ALGEBRE et GEOMETRIE Partie I ALGEBRE LINEAIRE Mohamed HOUIMDI

ALGEBRE et GEOMETRIE
Partie I
ALGEBRE LINEAIRE
Mohamed HOUIMDI
Version octobre 2008

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2 Mohamed HOUIMDI

Table des matières
1 Compléments sur les espaces vectoriels 7
1.1 Définitions et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Espace vactoriel sur un corps commutatif quelconque . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Conséquences de la définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.7 Espace vectoriel quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Partie génératrice-Partie libre-Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Partielibre ................................ 16
1.2.3 Base.................................... 16
1.3 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Theorème de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Exercices ..................................... 25
2 Applications linéaires-Matrices 29
2.1 Applicationslinéaires............................... 29
2.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Image et Noyau d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Calculmatriciel.................................. 33
2.2.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Matrice de passage - Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.3 Rang - Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Exercices ..................................... 42
3

TABLE DES MATIÈRES 4
3 Formes linéaires-Dualité 57
3.1 DéfinitionetExemples .............................. 57
3.2 Baseduale..................................... 58
3.3 prolongement des formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Orthogonalité ................................... 61
3.5 Bidual-Basepréduale .............................. 63
3.6 Transposée d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.7 Exercices ..................................... 66
4 Formes multilinéaires - Déterminants 73
4.1 Formesmultilinéaires............................... 73
4.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.2 Formes multilinéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Déterminants ................................... 79
4.2.1 Déterminant d’un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.2 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.3 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.4 Développement d’un déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.5 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Exercices ..................................... 88
5 Réduction des endomorphismes 93
5.1 Polynômes et endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.1 Polynômeminimal............................ 93
5.1.2 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.3 Théorème de Caylet-Hammilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.4 Théorème de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Diagonalisation.................................. 100
5.2.1 Valeurs propres-Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.2 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3 Trigonalisation - Jordanisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.1 Définition et Critère de trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.2 Endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3.3 RéduitedeJordan............................. 118
5.3.4 Méthode pratique de jordanisation d’une matrice d’ordre 3 . . . . . . . 122
5.3.5 Méthode pratique de jordanisation d’une matrice d’ordre 4 . . . . . . . 122
5.4 Application aux systèmes différenciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.1 Notations................................. 124
5.4.2 Norme d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.3 Exponentiel d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4.4 Calcul pratique de l’exponentiel d’une matrice . . . . . . . . . . . . . 127
5.4.5 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4.6 Résolution pratique d’un système différentiel . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5 Exercices ..................................... 130
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TABLE DES MATIÈRES 5
A Lemme de Zorn - Axiome du choix 149
A.1 Elément maximum et élément minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.2 Borne supérieure et borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.3 Elément maximal et élément minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.4 LeLemmedeZorn ................................ 153
A.5 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A Maple et Algèbre linéaire 157
A.1 MatricesCarrées ................................. 157
A.1.1 Déclaration d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.1.2 Matrice définie par la commande band . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.1.3 Matrice définie en blocs diagonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.1.4 Matrice sous forme de bloc de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.1.5 Matrice de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.1.6 Les caractéristiques d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.3 Systèmeslinéaires................................. 160
A.4 Vecteurs...................................... 161
A.4.1 Déclaration d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.4.2 Base d’un sous-espace engendré par une famille de vecteurs . . . . . . 161
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