Université Paris-Est Créteil - Val de Marne L3 Mathématiques/L2

Université Paris-Est Créteil - Val de Marne
Année 2016 - 2017
L3 Mathématiques/L2 Math-Info
Structure Algèbrique
S. Jaffard et L. Liao
Contrôle Continu - le 29 novembre 2016 - - Durée : 1H30
-Il est recommandé de soigner la présentation et la réduction de votre copie -Documents et matériel électronique sont interdits Exercice 1 (Cours)
1. Donner les définitions d’un anneau, d’un idéal premier, d’un idéal maximal et d’un
idéal principal.
2. Énoncer le Théorème d’Emmy Noether sur l’isomorphisme d’anneaux.
3. Montrer qu’un anneau intègre fini est un corps.
Exercice 2.
Soient G un groupe d’élément neutre e, et H, K deux sous-groupes distincts de G d’ordre un
même nombre premier p. Montrer que H ∩ K = {e}.
Exercice 3.
Soit G un groupe. Pour x, y ∈ G, on appelle [x, y] := xyx−1 y −1 le commutateur de x et y. Le
groupe dérivé de G, noté D(G), est le sous-groupe de G engendré par les commutateurs de
G.
1.
2.
3.
4.
Montrer que tout élément de D(G) est un produit de commutateurs.
Montrer que D(G) est distingué dans G (Indication : insérer des éléments g −1 g).
Montrer que le groupe quotient G/D(G) est abélien.
Montrer que D(G) est le plus petit sous-groupe distingué de G tel que le quotient de
G par ce sous-groupe soit abélien.
Exercice 4.
Définissons Φ : Z[X] → Z par Φ(P ) := P (7).
1. Montrer que Φ est un morphisme d’anneau.
2. Montrer que Φ est surjectif.
3. Montrer que Ker(Φ) est un idéal engendré par X − 7.
4. En déduire que l’anneau quotient Z[X]/hX − 7i est isomorphe à Z.
5. En déduire que l’idéal hX − 7i est premier mais n’est pas maximal.
6. Soit I = h7, Xi l’idéal engendré par 7 et X. Montrer que Z/I est isomorphe à Z/7Z.
7. En déduire que I est maximal.
Exercice 5.
Soit A un anneau commutatif. Supposons que A contient un élément idempotent a, c’est-à-dire
a2 = a. Notons I = aA l’idéal principal engendré par a et J := {x ∈ A : ax = 0}.
1. Montrer que J est un idéal de A.
2. Déterminer I + J et I ∩ J. (Indication : x = ax + (1 − a)x.)
3. Montrer que pour tout idéal K de A, on a
(K ∩ I) + (K ∩ J) = K.
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