dV V(t+dt) V(t+dt) V OM(t+dt) (t+dt) OM(t) OM OM (t) (t) V= dOM forme différentielle dV = dt dV dV DANS LES DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES ........................... 51 61 Ves ET sphériques. ........................................................................................... données cartésiennes.......................................................................................... 51 65 es curvilignes, ou repère de Frenet.......................................................... données cylindriques (et polaires) ..................................................................... 55 69 .................................................................................................................. données sphériques. ........................................................................................... 61 NTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69 données curvilignes, ou repère de Frenet.......................................................... 65 SION ..................................................................................................................... 69 FFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69 Rappels sur les vecteurs Accélération Position, vitesse et accélération V dV (t+dt) Position, vitesse et accélération dOM M(t+dt) V(t+dt) V OM(t+dt) V(t+dt) (t) dV dV Attention, c'est très important, il s'agit bien de la dérivée du vecteur. dOM dOM (t)OM(t) VV (t)(t) = dOM dOM V = dt colinéaire dt = dV dt dV dV = dt dt à dV est colinéaire est colinéaire à dV colinéaire à dOM est colinéaire à dV ire à dOM Forme différentielle dV = = dt dt forme différentielle dV forme différentielle OM = V dt = V dt forme différentielle dV = dt Erreur classique: Tournant sur un manège à vitesse de rotation constante, il est courant de penser que l'accélération est nulle. C'est FAUX, ces 2 mouvements sont accélérés. En effet dans les 2 cas, si le module de la vitesse est bien constant, il n'en est pas de même du VECTEUR vitesse qui lui change de direction à chaque instant. Ennouvelle. mécanique, la différentielle d'un vecteur est à la base de la La différentielle d'une d’un grandeur, c'est simplement la modi Différentielle vecteur d'un paramètre: changement du temps, mais aussi d'une long U Il est souvent commode d'exprimer un vecteur pa En d'autres termes c'est très exactement ce qu'il faut ajouter Nous avons vu qu’en mécanique, la différentielle d'un vecteur est à la base de très nombreux développements. la nouvelle. U luLa différentielle d'une grandeur, c'est simplement la modification engendrée par l'évolution d'un paramètre: changement du temps, mais aussi d'une longueur, d'un angle ... En d'autres termes c'est ce qu'il faut ajouter à la grandeur initiale pour obtenir la nouvelle. Où est un scalaire et u un vecteur unitaire. Il est souvent commode d'exprimer un vecteur U par : Où l est un scalaire et u un vecteur unitaire. la de est le module du vecteur. Sa d U valeur lu absolue La valeur absolue de l est le module du vecteur. Sa dimension est celle de U . u Où est un scalaire et un vecteur unitaire. u précise la direction, il n'a pas de dimension, et son u précise la direction, il n'a pas de dimension, et son module est égal à 1. la valeur absolue de est le module du vecteur. Sa dimensio U dimension, varie: Lorsque (ou) u ilvarient, u précise laetdirection, n'a pas de et son modul dU u dl l du Lorsque et (ou) u varient, U varie: On voit bien ce que signifie dl , c'est la variation de son module, mais du ? On voit bien ce que signifie dl , c'est la variation de dU u dl l du Différentielle d’un vecteur dans l’espace Différentielle d’unlevecteur dU (a fortiori dans plan) u dl l du On voit bien ce que U (t dt ) l du l du dU Nous dl allons examine u dans un plan, par 3 dl u U (t ) U dU dU Différenti 3.1 lu dl u l du Première propr (u ) 2 1 => Le produit scalaire e Nous allons examiner le cas très important de la différentielle dans un plan, par 3 approches successives. Différentielle d’un vecteur unitaire dans un plan Nous allons examiner le cas de la différentielle du vecteur unitaire qui tourne dans un plan, par approches successives. Première propriété (u ) 2 1 2u.d u => 0 d u est perpendiculaire àu Le produit scalaire estnul,nul, donc Le produit scalaire est donc du est perpendiculaire à u (propriété qui reste valable à 3 dimensions) Cette propriété reste évidemment valable à 3 dimensions. Différentielle (variation) d’un vecteur unitaire dans le plan La direction de u est repérée par un angle. Lorsque l’angle augmente augmente , ce vecteur u devient u1 . Approche "géométrique" (cf. figure) v du u 1 d Elle permet de "sentir" la différentielle. 1 u O La direction de u est repérée par un angle . Lorsque augm devient u1 . Rappelons que la différentielle de u , notée d u , c'est ce qu'il Origine arbitraire Sens rotation arbitraire La direction de u est repérée par un angle Différentielle d’un vecteur unitaire dans un plan devient u1 . Rappelons que la différentielle de u , notée du , c'est ce qu'il faut ajouter à u pour obtenir u . Rappelons que la différentielle de u , notée Il est évident sur la figure que si la variation d’angle est petite du possède les caractéristiques suivantes: Il est évident sur la figure que si d est petit - il est porté par la tangente au cercle, et il est donc perpendiculaire à u; tangente au cercle, il est porté par la leest rayon suivant du cercle étant égal à 1, soncroissants module est égal à son sens-1.d(theta) les (cf. définition du radian) le rayon du cercle étant égal à 1, son du v d En définissant le vecteur v perpendiculaire croissants, d u s'écrit - son sens estfinalement: suivant les angles croissants En définissant le vecteur v perpendiculaire à u obtenu par une d u d .v rotation de 90° dans le sens de croissance des angles ifférentielle (variation) d’un vecteur unitaire dans le plan 1 v u1 d du 1 u O Origine arbitraire Sens rotation arbitraire 46 Différentielle d’unConvention vecteur dans un plan pour leunitaire vecteur v v est perpendiculaire à u dans le sens des croissants du v u u O du O v du d v du d v v est perpendiculaire à u dans le sens des angles croissants Différentielle d’un vecteur unitaire dans l’espace analytique (la démonstratio jDémonstration )d Démonstration analytique (la démo Différentielle d’un vecteur unitaire dans undémonstration plan Démonstration analytique (la Démonstration analytique (la Démonstration analytique (la démonstration i et Dans un repère Oxyz fixe où sont définis les vecteurs alement démonstration officielle) que le vecteur sin i cos j Dans un repère Oxyz fixe où sont définis les ve i et j Dans un repère OxyzDans fixe où sont définis les vecteurs Calcul un repère Oxyz fixe où sont défin i et j Dans un repère Oxyz fixe où sont définis les vecteurs u cos i sin j u i et j le vecteur peut s'écrire nis les vecteurs égal à u1 cos u icossin i j sin j u cos i sin j cospasse i sin j Si u Si passe de à +d passeà de àproduit +d de +dle scalaire … mais n culaire à uSi( utilisez Si passe de à +d Si d upasse de à +d d u sin d i cos d j sin d i cos d j sin dd ij cos d j d u graphique!). sin d d ui cos e construction d i cos d j soitd usoit sin soit soit l’approche "géométrique". (d usini ( icos cos j ) d d usoitd(u sin j ) d sin id u cos ( sinj )di cos j )d d uVous ( sin i cos j ) d v oncVous bien porté par et a pour module d . prouverez facilement que le vecteur à un module égal à 1 prouverez facilement que le vecteur sin sin i i cos cos j Vous prouverez que facilement que le vect Vous prouverez facilement le vecteur sin teur