09-10 - Irma

POLYNÔMES. FRACTIONS RATIONNELLES
Algèbre K[X]. Division euclidienne
1) Soient f , g des polynômes de degré > 0. Déterminer le degré de f g(X) en fonction du degré de f et de
celui de g.
2) Soient K un corps commutatif, f un polynôme de degré n à coefficients dans K et a0 , a1 , . . ., an des
éléments de K deux à deux distincts. Démontrer que la famille f (X + a0 ), f (X + a1 ), . . . , f (X + an ) est une
base de l’espace vectoriel des polynômes de degré 6 n.
3) Soit f un polynôme non nul de K[X]. Démontrer que l’application de K[X] dans K[X] qui transforme un
polynôme en le reste de sa division euclidienne par f est un projecteur de K[X], que l’on caractérisera.
4) a) Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de X4 + 6X2 par X2 + 2X − 1.
b) Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de X5 + 6X3 + X2 − X + 3 par X3 + 2X2 − X − 2.
Que remarque-t-on ? Qu’apporterait la factorisation de X3 + 2X2 − X − 2 ?
5) a) On considère les polynômes réels f = X3 − 3X + 2, g = X4 − 2X2 + 3X − 2. Déterminer des polynômes u,
v pour lesquels uf + vg est le pgcd de (f, g).
b) Même question avec les polynômes réels f = X4 + 2X3 + 5X2 − 4X + 7, g = X4 + X3 + 4X2 − 5X + 21.
6) Pour tout entier naturel n non nul, on note fn le polynôme Xn − 1. Soient m, n des entiers naturels non
nuls. Déterminer le pgcd de fm et de fn .
7) Établir pour tout couple (n, p) d’entiers naturels, les relations
X nk n
= 2n−p
,
k
p
p
X
p6k6n
(−1)n−k
p6k6n
n k
= δn,p
k
p
où δn,p = 1 si n = p, 0 sinon.
Fonctions polynomiales. Racines, relations entre coefficients et racines
8) Soient a un nombre réel et fa (X) le polynôme réel X3 − X2 − 4X + a.
a) À quelle condition nécessaire et suffisante sur a deux des racines complexes du polynôme fa sont-elles
opposées ?
b) Déterminer les racines de fa dans ce cas.
9) Déterminer les racines du polynôme réel f = 3X4 − 20X3 + 18X2 + 108X − 189 sachant que l’une d’elles
est multiple. Préciser leur ordre.
10) Déterminer les triplets (x, y, z) de nombres complexes tels que
x + y + z = −2,
x2 + y 2 + z 2 = 6,
x4 + y 4 + z 4 = 18.
11) Soit f un polynôme complexe de degré 6 2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les
coefficients de f pour que les trois racines complexes x1 , x2 , x3 du polynôme X3 + f (X) satisfassent à la
relation x21 + x22 = x23 (pour une indexation convenable des racines).
12) Soient a, b, c des nombres complexes non nuls de somme nulle. On pose p = ab + bc + ca, q = abc.
Déterminer en fonction de p et de q les valeurs de
σ(c)
σ(a) σ(b)
+
+
σ(b)
σ(c) σ(a)
pour toutes les permutations σ de l’ensemble des nombres a, b, c.
13) Soit n un entier naturel non nul. À quelle condition nécessaire et suffisante sur les nombres complexes a
et b le polynôme X8 + X4 + 1 divise-t-il X8n + aX4n + b ?
1
14) Soient θ un nombre réel et f le polynôme réel de degré n > 1
n X
n
k=1
k
sin(kθ)Xk .
Démontrer que les racines complexes de f sont réelles.
15) Déterminer les polynômes réels f tels que (X + 3)f (X) = Xf (X + 1).
16) Déterminer les polynômes complexes f tels que f (X2 ) = (X2 + 1)f (X).
17) Déterminer les polynômes réels f tels que f (X2 ) = f (X)f (X + 1).
18) Déterminer les polynômes réels non nuls f tels que f (X2 + X + 1) = f (X)f (X + 1).
Polynômes irréductibles
19) a) Décomposer le polynôme X3 + 1 en produit de facteurs irréductibles de R[X].
b) Décomposer le polynôme X6 + 1 en produit de facteurs irréductibles de R[X].
20) Décomposer X4 + 1 et X4 + X2 + 1 en produit de facteurs irréductibles sur R[X].
21) Pour tout nombre réel α, on note fα le polynôme réel X2 − 2X cos α + 1. Soient n un entier naturel
non nul et α un nombre réel. Décomposer le polynôme unitaire fα (Xn ) en produit de polynômes unitaires
irréductibles de R[X].
22) Soit n un entier naturel non nul. Décomposer le polynôme unitaire réel Xn − 1 (resp. Xn + 1) en produit
de polynômes réels unitaires irréductibles.
Polynômes dérivés. Formule de Taylor
23) Pour qu’un polynôme réel f de degré > 1 soit scindé, il faut que f 0 le soit.
24) Soient f un polynôme réel de degré n > 0 dont toutes les racines sont réelles, λ et a des nombres réels
tels que λ < 0 ou λ > n. Vérifier que les racines du polynôme g = (X − a)f 0 − λf sont toutes réelles.
