Université Paris-Est Créteil - Val de Marne L3 Mathématiques/L2

Universit´e Paris-Est Cr´eteil - Val de Marne L3 Math´ematiques/L2 Math-Info
Ann´ee 2016 - 2017 Structure Alg`ebrique
S. Jaffard et L. Liao
Contrˆole Continu - le 29 novembre 2016 - - Dur´ee : 1H30
-Il est recommand´e de soigner la pr´esentation et la r´eduction de votre copie -
-Documents et mat´eriel ´electronique sont interdits -
Exercice 1 (Cours)
1. Donner les d´efinitions d’un anneau, d’un id´eal premier, d’un id´eal maximal et d’un
id´eal principal.
2. ´ Enoncer le Th´eor`eme d’Emmy Noether sur l’isomorphisme d’anneaux.
3. Montrer qu’un anneau int`egre fini est un corps.
Exercice 2.
Soient Gun groupe d’´el´ement neutre e, et H, K deux sous-groupes distincts de Gd’ordre un
mˆeme nombre premier p. Montrer que H∩K={e}.
Exercice 3.
Soit Gun groupe. Pour x, y ∈G, on appelle [x, y] := xyx−1y−1le commutateur de xet y. Le
groupe d´eriv´e de G, not´e D(G), est le sous-groupe de Gengendr´e par les commutateurs de
G.
1. Montrer que tout ´el´ement de D(G) est un produit de commutateurs.
2. Montrer que D(G) est distingu´e dans G(Indication : ins´erer des ´el´ements g−1g).
3. Montrer que le groupe quotient G/D(G) est ab´elien.
4. Montrer que D(G) est le plus petit sous-groupe distingu´e de Gtel que le quotient de
Gpar ce sous-groupe soit ab´elien.
Exercice 4.
D´efinissons Φ : Z[X]→Zpar Φ(P) := P(7).
1. Montrer que Φ est un morphisme d’anneau.
2. Montrer que Φ est surjectif.
3. Montrer que Ker(Φ) est un id´eal engendr´e par X−7.
4. En d´eduire que l’anneau quotient Z[X]/hX−7iest isomorphe `a Z.
5. En d´eduire que l’id´eal hX−7iest premier mais n’est pas maximal.
6. Soit I=h7, Xil’id´eal engendr´e par 7 et X. Montrer que Z/I est isomorphe `a Z/7Z.
7. En d´eduire que Iest maximal.
Exercice 5.
Soit Aun anneau commutatif. Supposons que Acontient un ´el´ement idempotent a, c’est-`a-dire
a2=a. Notons I=aA l’id´eal principal engendr´e par aet J:= {x∈A:ax = 0}.
1. Montrer que Jest un id´eal de A.
2. D´eterminer I+Jet I∩J. (Indication : x=ax + (1 −a)x.)
3. Montrer que pour tout id´eal Kde A, on a
(K∩I)+(K∩J) = K.
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