Vous sin prouverez i cos j facilement que le vecteur sin i cos j a un module égal à 1 est perpendiculaire à u module (vérifier par égal produitàscalaire) a un module égal à 1 a un 1 a un module égal à 1 a un égal à 1 tion plus rapide consiste à utiliser les propriétés u ( utilisez le produit scalair estmodule perpendiculaire à ce vecteur est donc le vecteur v de l’approche géométrique utili est perpendiculaire à u ( scal u ( utilisez le produit est perpendiculaire à précédente iproduit i n'hésitez u ( utilisez le pr est perpendiculaire à isez le produit scalaire … mais pas en plus à effectuer une construction graphique!). u ( utilisez le scalair est perpendiculaire à Z construction e , d’où dZuneie d : i grap ind t représenté par une effectuer construction effectuer graphique!). phique!). effectuer une construction graphique!). effectuer une construction graphique!). v C'est le vecteur de l’approche "géométrique". i v ded l’approche C'est le vecteur "géom tial , et le module de dZ est bien . e Le vecteur du est donc bien porté par v et a pour module: v C'est le vecteur de l’approche "géométrique". métrique". v C'est de l’approche "géométrique". C'est vecteur dedonc l’approche "géométrique". v dleuvvecteur est bien porté par Le le vecteur et pour porté module pard Le vecteur d u est donca bien NB : un démonstration plus rapide consiste à utiliser les propri dv d .vecteur u unitaire est représenté par Z ei , d’où dZ iei d : Différentielle d’un vecteur unitaire plan 2 du vecteur initial moduleun de dZ est bien d . ei , et le dans Nous Conclusion dans un plan donc, très Conclusion dans unretenons plan ans unNous planretenons planNous Conclusion dans un plan donc, important, que dans un :pla retenons donc, trèsquetrès important, que dans un plan A vous de vérifier Conclusion: c, très important, que un.plan v : que dans un plan : portant, que dans : dimportant, Nous retenons donc, très d v un ddu .plan u dans unitaire, m ( u vecteur du du d .vd .v unitaire, mouve ( u vecteur u vecteur unitaire, mouvement dans un plan u vecteur unitaire, mouvement dans un pla ( unitaire, mouvement dans un plan) ( u vecteur u du d . v vecteur unitaire, mouv ( dans un plan à u , àobtenu u , obtenu v étant pa un vecteur perpendiculaire v étant par rota unConclusion vecteur perpendiculaire Nous retenons donc, très important, que dans un plan : u u , obtenu par rotation de de /2 dans sens iculaire à vecteur perpendiculaire à obtenu par rotation de u v , obtenu par ro étant un vecteur perpendiculaire à de /2 r perpendiculaire à u , obtenu par rotation de u le croissants. croissants. du d .v unitaire, mouvement dan ( u vecteur dans le sens des angles croissants croissants. v étant un vecteur perpendiculaire à u , obtenu par rotation de u différentielle étant connue, le calcul d'une dérivée La différentielle connue, leestcalcul dérivée LaLa différentielle étant connue, le calculétant d'une dérivée quelconque simple. End'une mécanique, la quel croissants. dérivée par rapport au temps s'écrira donc: e, le calcul d'une dérivée quelconque est trivial. En mécaniqu La différentielle étant connue, le calcul d'une dérivée qu plus communément rencontrée est la dérivée par rapport au plus communément rencontrée est la dérivée par rapp ant connue, leLacalcul d'une dérivée quelconque est trivial différentielle étant connue, le calcul d'une dérivée quelconque es ée est la dérivée par rapport au temps qui s'écrira donc: plus communément rencontrée est la dérivée par rapport dupar du d du .vest durapport dplus.la vcommunément t rencontrée dérivée au temps qui rencontrée est la dérivée par rapport au s'écrir temps q v v du dudt v d u dtddt .vdu d .v dt dt dt v du v dt dt dt v dt dt ddt dt représente la vitesse de rotation que l'on app d dt représente la vitesse de rotation que l'on Vitesse de rotation en radian/s qui n’est pas forcément constante d dt représente la vitesse de rotation que l'on appelle .S dt esseseconde rotation queles l'on appelle . Son unité est leet radian dde seconde dt représente la vitesse de que l'on ap seconde (bannir les degrés, grades, toursrotation …), et elle n'est pas forcém (bannir degrés, grades, tours …), et elle n'est pn (bannir les degrés, grades, tours …), elle nte la vitesseOndedéfinit rotation que l'on appelle . Son unité alors le pas vecteur rotationtours , constante! perpendiculaire au plan grades, tours …), et elle n'est forcément seconde (bannir les degrés, grades, …), et elle n'est On définit alorsalors le vecteur rotation , perpendiculair On définit le vecteur rotation , perpendic v étant un vecteur perpe croissants. La différentielle étant con plus communément renco du du d .v du du d . v différentielle étant connue, le calcul d'une dérivée quelconq est donné par la règle du tire-bouchon ce quiv pe Différentielle d’un vecteur unitaire dans un us communément rencontrée la dérivée parplan rapport dt au tem dt est dt d u représente la vitesse u d Conclusion: .v u du d vdt dt seconde (bannir les degrés, grades t dtdt dt A vous représente la vitesse de rotation que l'on appelle de vérifier que la direction, le sens et l'amp On définit alors le vecteur rota On définit alors le vecteur rotation, perpendiculaire au plan de rotation, dont le conded u (bannir les degrés, tours …), et elle n'est pas fo sens est donné par lagrades, règle du tire-bouchon ce qui permet d'écrire: est donné par la règle du tire-bo d .v n définit alors le vecteur rotation , perpendiculaire au du d v t donné par la règleaussi du tire-bouchon Vous pourrez vérifier uquece qui permet vd'écrire dt dt u rotation que l'on appelle . S ours …), et elle n'est pas forcém on , perpendiculaire au plan chon ce qui permet d'écrire u A vous de vérifier que la directio d u d .vle sens et l'amplitude de vous de vérifier que la direction, dt u d .v Cinématiq Vous pourrez aussi vérifier que ous pourrez aussi vérifier que dv v La démonstration nécessite une projection et un figure), mais vous pouvez aussi consulter votre glo approche géométrique (cf. figure), m que nous avons effectuédans dans le plan, La démonstration nécessite d’un une projection et ununitaire développement analytique du style mais de celuià Différentielle vecteur l’espace du effectué d v dans le plan, mais à 3 du que nous avons dimensions. Nous nous contenterons d'une d v(cf. approche géométrique figure), mais vous po quand w et u ils ne sont pas perpendiculaires Rappel : nous savons d queRappel : : nous savons déjà Rappel : nous savons déjà que : que : Rappel : nous savons 2 déjà que : d)u est perpendiculaire 2u.d u 20 => donc à u => (u ) 1 ( u 1 u 0 est=> perpendiculaire àu 2u.d u 20u.d u ) 1 1 d u => 0 donc (u )(udonc approche géométrique (cf. figure), mais vous pouvez aussi consulter votre globe terrestre. 