09-10 - Irma

POLYN ˆ OMES. FRACTIONS RATIONNELLES
Alg`ebre K[X]. Division euclidienne
1) Soient f,gdes polynˆomes de degr´e >0. D´eterminer le degr´e de fg(X)en fonction du degr´e de fet de
celui de g.
2) Soient K un corps commutatif, fun polynˆome de degr´e n`a coefficients dans K et a0,a1,. . . ,andes
´el´ements de K deux `a deux distincts. D´emontrer que la famille f(X + a0), f(X + a1), . . . , f(X + an)est une
base de l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e 6n.
3) Soit fun polynˆome non nul de K[X]. D´emontrer que l’application de K[X] dans K[X] qui transforme un
polynˆome en le reste de sa division euclidienne par fest un projecteur de K[X], que l’on caract´erisera.
4) a) Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de X4+ 6X2par X2+ 2X −1.
b) Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de X5+ 6X3+ X2−X + 3 par X3+ 2X2−X−2.
Que remarque-t-on ? Qu’apporterait la factorisation de X3+ 2X2−X−2 ?
5) a) On consid`ere les polynˆomes r´eels f= X3−3X +2, g= X4−2X2+3X−2. D´eterminer des polynˆomes u,
vpour lesquels uf +vg est le pgcd de (f, g).
b) Mˆeme question avec les polynˆomes r´eels f= X4+ 2X3+ 5X2−4X + 7, g= X4+ X3+ 4X2−5X + 21.
6) Pour tout entier naturel nnon nul, on note fnle polynˆome Xn−1. Soient m,ndes entiers naturels non
nuls. D´eterminer le pgcd de fmet de fn.
7) ´ Etablir pour tout couple (n, p) d’entiers naturels, les relations
X
p6k6nn
kk p= 2n−pn p,X
p6k6n
(−1)n−kn
kk p=δn,p
o`u δn,p = 1 si n=p, 0 sinon.
Fonctions polynomiales. Racines, relations entre coefficients et racines
8) Soient aun nombre r´eel et fa(X) le polynˆome r´eel X3−X2−4X + a.
a)` A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur adeux des racines complexes du polynˆome fasont-elles
oppos´ees ?
b) D´eterminer les racines de fadans ce cas.
9) D´eterminer les racines du polynˆome r´eel f= 3X4−20X3+ 18X2+ 108X −189 sachant que l’une d’elles
est multiple. Pr´eciser leur ordre.
10) D´eterminer les triplets (x, y, z) de nombres complexes tels que
x+y+z=−2, x2+y2+z2= 6, x4+y4+z4= 18.
11) Soit fun polynˆome complexe de degr´e 62. D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur les
coefficients de fpour que les trois racines complexes x1,x2,x3du polynˆome X3+f(X) satisfassent `a la
relation x2
1+x2 2=x2 3(pour une indexation convenable des racines).
12) Soient a,b,cdes nombres complexes non nuls de somme nulle. On pose p=ab +bc +ca,q=abc.
D´eterminer en fonction de pet de qles valeurs de
σ(a)
σ(b)+σ(b) σ(c)+σ(c) σ(a)
pour toutes les permutations σde l’ensemble des nombres a,b,c.
13) Soit nun entier naturel non nul. ` A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur les nombres complexes a
et ble polynˆome X8+ X4+ 1 divise-t-il X8n+aX4n+b?
1

