Série 12

Introduction ` a la th´ eorie des nombres
Prof. E. Bayer Fluckiger 23 Mai 2016
S´erie 12
Exercice 1. Soit Kun corps de nombres de degr´e ndont on note OKl’anneau
des entiers. Soit pun nombre premier. Le but de l’exercice est de montrer le
r´esultat suivant :
“Le nombre premier pse ramifie dans OKsi et seulement s’il divise le discri-
minant de K.”
(1) Montrer que OK/pOKest un anneau commutatif fini de caract´eristique p. Quel
est sa dimension comme espace vectoriel sur Fp? Montrer qu’il poss`ede un
´el´ement nilpotent (non nul) si et seulement si pse ramifie dans OK.
Dans les questions (2) `a (6), on associe `a tout anneau commutatif fini Ade
caract´eristique pun invariant qui d´etecte la pr´esence d’un ´el´ement nilpotent (non
nul). Dans les questions (7) et (8), dans le cas o`u Aest l’anneau OK/pOK, on
relie cet invariant au discriminant de Ket on en d´eduit le r´esultat annonc´e.
Soit donc Aun anneau commutatif fini de caract´eristique p. On peut voir A
comme un espace vectoriel de dimension finie sur Fpdont on note nla dimension.
Pour tout ´el´ement xde A, on d´efinit TrA/Fp(x) comme la trace de l’application
lin´eaire “multiplication par x” :
A→A y 7→ xy.
Enfin, ´etant donn´e x1, . . . , xnune base de Asur Fpon note Disc(A/Fp, x1, . . . , xn)
le d´eterminant de la matrice carr´e de taille ndont le coefficient en position i, j
est TrA/Fp(xixj).
(2) Soient x1, . . . , xnet y1, . . . , yndeux bases de Asur Fp. Montrer qu’il existe un
´el´ement α∈F∗
ptel que :
Disc(A/Fp, x1, . . . , xn) = α2Disc(A/Fp, y1, . . . , yn).
On en d´eduit que Disc(A/Fp, x1, . . . , xn) est nul pour un choix de base x1, . . . , xn
si et seulement s’il est nul pour tout choix de base x1, . . . , xn. Si tel est le cas on
note Disc(A/Fp) = 0. Dans le cas contraire, on note Disc(A/Fp)6= 0.
(3) On suppose qu’il existe un ´el´ement nilpotent non nul xdans A. Montrer que
TrA/Fp(x) = 0. En d´eduire que Disc(A/Fp) = 0.
Dans les questions (4) `a (6), on suppose que Aest le corps fini Fpn.

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(4) Soit x∈Aun ´el´ement primitif, i.e. tel que le plus petit sous corps de Acontenant
xest Alui-mˆeme. Montrer que :
TrA/Fp(x) = x+xp+xp2+· · · +xpn−1.
On pourra montrer que le polynˆome caract´eristique de l’application lin´eaire “mul-
tiplication par x” co¨ıncide avec le polynˆome minimal de xsur Fp.
(5) Soit x∈Aquelconque. Montrer que la formule :
TrA/Fp(x) = x+xp+xp2+· · · +xpn−1
tient toujours.
(6) Montrer l’existence de x∈Ade trace non nulle. En d´eduire que Disc(A/Fp)6= 0.
On passe maintenant `a la preuve du r´esultat ´enonc´e au d´ebut de cet exercice.
On a d´ej`a vu que l’anneau OK/pOKest commutatif fini de caract´eristique p. On
peut donc lui appliquer les r´esultats des questions pr´ec´edentes.
(7) Montrer que pdivise le discriminant de Ksi et seulement si
Disc(OK/pOK/Fp) = 0.
(8) Montrer le r´esultat annonc´e.