2 2 Ceci se comprend très bien lorsqu'on réalise que, quelles que soient les variations de u , son d’un vecteur unitaire dansque l’espace Ceci seDifférentielle comprend très bien lorsqu'on réalise que,constant quelles soient les figure) variations de u , son extrémité se déplace sur une sphère de rayon égal à 1 (cf. Ceci se comprend très bien lorsqu'on réalise qu se déplace sur une sphère de rayon constant égal à 1. Ceci se comprend très n extrémité lorsqu'on réalise que, quelles que soient les vari Ceci se comprend très bien lorsqu' extrémité se déplace sur une sphère de rayon con (donné) sur lequel nous 1/ Direction et sens de d u : u tourne autour de l'axe défini par ne sphère de rayon constant égal à 1 (cf. figure) extrémité se déplace su n. définissons un vecteur unitaire extrémité se déplace sur une sphère 1/ Direction et sens n Direction et sensde de d u : u tourne autour d P Il est clair sur le dessin que l'extrémité de u décrit un cercle et que d u est perpendiculaire à du n . définissons un vecteur unitaire n et à u : il est doncudirigé comme n u . tourne autour de l'axe défini par u : u tourne autour de l'axe défini par (donné) u d u tou : 1/ Direction et sens de n 1/ Direction et sens d O 2/ Module : rayon.d soit : 1.sin( ).d aire n . Il est clair sur le dessin que l'extrémité de u dé sur lequel nous définissons un vecteur unitaire n. définissons un vecteur unitaire Ces deux propriétés peuvent être rassembléesdéfinissons en écrivant un vecteur du d (n u ) u. n et à u L’extrémité : il est donc dirigé P du vecteur unitairecomme n n n ue l'extrémité de u décrit un cercle et que d u est p Il est clair sur le dessin que l'extré est toujours sur une sphère de rayon 1. Pour vérification essayez avec =0 ( d u 0 ) et = /2 ( d u d .v , cf. différentielle Toute variation différentielle du: 1.sin( ).d 2/ une Module : rayon.d soit dans un plan). Il lui correspond écriture dérivée : s’appuie donc sur la surface de la sphère : elle est donc perpendiculaire à u du d tant égal àet 1sens (cf.defigure) d ude tourne défini autour depar l'axe défini par : u l'axe (donné) sur lequel nous nous 1/ Direction u tourne autour (donné) sur lequel Différentielle d’un vecteurégal unitaire dans l’espace . un vecteur re extrémité se déplace sur une sphère de rayon constant à 1 (cf. figure) n . définissons unitaire n axe défini par (donné) sur lequel nous (donc valable aussi dans un plan) re n .n l'axeIl défini par (donné) sur lequel nous décrit un cercle que ds sur lel'extrémité dessin l'extrémité dededuul'axe un cercle et que est perpendiculaire Il est clair sur clair le dessin uque tourne autour défini par à et : u udécrit (donné) 1/est Direction etquesens de d de Vue de dessus à décrit un et nqueu . est perpendiculaire u :et u . cercle nl'extrémité il est et à n u : de ildirigé estcomme donc ndirigé comme à donc n Différentielle d’un vecteur unitaire d u u . que d u est perpendiculaire à définissons vecteurununitaire u décrit cerclenet l'extrémité de un =d /dt n: rayon.d omme 2/un Module soit :d 1.sin( nu u est ).d cercle et. que perpendiculaire à du n u omme . d u est perpendiculaire rit un2/cercle et que à d Module : rayon.d soit : 1.sin( ).d un cercle et que d u est pe Il est clair peuvent sur le être dessin que l'extrémité Ces deux propriétés rassemblées en écrivant de u décrit d du d1.sin( u d n (et n ).d àu )u : il est donc dirigé comme n u . 1.sin( ).d Ces deux propriétés peuvent être rassemblées en écrivant rayon=sin( ) Pour vérification essayez avec =0 ( d u 0 ) et =n /2 ( d u d .v , cf. différentielle dans un plan). Il lui correspond une écriture dérivée : d2/ uModule d ( n: rayon.d uen ) écrivant soit : 1.sin( ).d u être rassemblées écrivant être rassemblées en du d (n u ) (n u ) n u u. Définition du dt Pour dt rivant ) et = /2 ( vérification essayez avec =0 ( d uvecteur0 rotation crivant Vérifier que : Ces deux peuvent être rassemblées en écrivant En conclusion pour propriétés les vecteurs unitaires du/dt = du u dans un plan). Il lui correspond une écriture dérivée : =différentielle n différentielle d u d . v d u 0 d u= = ) et /2 ( , cf. vec =0 ( d u d . v d u 0 ) et /2 ( , cf. vec =0 ( d u d ( n u ) u (vecteur unitaire) d u d (n u ) ou u du d dt nd une écriture dérivée : d u d . v et = /2 ( , cf. différentielle ndet une écriture dérivée : d u d . v = /2 ( , cf.avec différentielle . ( n u ) ( n u ) n u u d u d . v d u 0 ) et = /2 ( , c Pour vérification essayez =0 ( Valabledt à 2 ou 3dt dimensions, quelles que soient les directions relatives de et u : ée : relation dans un Il lui pour correspond écriture dérivée : Cette est plan). très commode traiter des une problèmes de manière systématique, surtout à nnEnuuconclusion uu. . pour les vecteurs unitaires 3 dimensions. du d Important: le vecteur (n rotation u ) a(toutes n u )les propriétés n u d'un vecteur. u . Si la rotation s'effectue du des vecteurs rotations liés à urs unitaires autour de dt 2 axes, dt le vecteur rotation est la somme vectorielle urs dunitaires u C'est d le( ncas upar) exemple d'uneou ulorsque le guidon chaque axe. roue de vélo en mouvement En conclusion pour les vecteurs unitairesdt du ourne. u (v udu(vecteur unitaire) u du Différentielle d’un unitaire) vecteur dans l’espace u (vecteur Valable à 2 ou 3 dimensions, quelles que soient les directions relative u dt u d u d ( n u ) ou (vecteur u u u (vecteur unitaire) 3.3 Différentielle d'un vecteur quelconque: conclusion u n u n : il est donc dirigé comme et à . u décrit un cercle Il est clair sur le dessin que l'extrémité de 48 Différentielle d’un vecteur unitaire Valable à 2 ou 3 dimensions, quelles que soient les directions relatives. Cette relation est pratique pour u n u n : il est donc dirigé comme et à . traiter des problèmes de manière systématique, surtout à 3 dimensions. 2/ Module : rayon.d soit : 1.sin( ).d Important: le vecteur rotation a toutesd’un les propriétés d'un vecteur. Si la rotation s'effectue autour de 2 Différentielle vecteur unitaire dans l’espace axes, le vecteur rotation est la somme vectorielle des vecteurs rotations liés à chaque axe. C'est le cas (donc valable aussi dans un plan) par exemple d'une roue de vélo en mouvement lorsque le guidon tourne. 2/ Module : rayon.d soit : 1.sin( ).d Ces deux propriétés peuvent être rassemblées en éc Ces deux propriétés peuvent être rassemblées en écrivant d u d (n u ) =d /dt Vue de dessus du d (n u ) d du d Pour vérification essayez avec =0 ( d u 0 ) du d u 0 ) et = /2 Pourdans vérification essayez avec =0 ( un plan). Il lui correspond une écriture dérivée n dans un plan). Il lui correspond une écriture dérivée : u du d du d Définition du u ) . ( n u ) ( n n u u . ( n u ) ( n u ) n u u vecteur rotation dt dt du/dt = u dt dt = n En conclusion pour les vecteurs En conclusion pour les vecteurs unitairesunitaires rayon=sin( ) d u ddu ( nd u() n u) ou du ou dt du u dt u i , j et àk isont i ,Les ) et constants. (perpendiculaires j vecteurs k i j ce qui nous conduit à: dOM systèmes de coordonnées xDans sont Vles trois coordonnées d'espace , y etlesz différents dOM dxet .i varient dy. j dz.k de dt vecteurs i , j et kun sontdéplacement constants. 52 dOM lor faut imaginer élémentaire Coordonnées cartésiennes Il Les qui est plus souvent éc Nous serions évidemment arrivés x , y et z sont les trois coordonnées d'espace et varient dans les réels Position z varient. Ici, c'est évident, ce OMsont : Vitesse OM xi y j zkdx suivant i , dy suivant j et dz suivant dx k dy dz V i peut êtrej manipulée .kà Cette relation ce qui nous conduit à: Sa définition a été donnée: diviser dt par dt : dt dt Les vecteurs i , j et k sont constants. dOM dx.i dy. j dz.k dOM Coordonnées cartésiennes: vitesses xV trois coordonnées d'espace etplusvarient de sous la àform , y et z sont lesdOM est souvent écrite dx.i dy. j dz .k qui dtest plus souvent dt écrite sous la qui dt Ou encore avec dx dy dz V i audy j même .dz k résultat en dx Nous serions évidemment arrivés dx dy dOM lorsque le Il faut imaginer un déplacement élémentaire dt dt dt z V i j V .k V dt dt y x dt OM Vitesse z varient. Ici, c'est évident, ce sont : Ou encoredtavec dt dx dy dz Ou encore avec Sadx définition Vk V donc V suivant j et dz suivant qui suivant ia,été dyVdonnée: sont simplem dtdx dt dy dt dz V M Cette relation peut être manipulée à loisir. En particulie Vx sont donc Vy qui simplement lesVztrois scal V ce dOM qui nous conduit à: dt dt dt k V dt diviser par : j z qui Vsont donc