Anneaux, corps, idéaux, anneaux euclidiens et principaux 1

Anneaux, corps, id´eaux, anneaux euclidiens et
principaux
1 Anneaux, corps, id´eaux
D´efinition d’un anneau et d’un corps.
Int´egrit´e.
Corps des fractions d’un anneau int`egre.
Homomorphisme d’anneaux, le noyau est un id´eal I.
Un id´eal est un sous-groupe additif tel que si a∈ I, pour tout x∈Aon a xa ∈ I.
Produit d’id´eaux IJ , somme d’id´eaux I+J, intersection IJ ⊂ I ∩ J .
Exemple d’id´eal : id´eal prinicipal. Notation
(a1, . . . , an)
ai∈Apour l’id´eal
{X
i=1,...,n
λiai,∀λi∈A}
Id´eaux premiers Pest premier si ab ∈P,a6∈ P, then b∈ P :
Id´eaux maximaux Mest maximal, si tout id´eal Iqui contient M, est soit ´egal `a M, soit
´egal `a A.
Caract´eristique d’un corps, homomorphisme caract´eristique cA. Un corps est de car-
act´eristique p(resp. nulle) si et seulement si il contient le corps Fp(resp. Q). formule de
Newton en caract´eristique p,
(x+y)ph=xph+yph
Le nombre d’´el´ements d’un corps fini de caract´eristique pest de la forme pn
2 Id´eaux
Th´eor`emes d’somorphismes.
Th´eor`eme 2.1. Soit φ:A−→ Bun homomorphisme surjectif de Adans B, de noyau
I. Alors B∼
=A/I.
Lemme chinois :
Lemme 2.2. Si I+J=Aalors IJ =I ∩ J
et
A/IJ ∼
=A/I × A/J
le cas g´en´eral : soient Ia, 1 ≤a≤nsi Ia+Ib=A, si a6=b
A/I1. . . In∼
=A/I1×. . . ×A/In
Applications.
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3 Anneaux euclidiens et principaux
D´efinition d’un anneau principal : anneau int`egre dont tout id´eal est principal.
E´el´ements irr´eductibles. Un ´el´ement non nul uest irr´eductible si et seulement il ne peut
s’´ecrire u=ab sans que aou bsoit inversible.
Th´eor`eme 3.1. Id´eaux : dans un anneau principal les 3 conditions suivantes sont
´equivalentes, o`u u∈A,u6=O:
•uirr´eductible,
•(u)premier,
•(u)maximal.
El´ements premiers entre eux, identit´e de Bezout.
Lemmes d’Euclide et de Gauss.
D´ecomposition en ´el´ements irr´eductibles.
Anneaux euclidiens : polynˆomes.
Entiers de Gauss, Z[j].
Applications aux sommes de carr´es.
Un nombre premier impair est somme de 2 carr´es si et seulement si il est de la forme
4k+ 1.
Les nombres premiers impairs de la forme 4k−1 sont irr´eductibles dans les entiers de
Gauss.
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