QCM n 2. - sur SiteW

QCM n 2.
le mercredi 21 septembre 2016
1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie muni du produit scalaire h , i.
⇤ Alors 8x 2 E, 8 2 IR, hx, xi =
x Alors 8(x, y) 2 E 2 , hx, yi 6 kxk kyk.
⇤
2
kxk .
⇤ Si (e1 , · · · , en ) est une base de E, alors 8x 2 E, x =
x Alors pour tout vecteur x non nul de E, hx, xi > 0.
⇤
n
P
i=1
hx, ei i ei .
2. Soit (un )n2IN une suite de réels strictement positifs tels que 8n 2 IN, un+1 6
1 n
2
u0 .
⇤ Alors la suite (un )n2IN est une suite géométrique.
⇤ Alors 8n 2 IN,
un+1
un
6 12 .
x Comme de plus la série géométrique
⇤
P
alors la série
un converge.
P
n>0
1 n
2
est une série géométrique qui converge car
1
2
< 1,
n>0
⇤
x Alors par encadrement la suite (un+1 )n>0 converge. Donc la suite (un )n>0 converge.
3. Soit (e1 , · · · , en ) une base de E un espace euclidien.
2
⇤ Alors pour tout vecteur x de E, kxk =
n
P
k=1
2
hx, ek i .
⇤ Alors pour tout couple (x, y) de vecteurs de E, hx, yi =
n
P
k=1
hx, ek i hy, ek i.
x Si x est un vecteur de E tel que 8k 2 [ 1, n]], hx, ek i = 0, alors x est le vecteur nul.
⇤
⇤ Les coordonnées du vecteur x dans la base (e1 , · · · , en ) sont (hx, ek i , · · · , hx, en i).
4. Soit (un )n>0 la suite définie par 8n 2 IN, un =
⇤ Alors un
x Alors un
⇤
2
(n+1)(n+2) .
1
⇠
2.
n!+1 n
=
n!+1
o
1
n
.
⇤ Alors 8n 2 IN, un = 2
x⇤ Comme un
2
2,
n!+1 n
⇠
1
n+1
et que
1
n+2 .
P 1
n2
n>1
converge, alors
P
un converge.
n>0
5. Les familles suivantes sont des familles libres de l’espace vectoriel IRn :
⇤ (0, · · · , 0), (1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · )
n
P
⇤ la famille (e0 , · · · , en ) telle que
i ei = 0 pour
i
=0
i=1
x
⇤ la famille (e0 , · · · , en ) telle que 8( i )16i6n 2 IRn , vérifiant
x fi
⇤
16i6n
nulles.
1
n
P
i ei
= 0 alors
i
=0
i=1
où fi est le n-uplet dont les i premières composantes sont égales à 1 et les suivantes sont
6. Soit fr la fonction définie par fr (x) =
+1
P
nr xn où r est un entier fixé.
n=1
⇤x Si on admet que pour tout réel x de ]
1, 1[, la série
nr xn converge alors ]
1, 1[ est inclus dans
n>0
l’ensemble de définition de fr .
⇤x Si r = 0, alors 8x 2]
P
1, 1[, f (x) existe et f0 (x) =
x
.
1 x
⇤ Pour montrer que fr est croissante sur ]0, 1[, il faut étudier le signe de la dérivée de fr .
⇤x fr est définie en 0 et fr (0) = 0.
7. La famille (e1 , · · · , en ) est une famille génératrice de l’espace vectoriel E.
⇤ Alors E = (e1 , · · · , en )
⇤x Alors E est un espace vectoriel de dimension finie et dim E 6 n.
⇤x Si E est un espace vectoriel de dimension n, alors la famille (e1 , · · · , en ) est une base de E.
⇤ Tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs e1 , · · · , en .
P
8. Soit (un )n2IN une suite numérique telle que
un converge.
n>100
⇤x Alors la suite (un )n>0 converge et tend vers 0.
✓ +1 ◆
P
x Alors la suite
⇤
un
converge et tend vers 0.
n=N
⇤ Alors la série
P
N >0
un converge.
n>0
⇤ Alors par linéarité la série
P
( 1)n un converge.
n>0
9. Soit F un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E.
F admet un supplémentaire orthogonal G dans E
x⇤ alors dim E = dim F + dim G.
⇤ alors l’intersection des ensembles F et G est vide.
⇤ uniquement si E est un espace vectoriel de dimension finie.
⇤x alors si F et G admettent une base, la concaténation d’une base de F et d’une base de G est une
base de E.
x
10. Soit (un )n>0 une suite de réels positifs.
⇣u ⌘
⇣u ⌘
n
n
⇤ Si la suite
converge vers 0 alors la suite
converge vers 0.
2
n n>1
n n>1
⇣u ⌘
n
⇤ Si la suite (un ) est croissante, alors la suite
est croissante.
n
⇤ S’il existe une suite (vn ) telle que 8n 2 IN , un 6 vn et lim vn = 0, alors il existe un entier n0 tel
x
que 8n > n0 , un 6 0.
p
un
n 1
un
⇤ Si 2 >
, alors lim
existe et vaut 0.
n!+1 n2
n
n
n!+1