simplement les troi dt i V iVV j V k V i V j V k y x y z x dOM dx.i dy. j dz.k O dxy.i dy dz.k dOM lorsque les va Il dOM faut imaginer un. jdéplacement élémentaire V Vx i V y j Vz k dt dt z varient. Ici, c'est évident, ce sont : Accélération Nous serions évidemment arrivés au même dV résultat en différe x z y z y x x y z dt En divisant par dt on obtient l'accélération dt Accélération dV les différents systèmes Même démarche, nous calculons d'abord la variation Dans de coordonnées Même démarche, nous calculons d'abord la variation de vitesse dt dV dVxdV .i dV y . j dVz .k Coordonnées cartésiennes: accélération Même démarche, nous calculons d'abord la variation de vitesse dt dV . i dV . j dV . k dV dVx .ix dV y . j dV y z .k z et, en posant démarche, nous calculons d'abord En Même divisant par dt on obtient l'accélération dt dV dV . i dV . j dV . k x y z En divisant par dt on obtient l'accélération dVx .i dVy . j dVz .k dVz .k et, en posant dV ydV dVdtx .i dVdV y. j dVx z x dV .i dV . j dV y.k z dV dV dV En divisant par dt on obtient l'accélération x dt y z dt Endtdivisant dt et, en posant dt dt on obtient dt par l'accélérati x x y y z z dt dV y .k dVdV . i dV . j dV x x y z dVx zi y j z k dVet, dVposant dVz .k x .i en y. j x y z et, dt x i dt y jdt dt pour les positions et les vitesses, l'accéléra z k Comme composantes suivantdt chacun des axes. dV dV y dV dVdV dVz y positions x z et x Comme pour les les vitesses, l'accélé x y z x y zk z xi y j dt dt dt dt dt dt Remarque composantes suivant chacun des axes. Comme pour les positions et les vitesses, l'accélération est donc simp d 2x dVx s'écrit aussi 2 etc … composantes suivant chacun desx axes. dt k dt i j x y z i j k x y z En règle générale, il faut éviter les dérivées sec intermédiaires, comme , qui ont souvent un sens ph Comme pour lesVxpositions et les vitess Comme pour les positions et les vitesses, l'accélération est donc uu dans lecylindriques: plan Oxy, déplacements perpendiculaire à Vous vérifierez que k u Coordonnées Suivant les 3 vecteurs, les (pour déplacements sontladans l'ordre: Essayons d'évaluer directement visualiser, voir figure) un déplacement élémentaire Dans les différents systèmes de coordonnées dOM lorsque , et z varient u dans le sens des croissants. suivant u d Suivant les 3 vecteurs, les déplacements sont dans l'ordre: Si problème deu vue dans l’espac Coordonnées cylindriques k u d z(il vérifierez et non pas Vous suivant faut obtenirque une distance!) suivant u u et polaires: dd aller tout de suite à la figure coordonnée Position u k et non pas d (il faut obtenir une distance!) suivant dzd OM suivant u zk dz suivant k Donc: Position Donc: dz dOM : distance d .u dà .l'axe, u dz.kvarie généralement dde dOM d .u d .u dz.k OM u zk 0à+ , mai avec . d k z : distance à l'axe, varie généralemen u La vitesse s'écrit La vitesse s'écrit doncdonc : azimut (0 à 2 ) O avec . dd .u .u d .ud .u dz.k dz.k 57 y 57 u V z : hauteur (- , + ) d V dt : azimut (0 à 2 ) dt Que Attention nous réécrirons sous forme: à lal’écriture "automatique" parfaitement a M’ z : hauteur (, + ) dnous réécrirons dz sous la forme: Que V udz u k uOM k dt dt u x zk Attention à l’écriture "automatique u dt M Projection de M sur Oxy où est défini par défini par = d /dt Vitesse = d /dt OM u u zk Pour éviter les dérivées secondes, il est utile de définir: er les dérivées secondes, il est utile de définir: d qui se nomme vitesse radiale (suivant le rayon) V Cinématique dt nomme vitesse radiale (suivant qui se le rayon) Essayons d'évaluer directement (pour visualiser, voir la dz Vz Essayons d'évaluer directement (pour dt lorsque , et z varientCinématique dOM Vitesse où est défini par = dVV /dtdd dz dz dt uu uu kk dt Dans les différents systèmes de coordonnées dt dtdt ondes, est utile définir: Pouril éviter les de dérivées secondes, il est utile de définir: où est défini par = d /dt où est défini par = d /dt Pour éviter les dérivées secondes, il est utile de définir: 57 57 dz/dt d e vitesse (suivant le rayon) se nomme vitesse radiale (suivant lederayo V d radiale qui Pour éviter les dérivées secondes, il est utile dedéfi déf Pour éviter les dérivées secondes, il est utile qui se nomme vitesse radiale (suivant le rayon) V d dt dz Coordonnées cylindriques : vitesses dd M dt V u dz u k quiradiale nommevitesse vitesseradiale radiale(suivan (suiva vitesse qui sesenomme VV u udt dz k dt dt d dt dt dt k dz V z où z est défini par = d /dtu d Vz par dt= d /dt dz dz défini V V V O zz dt dt z Pour éviter les dérivées secondes, il est utile de définir: dt dt Finalement u utile de définir: terFinalement les dérivées secondes, il est y d V Finalement Finalement d qui se nomme vitesse radiale (suivant le rayon) V quidt se nomme vitesseuradiale (suivant le rayon) V V u V k V V u uu VVz kz k u ’ dz V dz V u u Vz kz V V M Vz V dz/dt Projection de M sur Oxy dt porte le nom de vitesse dt(nom porte nom porte leleorthoradiale nom de de vitesse vitesse orthoradiale orthoradiale (nom (nommée V ssexFinalement orthoradiale (nommée ), orientée (nommée suivant une porte le de nom de vitesseVorthoradiale V ),diro porte le nom vitesse orthoradiale perpendiculaire ne perpendiculaireau aurayon. rayon.AAM nepas pasconfondre confondreavec avecl ent V V u u V k au rayon. A ne pas confondre avec la vitesse perpendiculaire k d ladt z qui auavec rayon. A ne pastangentielle, confondre avec vitesse tan neperpendiculaire pas la vitesse est justeme u confondre Vk u porte le nom de vitesse orthoradiale (nommée V ), orientée suivant une direction Coordonnées cylindriques et polaires: z z z Remarque aurions Remarque 1:1: nous nous aurionsévidemment évidemmentobtenu obtenulele O rte le nom de vitesse orthoradiale (nommée V ), orientée suivant une direction u perpendiculaire au rayon. A ne pas OM confondre avec zk la vitesse tangentielle, qui est justement V y u soit : OM u zk soit : d Remarque 1: nous aurions évidemment obtenu le même ré Remarque nous aurions obtenu le même iculaire au rayon. A1: ne pas confondre avec évidemment la vitesse tangentielle, qui est justement V résult évidemment obtenu le même résultat en différentiant la po M’ Remarque 1: nous aurions évidemment obtenu le même.d.drésultat en différentiant la position dOM d . u u dz . k dOM d . u u dz . k OM u zk soit : OM u évidemment zk soit :obtenu le même résultat en différentiant la position ue 1: nous aurions OM u zk soit : u dOM zk soit d: .u dOM dd .u..duu dOM Projection de M sur Oxy dz..d k.u du Qui Qui comptetenu tenude delalarelation relationdduu x compte dzdz .k .k dd .u.u ( (cf. cf.dér d Il rapport estpouvez toutauàaussi, fait possible de rapide, "visualiser" directement lesavec variations Vous pouvez aussi, et c’est très les M Vous k Z( ede par temps, etc’est en utilisant étant porté par Z d u utiliser dt u ,imaginaires, et très rapide, utiliser les imaginaires, avec eki v). dt i maintenant un peu rodés aux différentielles, nous écrirons direct ous pouvez aussi, et c’est très rapide, utiliser les imaginaires, avec Z e Dans les différents systèmes de coordonnées dz V z tionAccélération l'expression précédente de V : dt Coordonnées cylindriques et polaires: Accélération dV dV . u V . d u d . . u . d . u . . du dV . k Finalement fait possible de "visualiser" directement les variations de vitesse; cependa z ccélération Il est tout à fait possible de "visualiser" directement les variations de vitesse; cep Il est tout à fait possible de "visualiser" directement les variations de vitesse; c dV à éta p un maintenant rodés nouslesécrirons directement est tout "visualiser" variations de vitesse; cependant, VpeuàVfait