Série 12

Introduction à la théorie des nombres
Prof. E. Bayer Fluckiger
23 Mai 2016
Série 12
Exercice 1. Soit K un corps de nombres de degré n dont on note OK l’anneau
des entiers. Soit p un nombre premier. Le but de l’exercice est de montrer le
résultat suivant :
“Le nombre premier p se ramifie dans OK si et seulement s’il divise le discriminant de K.”
(1) Montrer que OK /pOK est un anneau commutatif fini de caractéristique p. Quel
est sa dimension comme espace vectoriel sur Fp ? Montrer qu’il possède un
élément nilpotent (non nul) si et seulement si p se ramifie dans OK .
Dans les questions (2) à (6), on associe à tout anneau commutatif fini A de
caractéristique p un invariant qui détecte la présence d’un élément nilpotent (non
nul). Dans les questions (7) et (8), dans le cas où A est l’anneau OK /pOK , on
relie cet invariant au discriminant de K et on en déduit le résultat annoncé.
Soit donc A un anneau commutatif fini de caractéristique p. On peut voir A
comme un espace vectoriel de dimension finie sur Fp dont on note n la dimension.
Pour tout élément x de A, on définit TrA/Fp (x) comme la trace de l’application
linéaire “multiplication par x” :
A→A
y 7→ xy.
Enfin, étant donné x1 , . . . , xn une base de A sur Fp on note Disc(A/Fp , x1 , . . . , xn )
le déterminant de la matrice carré de taille n dont le coefficient en position i, j
est TrA/Fp (xi xj ).
(2) Soient x1 , . . . , xn et y1 , . . . , yn deux bases de A sur Fp . Montrer qu’il existe un
élément α ∈ F∗p tel que :
Disc(A/Fp , x1 , . . . , xn ) = α2 Disc(A/Fp , y1 , . . . , yn ).
On en déduit que Disc(A/Fp , x1 , . . . , xn ) est nul pour un choix de base x1 , . . . , xn
si et seulement s’il est nul pour tout choix de base x1 , . . . , xn . Si tel est le cas on
note Disc(A/Fp ) = 0. Dans le cas contraire, on note Disc(A/Fp ) 6= 0.
(3) On suppose qu’il existe un élément nilpotent non nul x dans A. Montrer que
TrA/Fp (x) = 0. En déduire que Disc(A/Fp ) = 0.
Dans les questions (4) à (6), on suppose que A est le corps fini Fpn .
2
(4) Soit x ∈ A un élément primitif, i.e. tel que le plus petit sous corps de A contenant
x est A lui-même. Montrer que :
2
TrA/Fp (x) = x + xp + xp + · · · + xp
n−1
.
On pourra montrer que le polynôme caractéristique de l’application linéaire “multiplication par x” coı̈ncide avec le polynôme minimal de x sur Fp .
(5) Soit x ∈ A quelconque. Montrer que la formule :
2
TrA/Fp (x) = x + xp + xp + · · · + xp
n−1
tient toujours.
(6) Montrer l’existence de x ∈ A de trace non nulle. En déduire que Disc(A/Fp ) 6= 0.
On passe maintenant à la preuve du résultat énoncé au début de cet exercice.
On a déjà vu que l’anneau OK /pOK est commutatif fini de caractéristique p. On
peut donc lui appliquer les résultats des questions précédentes.
(7) Montrer que p divise le discriminant de K si et seulement si
Disc(OK /pOK /Fp ) = 0.
(8) Montrer le résultat annoncé.