QCM n 2. - sur SiteW

QCM n2.
le mercredi 21 septembre 2016
1. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie muni du produit scalaire h,i.
⇤Alors 8x2E,82IR ,hx, xi=kxk2.
⇤Alors 8(x, y)2E2,hx, yi6kxkkyk.
⇤Si (e1,···,e
n) est une base de E, alors 8x2E,x=
n
P
i=1 hx, eiiei.
⇤Alors pour tout vecteur xnon nul de E,hx, xi>0.
2. Soit (un)n2IN une suite de r´eels strictement positifs tels que 8n2IN , u n+1 61
2nu0.
⇤Alors la suite (un)n2IN est une suite g´eom´etrique.
⇤Alors 8n2IN , un+1
un
61
2.
⇤Comme de plus la s´erie g´eom´etrique P
n>01
2nest une s´erie g´eom´etrique qui converge car 
1
2
<1,
alors la s´erie P
n>0
unconverge.
⇤Alors par encadrement la suite (un+1)n>0converge. Donc la suite (un)n>0converge.
3. Soit (e1,···,e
n) une base de Eun espace euclidien.
⇤Alors pour tout vecteur xde E,kxk2=
n
P
k=1 hx, eki2.
⇤Alors pour tout couple (x, y)devecteursdeE,hx, yi=
n
P
k=1 hx, ekihy, eki.
⇤Si xest un vecteur de Etel que 8k2[[ 1 ,n]] ,hx, eki= 0, alors xest le vecteur nul.
⇤Les coordonn´ees du vecteur xdans la base (e1,···,e
n) sont (hx, eki,···,hx, eni).
4. Soit (un)n>0la suite d´efinie par 8n2IN , u n=2
(n+1)(n+2) .
⇤Alors un⇠
n!+1
1
n2.
⇤Alors un=
n!+1o1
n.
⇤Alors 8n2IN , u n=2 1
n+1 1 n+2 .
⇤Comme un⇠
n!+1
2
n2,etque P
n>1
1
n2converge, alors P
n>0
unconverge.
5. Les familles suivantes sont des familles libres de l’espace vectoriel IR n:
⇤(0,···,0),(1,0,···,0),(0,1,0,···)
⇤la famille (e0,···,e
n) telle que
n
P
i=1
iei= 0 pour i=0
⇤la famille (e0,···,e
n) telle que 8(i)16i6n2IR n, v´erifiant
n
P
i=1
iei= 0 alors i=0
⇤fi16i6n1o`u fiest le n-uplet dont les ipremi`eres composantes sont ´egales `a 1 et les suivantes sont
nulles.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

6. Soit frla fonction d´efinie par fr(x)=
+1
P
n=1
nrxno`u rest un entier fix´e.
⇤Si on admet que pour tout r´eel xde ] 1,1[, la s´erie P
n>0
nrxnconverge alors ] 1,1[ est inclus dans
l’ensemble de d´efinition de fr.
⇤Si r= 0, alors 8x2]1,1[, f(x)existeetf0(x)= x
1x.
⇤Pour montrer que frest croissante sur ]0,1[, il faut ´etudier le signe de la d´eriv´ee de fr.
⇤frest d´efinie en 0 et fr(0) = 0.
7. La famille (e1,···,e
n) est une famille g´en´eratrice de l’espace vectoriel E.
⇤Alors E=(e1,···,e
n)
⇤Alors Eest un espace vectoriel de dimension finie et dim E6n.
⇤Si Eest un espace vectoriel de dimension n, alors la famille (e1,···,e
n) est une base de E.
⇤Tout vecteur de Es’´ecrit de mani`ere unique comme combinaison lin´eaire des vecteurs e1,···,e
n.
8. Soit (un)n2IN une suite num´erique telle que P
n>100
unconverge.
⇤Alors la suite (un)n>0converge et tend vers 0.
⇤Alors la suite ✓+1
P
n=N
un◆N>0 converge et tend vers 0.
⇤Alors la s´erie P
n>0
unconverge.
⇤Alors par lin´earit´e la s´erie P
n>0
(1)nunconverge.
9. Soit Fun sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E.
Fadmet un suppl´ementaire orthogonal Gdans E
⇤alors dim E=dimF+dimG.
⇤alors l’intersection des ensembles Fet Gest vide.
⇤uniquement si Eest un espace vectoriel de dimension finie.
⇤alors si Fet Gadmettent une base, la concat´enation d’une base de Fet d’une base de Gest une
base de E.
10. Soit (un)n>0une suite de r´eels positifs.
⇤Si la suite ⇣un
n2⌘n>1converge vers 0 alors la suite ⇣un n⌘n>1converge vers 0.
⇤Si la suite (un) est croissante, alors la suite ⇣un
n⌘est croissante.
⇤S’il existe une suite (vn) telle que 8n2IN ,un6vnet lim
n!+1vn= 0, alors il existe un entier n0tel
que 8n>n0,un60.
⇤Si un
n2>pn1 n, alors lim
n!+1
un
n2existe et vaut 0.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x