u possible ude différentielles, Vz k aux directement dV unaux peu rodés différentielles, nous écrirons directement maintenant un rodés peu rodés aux différentielles, nous directement écrirons directement dV à partir aintenant un peu aux différentielles, nous écrirons et d u d . u En tenant compte de d u d . u V l'expression précédente de : V précédente de : porteprécédente le nom de vitesse orthoradiale (nommée V ), orientée V l'expression de : V : d . .u xpression précédente de dV dV . u V . d u .u . .du dVz .k VdV .d u ( dVd . ..u .d ).du .u(V .d ..d .du dV . k z.du d . d ) dV ulazvitesse perpendiculaire au rayon. A ne pas confondre dV dV . u V . d u d . . u . d . u . .k dVz k tangentiell V dV .u V .d u d . .u .d .u . .du dVz .k.avec Nous avons ici les de vitesse. .u En tenant compte de d3ucomposantes d .u et d ude la dvariation det d.duu.u dobtenu de d ucompte .u detaurions nmpte tenant compte de1:dd nous u de .u EnRemarque tenant u.ud uetd d .uuévidemment le même résultat en di dV ( dV u . zk.dsoit ) u : (V .d d . .d ) u dVz k OM V dV dV u .dd ()Vu.d d (.Vd .d. .ddV .d). u) u dV dV k) u dV k . (Le .dcalcul ) u. .dde(V). l'accélération zk ( dV d . d permet zde 2 termes, et fin Nous avons ici les 3 composantes de la variation de regrouper vitesse.z dOMici les d 3.ucomposantes .d u dedz k dt de vitesse. ous avons la .variation ici les 3 composantes de lade variation iciNous les 3avons composantes de la variation vitesse.de vitesse. dV d d .u dV 2 de la relation z dV Qui compte tenu d u ( cf. dérivée d'un vecteur un u V u k ( ) (2 ) dV permet de regrouper 2 termes, et finalement : Le calcul de l'accélération permet de regrouper 2 termes, et finalement : e calcul de l'accélération dt dt dt dV dt dV dt précédent. déplacement élémentaire permet de regrouper 2ettermes, et finalement Le calcul de l'accélération permet de regrouper 2 termes, finalement : l'accélération dV dVz dtd dV 2 dV ( d dt 2 u (2V ) u k )V )zuk u ( ) (2 dt z à retrouver cette relation en ddtdt exercer dV Remarque 2:2 vous pouvez vous dt ( dVdt dt dVz ) u k ) u d (2V 2 V ) u dt (2rapport ) u et en dt kutilisant dt d u dt OM par audttemps, , étant por u dt )u k )( u 2 (2 ( ) ) u 2 (2 )u k 2 2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt Dans les différents systèmes de coordonnées minons desproblème, termes (Une de l'accélération (Uneaccélération approche numérique sera des termes l'accélération approche numérique enbien atelier) dVsera faite kchacun , de aucun il s'agit d'une conn ivant permet de regrouper Le calcul de l'accélération dt Coordonnées cylindriques et polaires: dV ddV dVz2 2 ( il s'agit ) u accélération (2V ( le long ) uconnue roblème, il s'agit d'une accélération bien connue d'un axe. lek)long k , aucun problème, d'une bien d'u vant accélération radiale comp , suivant u dt dt dt dt 2 dV dV 2 dV 2 d Accélération radiale: ( ) iale comprend 2 termes: , suivant u ) comprend 2 termes ccélération radiale ,) suivant u ( (ou dt 2 dt dt dt 2 2 dV d ) qui est aussiordinaire l'accélération ordinaire le long d'un axe est aussi l'accélération le long d'un axe: faire =Cte p (ou ) 2 2 t dt dt ération ordinaire le long d'un axe: faire =Cte pour comprendre. est aussi l'accélération ordinaire le long d'un axe: faire =Cte pour compren 2 Cinématique toujours dirigée vers l'origine, appelée accélération centripète 2 jours dirigée vers l'origine, appelée accélération centripète: fair s l'origine, appelée accélération centripète: faire =Cte. ours dirigée vers l'origine, appelée accélération centripète: faire =Cte. d d u ( elle accélération orthoradiale u ( horadiale suivant 2V suivant) comprend, d 2Vaussi, 2 ccélération orthoradiale suivant u dt( 2V ) comprend dt mes : ( ) comprend ationaussi radiale l'accélération 2 termes: , suivant u dV est ordinaire le d'un axe: faire =Cte dt dt dt long dt dt ) comprend dV .u u V( .d u Examinons d . dt.uchacun .ude l'accélération . .du dVz .numérique k ale dV , suivant 2 termes: des.d termes (Une approche sera faite en atelier) Nous avons ici les 3 composantes de la variation dt appelée l'origine, accélération centripète: faire =Cte.de vites Vours dirigée dDansvers les différents systèmes de coordonnées (ou ) 2 2 2 2 2 dt 2 2 t ) Suivant k , aucun problème, il s'agit d'une accélération bien connue le long d'un axe. et d u=Cte pour d comprendre. .u En tenant compte dpolaires: u d'undaxe: .u faire ordinairede le et long tsi2 l'accélération Coordonnées cylindriques d dV dV u ccélération orthoradiale suivant ( 2V permet ) comprend, ( ) comprend 2de L'accélération radiale termes: , suivant u regrouper Le calcul de l'accélération ration ordinaire le long d'un axe: faire =Cte pour comprendre. dt ours dirigée vers l'origine, appelée accélération centripète: fai ( dV . .d ) u (VdV.d d . .d ) u dtdVz k dt 2 dV d (ou ) mes : dt dt Nous iciappelée les 3 composantes de la ordinaire variation de vitesse. rigée vers avons l'origine, accélération centripète: fairele long =Cte. dV dVz 2 qui est aussi l'accélération d'un axe: d faire =Cte pour comprendre. k ( ) u (2V )u 2V d l'origine, appelée accélérationdtcentripète: faire =Cte. dt dt d u célération orthoradiale suivant ( 2 V u ation orthoradiale de suivant comprend, elle aussi, 2 ( 2 ) V elée accélération Coriolis, couplage des vitesses de translation dVvers l'origine, appelée accélération centripète: faire =Cte. et de rotatio toujours dirigée dt regrouper 2 termes, et finalement : permet de Le calcul de l'accélération d alissade mathématique: mais: 2V V V d dt u horadiale suivant comprend, 2 ( 2 ) V Accélération othoradiale: L'accélération orthoradiale suivant u ( elle elle aussi, 2 2V aussi, ) comprend, 2 2 2 2 dt es : dV dt termes : dd dansdVlaz différentielle dV (cf. dV ). I premier( V est 2issu du terme V u V u k ) (2 ) 2V des vitesses accélération de Coriolis, couplage de translation et de rotation célération des vitessesdt de translation et de rotation. 2V dedt Coriolis, couplageappelée dt accélération de Coriolis, couplage des vitesses de translation et de rotation. d le compte de la2Vrotation ( ), donc du changement de direction de la vitesse e mathématique: mais: V V Lapalissade mathématique: mais: 2V V V de Coriolis, couplage des vitesses deV translation et Vded rotation. lée accélération de Coriolis, couplage des vitesses de translat dV dV ). Il est à mettre (cf. Un premier est issu du terme dans la différentielle dV dV ). Il est à mettre (cf. rdeuxième V est issu V du terme dans la différentielle V d . est lade direction différentielle atique: 2V mais: V V issu d ),.donc dudans sur le du compte terme de la rotation (d changement de la vitesse radiale dV V . alissade mathématique: mais: 2V V V pte de la rotation ( d ), donc duLechangement de direction de la vitesse radiale . dV . Il est dû à V Cinématique deuxième V est issu du terme d . dans la différentielle lorsque le rayon augmente. dV dV ). Il est à mettre (cf. tgmentation issu du termedeVlad vitesse dans laorthoradiale différentielle l’augmentation de la vitesse orthoradiale lorsque le rayon augmente. dV . Il est dû à est issu du terme d . dans la différentielle d d d d d . , mais une fois dt divise Dans les 2 de cas nous avons à V faire d ),nous otation (cas doncavons du changement direction deàdladtune vitesse radiale V .d , etdl'autre, fois dt , mais fois divise et l'autre s les 2 à faire à ation de la vitesse orthoradiale lorsque le rayon augmente. d dt d d dV . Il est dû à estnous issuavons du àterme dansune différentielle d . , mais dt la fois dt d divise , et l'autre fois . cas faire à d Cinématique d qui se comprend bien avec =Cte : c'est l'accélération liée au fait que la vitesse orthoradiale, dt vitesse orthoradiale lorsqueliéele c'est l'accélération aurayon fait laaugmente. vitesse orthoradiale, varieNotons si la vitesse de rotation change. varie si laque vitesse de rotation change. que dans le cas très particulier de mouvement d dt circulaire ( =Cte), la vitesse orthoradiale est aussi la vitesse tangentielle. ème V premier V est issu du terme dans la différentielle d e compte de la rotation ( d ), donc du changement de directi d d deuxième avons à faire à V estuneissu d fois . d dans , mais fois dt du diviseterme . d , et l'autre la diffé Coordonnées polaires. Elles sont un cas particulier des coordonn Coordonnées polaires C'est un repère à 2 dimensions où les vari Elles sont un cas particulier des coordonnées cylindriques (cf. fig.). Elles reviennent à prendre un repère cylin C'est un repère à 2 dimensions où les variables sont et z Cte ou plus simplement z 0 , ainsi é Coordonnées polaires, cas particulier ducylindrique cas cylindrique: Elles reviennent à prendre un repère et ày faire: orthoradial z Cte ou plus simplement z 0 , ainsi évidemment que Vz 0 et z 0 . Dans les différents systèmes de coordonnées 4.3 Coordonnées sphériques radial Coordonnées polaires y 4.3 Coordonnées sphériques. x O Ces coordonnées, comme les cylindriqu utilisées lorsque le système étudié présent Ces coordonnées, comme les cylindriques particularisent un axe, z en général, et de seront Aucun des vecteurs unitaires la base y orthoradial u présente un ou plusieursposition utilisées lorsque le système étudié axes dedurotation point M(cf. fig.) Aucun des vecteurs unitaires de la base n’est fixe dansCe le système repère, s’appuie ils dépendent toussurdeunlasystè lui aussi u position du point M radial Ce systèmeys’appuie lui aussi surM un système orthonormé Oxyz fixe dans le repère. Si besoin rareunitaires : Vecteurs u u x Vecteurs unitaires ur selon OM O y ur .cos selon O OM x .sin u perpendiculaire au plan défini par croissants, dir rotation dans leàsens des u u perpendiculaire au plan défini par Oz et OM et perpendiculaire , obtenu par une r u , dans le plan défini par Oz u ur u croissants, dirigé vers l’Est rotation dans le sens des Important, pour évaluer les variations des vecteurs, il est très commode de les ramener au centre: vecteurdéfini unitaire se déplace un cercle de rayon 1 le Nord , dansd’un le plan par Oz,sur OM, dirigé vers u ur u l’extrémité u x Position NB: dans un repère orthonormé, nous représentons très généralement les vecteurs unitaires à l’origine, non? Position u OM r ur u M Si besoin rare : OM r ur x définie .cos très simplement p La position est base plus complexes y .sinqu'en coordonnées c Coordonnées sphériques La position est définie très simplement par un seul vecteur! Ceci se paie par des vecteurs de Elles reviennent à prendre un repère cyli reviennent à prendre un repère cylind z CteElles z 0 ou plus simplement , ainsi évidem A 3 dimensions, zz Cte z 0 ou plus simplement , ainsi Dans les différents systèmes de coordonnées Cte ou plus simplement z 0 , ainsi év z en coordonnées sphériques, le globe terrestre s’impose: Coordonnées sphériques u Coordonnées sphériques: 4.3u Coordonnées sphériques. 4.3 Coordonnées sphérique r : rayon 4.3 Coordonnées sphériques r z u M Ces u A 3 dimensions, en coordonnées sphériques, urs’impose: verticale le globe terrestre coordonnées, comme les cylindriques pa u Ces coordonnées, commeles lescylindriqu cylindriq Ces coordonnées, comme r : rayon r utilisées : longitudeétudié présente un o lorsque le système utilisées lorsque le système étudié présen u lorsque le système étudié présente u verticale Aucun des vecteurs unitaires de la base n’est u vers l’Estunitaires ydes Aucun des vecteurs unitairesdedelalabase bas vecteurs : longitude position du point M position du point M du point M : latitude Ce système lui aussi sur un système ort vers l’Est y u s’appuie Ce système système s’appuie lui aussi sur ununsystèm Ce s’appuie lui aussi sur syst M’ r Or x x M O r : latitude M’ u vers le Nord Vecteurs unitaires u vers le Nord Vecteurs Vecteurs unitaires unitaires OM ur X selon est destinée à rendre plus tangible OM uNB: selon OM rr la sphère u selon X des vecteurs. NB: la sphèrelaestdisposition destinée à rendre plus tangible u la dispositionperpendiculaire au plan défini par Oz et Ildes estvecteurs. bien évident que son rayon r est variable. au plan défini Il est bien évident sonperpendiculaire rayon r est variable. au plan défini par Oz et OM et perpendiculaire à urpa uu queperpendiculaire perpendiculaire au plan définipar croissants, dirigé ve rotationrotation dans ledans sensledes croissants, diri sens des croissants, d rotation dans le sens des dans le plan défini par Oz, OM, dirigé vers le Nord OM, , dans le plan défini par Oz, u u u ru , dans le plan défini par Oz, ur u Cinématique Cinématique , dans le plan défini par O u ur u r u perpendiculaire au plan défini par Oz et OM et perpendiculaire à ur , obtenu par une rotation dans le sens des croissants, dirigé vers l’Est , dans le plan défini par Oz, OM, dirigé vers le Nord u ur u 63 6 Dans les différents systèmes de coordonnées Position Coordonnées Position dOM dr.sphériques: u r d . u r cos os OM d r.uu Position: Relation r dOMd . udr. ur r d .u r cos d . u La position est définie très simplement par un seul vecteur. Ceci se paie par des vecteurs de importante à bien assimiler. Attention, le bien cos assimiler. estet asouvent oublié. Illesignifi Relation importante à cos OM r u base plus complexes qu'en coordonnées cylindriques, fortiori Attention, cartésiennes. r La position est définie très simplement par un seul vecteur! Ceci se paie par des vecteurs de simplement qu'il plus de faire lesouvent "tour" monde d'un pôle qu'à l'équateur simplement est du plus courtprès de le "tour" du mon base plus complexes qu'enest coordonnées cylindriques, et a qu'il fortiori cartésiennes. assimiler. Attention, le court cos est oublié. Il faire signifie aussi de negénéralement pas est permuter ettrès cosinus. Si permuter vous pas sûr, leseul mieuxSi es r Attention : distance àLa l'origine, varie de 0, àsinus mais il est possible de traitern'êtes un sinus position définie simplement par un ve Attention aussi de ne pas et cosinus. urtproblème de faire le "tour" du monde près d'un pôle qu'à l'équateur. avecavec r0 . d'essayer et . La vitesse s'en déduit immédiatement : dOM dr. u -r dà + .)u d'essayer r cos d avec . u 0 et . La vitesse s'en déduit immédiatemee : longitudebase (0 à 2 r, ou plus complexes qu'en coordonnées cylindriques, ermuter et cosinus. vous n'êtes pasunesûr, le demieux est drsinus d de – /2dSi : latitude, varie généralement à + , mais on peut utiliser amplitude 2 , Relation Attention, le d cos est souvent oublié. I V ur importante r cos u à bien r uassimiler. dr d pours'en traiter l’orbite satellite exemple. dt déduit dt Spot Image Vàdtparl'origine, u: r r cos varie u généralement r u esse immédiatement r : dudistance de 0, à r simplement qu'il est plus court du dtmonde près d'un pôle qu'à l dt de faire le "tour" dt d Vitesse: Ce sont typiquement les de grandeurs utilisées pour se repérer sur et terre, donc n'hésitez pas à problème avec r . Attention aussi ne pas permuter sinus cosinus. Si vous n'êtes pas sûr, le m dOM dr . u r d . u r cos d . u u Deuxième méthode : consulter … votre globe terrestre. 