25) Déterminer les couples (f, g) de polynômes réels à une indéterminée X tels que f (X)2 +(1−X2 )g(X)2 = 1.
En déduire une expression simple des coefficients des polynômes de Tchebychef.
26) a) Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2 + 1.
b) Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par (X2 + 1)2 . Retrouver le résultat de la question
précédente.
27) Soit n un entier naturel. Calculer le reste de la division euclidienne de Xn par X4 + 2X3 − 3X2 − 4X + 4.
28) Soit g un polynômeQunitaire à une indéterminée à éléments dans un surcorps commutatif K de Q. On
r
le suppose scindé : g = k=1 (X − ak )µk , les éléments a1 , a2 , . . . , ar de K étant deux Q
à deux distincts et les
entiers naturels µ1 , µ2 , . . . , µr étant tous non nuls. Pour tout entier h, on pose gh = k6=h (X − ak )µk .
Pr
a) Démontrer qu’il existe des polynômes u1 , u2 , . . . , ur tels que h=1 uh gh = 1 et que l’on peut les choisir
de sorte que l’on ait deg(uh ) < µh pour tout entier h.
b) Soit f un polynôme à coefficients dans K. Exprimer le quotient et le reste de la division euclidienne de f
(n)
par g en fonction des éléments f (n) (ah ), uh (ah ) de K (1 6 h 6 r, n ∈ N). (Utiliser la formule de Taylor.)
29) Déterminer le polynôme réel f de degré 6 3 tel que f (−1) = 0, f (0) = 1, f (1) = 2, f 0 (1) = 3.
Corps K(X) des fractions rationnelles
30) Déterminer les zéros et les pôles de la fraction rationnelle complexe
f=
X5
X5 − 4X3 + 2X2 + 3X − 2
.
− X4 − 9X3 + 13X2 + 8X − 12
Préciser leur ordre de multiplicité.
2
31) Soit n un entier naturel non nul. Simplifier
X
ω
X2
ω2
+ ω2
où ω décrit l’ensemble des racines n-èmes de l’unité.
32) Soient n un entier naturel non nul et Un le groupe multiplicatif des racines complexes n-èmes de l’unité.
Déterminer la représentation irréductible de la fraction rationnelle
X
fn (X) =
ω∈Un
ωX + 1
.
+ ωX + 1
ω 2 X2
Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle
33) Soit f un polynôme scindé. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle f 0 /f en fonction des
racines de f .
34) Décomposer en éléments simples complexes les fractions rationnelles suivantes.
a) f (X) = 2X/(X2 − 4), g(X) = (2X + 1)/(X3 − 3X + 2).
X2 + X
b) h(X) =
.
2
(X + 1)(X2 − X + 1)2
c) un (X) = nX/(Xn − 1) et vn (X) = nX/(Xn − 1)2 où n est un entier naturel non nul.
35) Soit f un polynôme de degré n ayant n racines simples x1 , x2 , . . . , xn . Exprimer les fractions rationnelles
n
X
k=1
1
(X − xk )2
et
X
16h<k6n
1
(X − xh )(X − xk )
en fonction de f et de ses polynômes dérivés.
36) Soit f un polynôme de degré n > 2 ayant n racines simples x1 , x2 , . . . , xn . Établir la relation
1
f 0 (x1 )
+
1
f 0 (x2 )
+ ··· +
1
f 0 (xn )
= 0.
37) Soient s, p des nombres complexes et f un polynôme à coefficients complexes. Déterminer le reste de la
division euclidienne de f par X2 − sX + p. (Utiliser la décomposition en éléments simples de f /(X2 − sX + p).)
38) a) Soit f un polynôme complexe ayant au moins deux racines distinctes. Si f 00 divise f alors les racines
de f sont simples. (Après l’avoir démontré, on pourra se servir du théorème de Gauß-Lucas : les racines de f 0
appartiennent à l’enveloppe convexe des racines de f .)
b) Soit f un polynôme réel ayant au moins deux racines distinctes. Si f 00 divise f alors f est scindé et ses
racines sont simples.
39) Les dérivées d’ordre > 0 de la fonction arc-tangente sont rationnelles. Expliciter les coefficients de leur
numérateur (quand elles sont écrites sous forme irréductible).
40) On note u(X) la fraction rationnelle complexe X+X−1 . Pour tout entier naturel n, on pose un (X) = u(Xn ).
a) Calculer les fractions rationnelles u0 , u1 , u2 , u3 .
b) Vérifier que pour tout entier naturel n, les familles (1, u, u2 , . . . , un ) et (u0 , u1 , . . . , un ) engendrent le même
sous-espace de l’espace vectoriel complexe des fractions rationnelles complexes C(X).
c) Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynôme fn à coefficients réels tel que
un = fn (u) et que fn est un polynôme de degré n, unitaire si n est non nul. Calculer les polynômes f0 , f1 ,
f2 , f3 .
d) On suppose n non nul. Déterminer les racines de fn .
e) On suppose n non nul. Décomposer la fraction rationnelle n/fn en éléments simples.
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