Feuille de TD n˚2

Feuille de TD n˚2
MP Lyc´ee Clemenceau
Septembre 2014
Exercice 1 : Un sous groupe d’un groupe produit G×G0est-il n´ecessairement le produit de deux
sous groupes de Get G0?
Exercice 2 : Transport de structure
Pour (x, y)∈IR2, on pose x?y=xp1 + y2+y√1 + x2.
1) V´erifier que p1+(x?y)2=√1 + x2p1 + y2+xy.
2) Montrer que (IR, ?) est un groupe.
3) Montrer que l’application sh est un isomorphisme entre (IR,+) et (IR, ?).
Exercice 3 : Soit (G, ∗) un groupe et Aune partie non vide de G. On suppose que Aest finie et
stable par ∗.
Montrer que Aest un sous-groupe de G.
Exercice 4 : Soit Gun groupe fini et H, K deux sous-groupes de G. On consid`ere l’application
φH ×K→Gd´efinie par φ(h, k) = hk
1. Est-ce que φest un morphisme de groupes ?
2. Soit z∈HK,z=h0k0avec h0∈Het k0∈K.
Montrer que les ant´ec´edents de zpar φsont les couples (h0t, t−1k0) avec t∈H∩K.
3. En d´eduire que : Card(HK)Card(H∩K) = Card(H)Card(K).
4. Montrer que : (HK est un sous-groupe de G)⇐⇒ (HK ⊂KH)⇐⇒ (HK =KH).
Exercice 5 : Sommes de nombres impairs
Soit n∈IN, n≥2. Montrer que si Nest la somme de nnombres impairs cons´ecutifs, alors Nn’est
pas premier.
Exercice 6 : Sous-groupes d’un groupe cyclique
Soit n∈IN∗et G=Z/nZ. Soit k∈Zet d=k∧n.
1) D´eterminer l’ordre de kdans G.
2) Montrer que ket dengendrent le mˆeme sous-groupe de G.
3) Quels sont tous les sous-groupes de G?
Exercice 7 : Groupes d’ordre 6
D´eterminer tous les groupes finis de cardinal 6. (on admettra que dans un tel groupe, il existe un
´el´ement ad’ordre 2, et un ´el´ement bd’ordre 3).
Exercice 8 : Petit th´eor`eme de Fermat
Soit p∈IN premier. Montrer que pour 1 ≤k≤p−1, pdivise p
k.
En d´eduire que ∀n∈Z,np≡n[p].
Exercice 9 : Soient a, b ∈Zet n∈IN∗. Montrer que : a≡b[n]⇒an≡bn[n2].
Exercice 10 : Soit pet qdeux entiers naturels non nuls premiers entre eux.
Montrer que (X−1) (Xpq −1) est divisible par (Xp−1) (Xq−1).
Exercice 11 : Caract´eristique
Soit Aun anneau. On appelle caract´eristique de Al’ordre de 1 dans le groupe additif (A, +). On
suppose Ade caract´eristique finie, n.
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1) Montrer que : ∀x∈A, nx = 0.
2) Si Aest int`egre, montrer que nest un nombre premier.
3) Si Aest int`egre et commutatif, montrer que x7→ xnest un morphisme d’anneau.
Exercice 12 : On appelle nilradical d’un anneau commutatif (A, +,×) l’ensemble Nform´e des
´el´ements nilpotents de A, c’est `a dire des x∈Atels qu’il existe n∈IN v´erifiant xn= 0.
Montrer que Nest un id´eal de A.
Exercice 13 : Soit (A, +, .) un anneau commutatif et Iun id´eal de A.
On note √I={x∈A / ∃n∈IN∗tq xn∈I}(radical de I).
1) Montrer que √Iest un id´eal de A.
2) Montrer que p√I=√I.
3) Montrer que √I∩J=√I∩√Jet √I+J⊃√I+√J.
4) Exemple : A=Z,I= 3648Z. Trouver √I.
Exercice 14 : Un id´eal Id’un anneau Aest dit premier si :
∀(x, y)∈I2, xy ∈I=⇒x∈Iou y∈I
1) Quels sont les id´eaux premiers de Z?
2) Montrer que si Aest non nul et si tous les id´eaux de Asont premiers alors Aest un corps.
Exercice 15 : Soit (G, .) un groupe cyclique de cardinal n.
Montrer, que pour tout diviseur d∈IN de n,Gposs`ede un et un seul sous-groupe de cardinal d.
Exercice 16 : Soit pun nombre premier diff´erent de 2 et de 5.
Montrer que pdivise l’un des ´el´ements de l’ensemble {1,11,111,1111, ...}.
Exercice 17 : R´esoudre dans Z2les ´equations suivantes :
1) 95x+ 71y= 46
2) 20x−53y= 3
Exercice 18 : Une bande de 17 pirates dispose d’un butin compos´e de N pi`eces d’or d’´egale valeur.
Ils d´ecident de se le partager ´egalement et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci re¸coit
3 pi`eces. Mais une rixe ´eclate et 6 pirates sont tu´es. Tout le butin est reconstitu´e et partag´e entre les
survivants comme pr´ec´edemment ; le cuisinier re¸coit alors 4 pi`eces. Dans un naufrage ult´erieur, seuls
le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauv´es. Le butin est `a nouveau partag´e de la mˆeme mani`ere et
le cuisinier re¸coit 5 pi`eces. Quelle est alors la fortune minimale que peut esp´erer le cuisinier lorsqu’il
d´ecide d’empoisonner le reste des pirates ?
Exercice 19 : On note (Z/3Z) [i] = (Z/3Z)2,+,∗, o`u l’addition et la multiplication sont d´efinis
de la mani`ere suivante :
∀((a, b),(c, d)) ∈(Z/3Z) [i](a, b)+(c, d)=(a+c, b +d)
(a, b)∗(c, d) = (ac −bd, bc +ad)
Montrer que ces lois donnent `a (Z/3Z) [i] une structure de corps dont la caract´eristique est 3.
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