2 ) r La co-latitude, habituelle chez les physiciens, ( avec 0latitude et des. géographes LaDeuxième vitesse s'en déduit :immédiatement : dt estd'essayer méthode le complément de la . à partir est de d OM dt Il est iciRelation particulièrement instructif : longitude (0ààde 2calculer , assimiler. ou directement - à+ )la vitesseleV cos importante bien Attention, souven dr d d ici particulièrement instructif de calculer directement Il est Vitesse V ur lar: cos u est r dplus en utilisant relation générale Prendre garde–audu vecteur rotation. Ici, uu dtgénéralement u faire total de simplement qu'il court le "tour" monde près, d'un latitude, varie de /2 à + mai dtencore d'évaluer directement, dt dt Essayons en visualisant surla unrelation globe terrestre par exemple, undt représente la somme vectorielle des deux rotations possibles : en utilisant générale Prendre d u u n'êtes Attention aussi de ne pas permuter sinus et cosinus. Si vous p total déplacement élémentaire dOM , lorsque r , et varient. dcalculer dinstructif pour traiter l’orbite satellite Spot Image par exempl Il est icide particulièrement de calculer directement ladu vitesse V àV partirvectorielle dedéduit dOM/dt , immédiatement à partir de dOM dt , tructif directement la vitesse représente la somme des deux rotations possible d'essayer avec 0 et . La vitesse s'en : k u total Deuxième : dt méthode dt d d d Le vecteur rotation représente la somme vectorielle dr d k u ale Ilattention Prendre garde au vecteur rotation. Ici, il d uestdticiVau u signe … qui vous sera confirmé par le tire-bouchon. V à partir de particulièrement instructif de calculer directement la vitesse total cos r u r u total umoins des deux rotations possibles. r dt grandeurs dt dtIl commence dtles Ce sont typiquement L'exercice estdt fortement recommandé. comme ceci : utilisées pour se lle des deux rotations possibles : d uaudtsigne total en utilisant la relation générale vecteurpar rotatio u …Prendre attention moins qui vousgarde sera au confirmé le ti dOM consulter dr … dvotre d globe terrestre. La co-latitude, hab d (ru ur vectorielle r L'exercice k desudeux urotations ) ... recommandé. est fortement Il commence comme représente la possibles : r somme r dt Deuxièmedtméthode dt : dt dest led complément dOM de la latitude dr d d des géographes . k u Dans les différents systèmes de coordonnées Coordonnées sphériques: Coordonnées sphériques: déplacements élémentaires et vitesses Vitesse: dOM z V rd . u Il est plus court de faire le tour du monde près des pôles qu’à l'équateur ! V r y O n x r cos d . u Vr M k dr ur Vr V M’ V X Cinématique dr dt r cos d dt rd dt to Accélération effectuerons quelques calculs d'accélération dans des cas particuliers en TD. us Les poserons pour simplifier l’écriture : développements sont un peu longs et nous ne donnons ici que l’expression finale. Dans systèmes de coordonnées Encore une les fois, différents il est tout à fait possible de "visualiser" directement les variations effectuerons quelques calculs d'accélération dans des casdparticuliers en TD. d dr vitesse: à vos globes terrestres. Sinon, il faut utiliser à nouveau . d u dt u total Encore une fois, il est tout à fait possible de "visualiser" directement les variations Coordonnées sphériques: Nous poserons pourterrestres. simplifier l’écriture : utiliser à nouveau dt dt Sinon, dt d u dt total u . vitesse: à vos globes il faut d longs, nous ne donnons ici quedl’expression finale. Les développements sont dr Accélération: Nous Vr poserons pour simplifier l’écriture : dt dt d dr accélération s’écrit alors : Vr dt dt dV L’accélération s’écrit alors : [ r r 2 r cos 2 cos ] u r ddt dt dVr 2 dt [ r s’écrit r cos L’accélération alors : 2 cos ] u r dt d dVr 2 2 2 cos2 sin ] ur ] u rr r cos [ r [ [r d2 V cos r sin ] u r cos dt dt dt 2 Vr d 2 [ r d 2dVr sin ] u r cos 22 r sin [ r cos[rdtcos dt 2 V2rVcos r sin ] u ] u r cos dtd [ r cos 0 , ou 2 VrCte cos, nous retrouvons 2 r sin u Avec les]coordonnées polaires. on retrouve retrouvons les coordonnées polaires dt Cte ec Certains , nous les coordonnées polaires. 0 , ou termes sont très simples à comprendre : essayez en bloquant successivement 2 Avec , nous retrouvons les coordonnées polaires. 0r, ,ou et Cte variables , puis en fixant une seule variable. rtains termes sont très simples à comprendre : essayez en bloquant succ Certains termes sont très simples à comprendre : essayez en bloquant successivement 2 perpendiculaire à k , et situé dans le En définissant un nouveau vecteur unitaire n iables , et , puis en fixant une seule variable. r variables r , et , puis en fixant une seule variable. méridien (cf. figure), deux termes se regroupent et s’interprètent alors très facilement c à dans k , etle définissant ununcentripète nouveau vecteur unitaire n :perpendiculaire perpendiculaire à k , et situé En nouveau (essayer vecteur unitaire unedéfinissant accélération avec =0,n /2 …) méridien (cf. figure),deux deux termes se regroupent et s’interprètent alors très facilement c ridien (cf. figure), termes se regroupent 2 2 2 et s’interprètent alors très r cos cos u r r cos sin u r cos cos u r sin u r cos 62 dt l’expression finale. Nous dt Les développements sont un peu longs dt et nous ne donnons ici que effectuerons quelques calculs d'accélération dans des cas particuliers en TD. Encore une fois, il est tout à fait possible de "visualiser" directement les variations de la L’accélération s’écrit alors : vitesse: à vos globes terrestres. Sinon, il faut utiliser à nouveau d u dt u. total dVr 2 [: cos ] u r r 2 r cos Nous poserons pour simplifier l’écriture Coordonnées sphériques: dt d d dr V r d Accélération: 2 dt dt [r 2dtV sin ] u r cos Dans les différents systèmes de coordonnées dt r L’accélération s’écrit alors : d [ cos 2 cos 2 sin ] r V r u r dVr 2 dt [ cos ] u r r 2 r cos dt , ou Cte , nous retrouvons les coordonnées p Avec Plan0 équatorial Plan d méridien 2 [r 2 Vr sin ]u r cos Certains termes sont très simples à comprendre : essayez en dt z y variables r , et , puis en fixant une seule variable. d [ r cos 2 Vr cos 2 r sin ] u ' r cos OM dt En définissant un nouveau vecteur n M perpendicu En définissant un nouveau vecteur unitaire n unitaire perpendiculaire à k , et situé dans le plan Cte , nous retrouvons les coordonnées Avec 0 , ou M’ polaires. méridien (cf. figure), deuxméridien, termes regroupent etets’interpr deuxse termes se regroupent Certains termesr sont très simples à comprendre : essayez en bloquant successivement 2 des 3 s’interprètent comme une accélération une accélération centripètecentripète (essayer avec =0, /2 …) : urr , variables et , puis en fixant une seule variable. n u u M’ 2 2 r cos cos u r cos sinsituéu dans rlecos r plan En définissant un nouveau vecteur unitaire n perpendiculaire à k , et O x O X méridien (cf. figure), deux termes se regroupent et s’interprètent alors très facilement comme une accélération centripète (essayer avec =0, /2 …) : r cos 2 cos u r Si besoin2 (sin rare) :u r cos x r.cos .cos y r.cos .sin z r.sin r cos 2 cos u r sin u r cos 2 n Cinématique 2 cos M. Certaines relations et propriétés s'exprim localement la tr mouvement Ainstant un instant donné, il est possible de dé Coordonnées curviligne: de Frenet A un donné, ilrepère esttoujours toujours possible Trois vecteurs u localement la trajectoire C du point. localement la trajectoire C du point. T : tangent à C'est un repère local uniquement défini à partiràdesla caractéristiques dedéfinis la trajectoire au manièr Trois vecteurs unitaires sont alors deCaussi la A un instant donné, il est toujours poss N : normal à T , et donc trajectoire C, lui dan point M. Certaines relations et propriétés s'expriment plus simplement dans cemouvement repère. Trois vecteurs unitaires sont alors définis de la T : maintenant tangent