14) Soient θun nombre r´eel et fle polynˆome r´eel de degr´e n>1
n
X
k=1 n
ksin(kθ)Xk.
D´emontrer que les racines complexes de fsont r´eelles.
15) D´eterminer les polynˆomes r´eels ftels que (X + 3)f(X) = Xf(X + 1).
16) D´eterminer les polynˆomes complexes ftels que f(X2) = (X2+ 1)f(X).
17) D´eterminer les polynˆomes r´eels ftels que f(X2) = f(X)f(X + 1).
18) D´eterminer les polynˆomes r´eels non nuls ftels que f(X2+ X + 1) = f(X)f(X + 1).
Polynˆomes irr´eductibles
19) a) D´ecomposer le polynˆome X3+ 1 en produit de facteurs irr´eductibles de R[X].
b) D´ecomposer le polynˆome X6+ 1 en produit de facteurs irr´eductibles de R[X].
20) D´ecomposer X4+ 1 et X4+ X2+ 1 en produit de facteurs irr´eductibles sur R[X].
21) Pour tout nombre r´eel α, on note fαle polynˆome r´eel X2−2X cos α+ 1. Soient nun entier naturel
non nul et αun nombre r´eel. D´ecomposer le polynˆome unitaire fα(Xn) en produit de polynˆomes unitaires
irr´eductibles de R[X].
22) Soit nun entier naturel non nul. D´ecomposer le polynˆome unitaire r´eel Xn−1 (resp. Xn+ 1) en produit
de polynˆomes r´eels unitaires irr´eductibles.
Polynˆomes d´eriv´es. Formule de Taylor
23) Pour qu’un polynˆome r´eel fde degr´e >1 soit scind´e, il faut que f0le soit.
24) Soient fun polynˆome r´eel de degr´e n > 0 dont toutes les racines sont r´eelles, λet ades nombres r´eels
tels que λ < 0 ou λ>n. V´erifier que les racines du polynˆome g= (X −a)f0−λf sont toutes r´eelles.
25) D´eterminer les couples (f, g) de polynˆomes r´eels `a une ind´etermin´ee X tels que f(X)2+(1−X2)g(X)2= 1.
En d´eduire une expression simple des coefficients des polynˆomes de Tchebychef.
26) a) D´eterminer le reste de la division euclidienne de Xnpar X2+ 1.
b) D´eterminer le reste de la division euclidienne de Xnpar (X2+ 1)2. Retrouver le r´esultat de la question
pr´ec´edente.
27) Soit nun entier naturel. Calculer le reste de la division euclidienne de Xnpar X4+ 2X3−3X2−4X + 4.
28) Soit gun polynˆome unitaire `a une ind´etermin´ee `a ´el´ements dans un surcorps commutatif K de Q. On
le suppose scind´e : g=Qr
k=1(X −ak)µk, les ´el´ements a1,a2,. . . ,arde K ´etant deux `a deux distincts et les
entiers naturels µ1,µ2,. . . ,µr´etant tous non nuls. Pour tout entier h, on pose gh=Qk6=h(X −ak)µk.
a) D´emontrer qu’il existe des polynˆomes u1,u2,. . . ,urtels que Pr
h=1 uhgh= 1 et que l’on peut les choisir
de sorte que l’on ait deg(uh)< µhpour tout entier h.
b) Soit fun polynˆome `a coefficients dans K. Exprimer le quotient et le reste de la division euclidienne de f
par gen fonction des ´el´ements f(n)(ah), u(n)
h(ah) de K (1 6h6r,n∈N). (Utiliser la formule de Taylor.)
29) D´eterminer le polynˆome r´eel fde degr´e 63 tel que f(−1) = 0, f(0) = 1, f(1) = 2, f0(1) = 3.
Corps K(X) des fractions rationnelles
30) D´eterminer les z´eros et les pˆoles de la fraction rationnelle complexe
f=X5−4X3+ 2X2+ 3X −2
X5−X4−9X3+ 13X2+ 8X −12.
Pr´eciser leur ordre de multiplicit´e.
2

31) Soit nun entier naturel non nul. Simplifier
X
ω
ω2
X2+ω2
o`u ωd´ecrit l’ensemble des racines n-`emes de l’unit´e.
32) Soient nun entier naturel non nul et Unle groupe multiplicatif des racines complexes n-`emes de l’unit´e.
D´eterminer la repr´esentation irr´eductible de la fraction rationnelle
fn(X) = X
ω∈Un
ωX+1
ω2X2+ωX+1.
D´ecomposition en ´el´ements simples d’une fraction rationnelle
33) Soit fun polynˆome scind´e. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle f0/f en fonction des
racines de f.
34) D´ecomposer en ´el´ements simples complexes les fractions rationnelles suivantes.
a)f(X) = 2X/(X2−4), g(X) = (2X + 1)/(X3−3X + 2).
b)h(X) = X2+ X
(X2+ 1)(X2−X + 1)2.
c)un(X) = nX/(Xn−1) et vn(X) = nX/(Xn−1)2o`u nest un entier naturel non nul.
35) Soit fun polynˆome de degr´e nayant nracines simples x1,x2,. . . ,xn. Exprimer les fractions rationnelles
n
X
k=1
1
(X −xk)2et X
16h<k6n
1
(X −xh)(X −xk)
en fonction de fet de ses polynˆomes d´eriv´es.
36) Soit fun polynˆome de degr´e n>2 ayant nracines simples x1,x2,. . . ,xn.´ Etablir la relation
1
f0(x1)+1 f0(x2)+· · · +1 f0(xn)= 0.
37) Soient s,pdes nombres complexes et fun polynˆome `a coefficients complexes. D´eterminer le reste de la
division euclidienne de fpar X2−sX+p. (Utiliser la d´ecomposition en ´el´ements simples de f/(X2−sX+p).)
38) a) Soit fun polynˆome complexe ayant au moins deux racines distinctes. Si f00 divise falors les racines
de fsont simples. (Apr`es l’avoir d´emontr´e, on pourra se servir du th´eor`eme de Gauß-Lucas : les racines de f0
appartiennent `a l’enveloppe convexe des racines de f.)
b) Soit fun polynˆome r´eel ayant au moins deux racines distinctes. Si f00 divise falors fest scind´e et ses
racines sont simples.
39) Les d´eriv´ees d’ordre >0 de la fonction arc-tangente sont rationnelles. Expliciter les coefficients de leur
num´erateur (quand elles sont ´ecrites sous forme irr´eductible).
40) On note u(X) la fraction rationnelle complexe X+X−1. Pour tout entier naturel n, on pose un(X) = u(Xn).
a) Calculer les fractions rationnelles u0,u1,u2,u3.
b) V´erifier que pour tout entier naturel n, les familles (1, u, u2, . . . , un) et (u0, u1, . . . , un) engendrent le mˆeme
sous-espace de l’espace vectoriel complexe des fractions rationnelles complexes C(X).
c) D´emontrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynˆome fn`a coefficients r´eels tel que
un=fn(u) et que fnest un polynˆome de degr´e n, unitaire si nest non nul. Calculer les polynˆomes f0,f1,
f2,f3.
d) On suppose nnon nul. D´eterminer les racines de fn.
e) On suppose nnon nul. D´ecomposer la fraction rationnelle n/fnen ´el´ements simples.
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