à la trajectoire C, donc dans le pla relation, classique, de la différentielle d’un localement la trajectoire du point. A un instant donné, il est toujours possible de définir un planC osculateur qui contient localement trajectoire C du point. T : lamouvement tangent à la trajectoire C, donc dans plan: N : normal à T Trois vecteurs unitaires sont alors définis d Trois vecteurs unitaires sont alors définis: relation, mainte mouvement dT d . N N : normal à T , et donc à la trajectoire C, lui aussi da plan: tangent à la trajectoire C, donc dans le plan osculateur, orienté dans le sens du mouvement T : tangent à la trajectoire C, donc d relation, maintenant classique, de la différentielle d’ dT d . N normal à T , et donc à la trajectoire C, par conséquent aussi dans le plan osculateur. Il est En définissant l’abscisse curviligne s, distance mesurée mouvement plan: défini par la relation deT la différentielle d’un vecteur unitaire qui tourne dans un plan: N : normal à , et donc à la trajectoire C, lui quelconque, et R le rayon de courbure de C au point M, En définissant l dT d . N relation, maintenant classique, de la différent Rd d’où la définition plus classique : quelconque, et ds R d R ds plan: N dT: d’où la définition plus classique ds N : En normal à T , et donc à la trajectoire C, plan: d définissant l’abscisse curviligne s, distance mesuré N est dirigé vers la concavité dede la courbe : par exemple siC Cla est unpoint cercle, M relation, maintenant classique, de diffé N dT quelconque, et R le rayon courbure de au dT d . N Ndéfinition est dirigé vers sonde centre. N En définissant l’abscisse curviligne s, distance mesurée sur la trajectoire à partir d'une origine quelconque, et R le rayon de courbure de C au point M, l’angle peut s’écrire: ds Rd R ds d son centre. Coordonnées curviligne: repère de Frenet B est le vecteur binormal, qui respecte: B est normal au plan Repère deosculateur Frenet puisqu’il est normal à T et N , qui sont tous B T N les deux dans le plan osculateur. Plan osculateur Plan de la feuille B est normal au plan osculateur puisqu’il est normal à T et T dT = d N = ds/R N plan osculateur. ds R B d N Le centre du cercle n’est pas fixe, la valeur du rayon non plus Ici, la trajectoire est localement dans le plan de la feuille. Ici, la trajectoire n’est pas obligatoirement dans le plan de la feuille Position Coordonnées curviligne:Position repère de Frenet Position La position est par définition confondue avecavec l'origine du système La position estVitesse par définition confondue l'origine du systèmeconfondue ave La position est par définition LeTvecteur T étant tangent à lelasens trajectoire, dans Le vecteur étant tangent à la trajectoire, dans du déplacement, de Frenet laRepère vitesse s'écrit directement: ds ds Vitesse Vitesse Vitesse lateur Plan de la feuille manière évidente: VVitesse T soit avec V dt dt le sens d qui représen Le vecteur T étant tangent à laàtrajectoire, dansdans le sens du déplacement, la vites Le vecteur T étant tangent la trajectoire, le sens du déplacement, la v Le vecteur T étant tangent à la trajectoire, TT V V ds dT = d N =dsds/R N ds ds ds vitesse, avecavec manière évidente: représente la forcément V V dsT Tsoit soit V V qui qui s est une distance manière évidente: représente la vitesse, forcém soit avec manière évidente: V T V Elle ddtn'adtdonc qu'une composante, qui est la vitesse tangent dt dt dt Ici, la trajectoire R est localement dans V VT VT Elle n'a qu'une composante, qui leV plan deV la T feuille. B N Elle Elle n'a donc qu'une quitotale est la vitesse tangentielle. esttangentielle. la vitesse n'a donc qu'une qui est la vitesse NBcomposante, : lacomposante, distance parcourue entre t1 tangentielle. et t2 se déduit Elle n'a donc qu'une composante, qui estim la ds dstotale Vdttparcourue ou st1t2etset2déduit Vdt NB :NB la distance totale parcourue entre t et immédiatement V : la distance entre se de déduit immédiatement de tV1 et 1 la distance totale parcourue entre et t se déduit immédiatement Vtotale NB : la distance parcourue de entre 2 Le centre du cercle n’est pas fixe, 1 t1 dt la valeur du rayon non plus Ici, la trajectoire t2 ds ds Vdt Vdt ou ou s t2 t2 s Vdt Vdt t Accélération 1 t1 n’est pas obligatoirement dans le plan de la feuille ds Vdt ou La variation de vitesse s'écrit aisément: Accélération Accélération Accélération dV dV .T V .dT s t2 t1 Vdt La variation de vitesse s'écrit aisément: La variation de vitesse s'écrit aisément: La variation de vitesse s'écrit aisément: T .dT V .dT dV dVdV .TdV .V D'où l'accélération, Le vecteur T étan relation, maintenant cla Lal'accélération, variation de vitesse s'écrit aisément: D'où Coordonnées curviligne: repère de Frenet plan: dV dV dT dT Accélération Accélération T V dT Tévidente V dV dV .T V .dT manière d . N LadV variation de vitesse s'écrit aisément: dT dV dT ds dt dt dt ds La variation de vitesse s'écrit aisément: T.T VV .dT T V dV dV D'où utilisant En laVdéfinition de N p définissant dt l'accélération, dtdV dV dt .T V .et, dsen dt Accélération dT V T l’abscisse 2quelconque, et R le rayo dV dT dV dT ds l'accélération, dV exprimer V dsElle dT n'a donc qu'u : et, D'où en utilisant T V la définition T V de N pour d’où la dé R d T N dt dT dsds dt dt D'où dVdt dT2 dt dV l'accélération, R T V T V Vdt la définition dt utilisant dt dV dsdedtN exprimer dT et,dV en dTpourdV dT N : ds dT T N T V T 2 dT N : pour exprimer et, en utilisant la définition de dt dV RV définitiont V NB : la distance R dt ds dV dt dt dt ds L'accélération est située dans le 2 2 T N dV versd las conc dV V N est dirigé dtT R et, en utilisant lavecteur dt N N pour exprimer définition de 2 dT binormal B . dt R dt dt ou son centre. ds Vdt 2n'adV L'accélération est située dans le plan osculateur, et n'a do L'accélération est située dans le plan osculateur, et donc aucune composante suivant le vecteur dV V est etl'accélération tangentie L'accélération est située leNosculateur, plan osculateur, et len'a donc aucun binormal B Tdans Bdonc est vecteur binorma L'accélération est située dans le plan n'a aucune composan vecteur binormal B .dt dt R vecteurbinormal binormal B T N vecteur B. B. 2 Accélération dVdV V dVaccélération B est normal au plan osc tangentielle accélération normale est l'accélération tangentielle l'accélération normale estest l'accélération tangentielle l'accélération tangentielle L'accélération estR située dans plan leLaplan osculateur, osculateur. variation de vi dt dtdt 22 V 2 V vecteur binormal B . dV dV . T V . d normale V R l'accélération l'accélération normale dV En prenant l'exemple particulier R l'accélération normale est l'accélération tangentielle R l'accélération dans un système cy dt D'où En prenant l'exemple particulier d'une trajectoire circulaire, vousl'accélératio pouvez essaye Coordonnées Accélération T V dt dt dt ds dt curviligne: repère de Frenet et, en utilisant la définition de N pour exprimer dT Repère de Frenet: accélération dV/dt V2/R T V dV T dt 2 V N R Le repère Frenet est doncle un plan repère osculateur qui L'accélération est desituée dans T conduit à une expression simple de la vitesse et vecteur binormal B . mais dont l’origine et tous les de l'accélération, M vecteurs de base sont fonction du point M. Il ne dV est permet l'accélération tangentielle pas de décrire directement la trajectoire, N dt mais est très commode pour en exprimer 2 certaines propriétés. V l'accélération normale R En prenant l'exemple particulier d'une trajectoire l'accélération dans un système cylindrique puis da expressions. Le repère de Frenet est donc un repère qui condui