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POLYN ˆ
OMES. FRACTIONS RATIONNELLES
Alg`ebre K[X]. Division euclidienne
1) Soient f,gdes polynˆomes de degr´e >0. D´eterminer le degr´e de fg(X)en fonction du degr´e de fet de
celui de g.
2) Soient K un corps commutatif, fun polynˆome de degr´e n`a coefficients dans K et a0,a1,. . . ,andes
´el´ements de K deux `a deux distincts. D´emontrer que la famille f(X + a0), f(X + a1), . . . , f(X + an)est une
base de l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e 6n.
3) Soit fun polynˆome non nul de K[X]. D´emontrer que l’application de K[X] dans K[X] qui transforme un
polynˆome en le reste de sa division euclidienne par fest un projecteur de K[X], que l’on caract´erisera.
4) a) Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de X4+ 6X2par X2+ 2X −1.
b) Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de X5+ 6X3+ X2−X + 3 par X3+ 2X2−X−2.
Que remarque-t-on ? Qu’apporterait la factorisation de X3+ 2X2−X−2 ?
5) a) On consid`ere les polynˆomes r´eels f= X3−3X +2, g= X4−2X2+3X−2. D´eterminer des polynˆomes u,
vpour lesquels uf +vg est le pgcd de (f, g).
b) Mˆeme question avec les polynˆomes r´eels f= X4+ 2X3+ 5X2−4X + 7, g= X4+ X3+ 4X2−5X + 21.
6) Pour tout entier naturel nnon nul, on note fnle polynˆome Xn−1. Soient m,ndes entiers naturels non
nuls. D´eterminer le pgcd de fmet de fn.
7) ´
Etablir pour tout couple (n, p) d’entiers naturels, les relations
X
p6k6nn
kk
p= 2n−pn
p,X
p6k6n
(−1)n−kn
kk
p=δn,p
o`u δn,p = 1 si n=p, 0 sinon.
Fonctions polynomiales. Racines, relations entre coefficients et racines
8) Soient aun nombre r´eel et fa(X) le polynˆome r´eel X3−X2−4X + a.
a)`
A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur adeux des racines complexes du polynˆome fasont-elles
oppos´ees ?
b) D´eterminer les racines de fadans ce cas.
9) D´eterminer les racines du polynˆome r´eel f= 3X4−20X3+ 18X2+ 108X −189 sachant que l’une d’elles
est multiple. Pr´eciser leur ordre.
10) D´eterminer les triplets (x, y, z) de nombres complexes tels que
x+y+z=−2, x2+y2+z2= 6, x4+y4+z4= 18.
11) Soit fun polynˆome complexe de degr´e 62. D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur les
coefficients de fpour que les trois racines complexes x1,x2,x3du polynˆome X3+f(X) satisfassent `a la
relation x2
1+x2
2=x2
3(pour une indexation convenable des racines).
12) Soient a,b,cdes nombres complexes non nuls de somme nulle. On pose p=ab +bc +ca,q=abc.
D´eterminer en fonction de pet de qles valeurs de
σ(a)
σ(b)+σ(b)
σ(c)+σ(c)
σ(a)
pour toutes les permutations σde l’ensemble des nombres a,b,c.
13) Soit nun entier naturel non nul. `
A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur les nombres complexes a
et ble polynˆome X8+ X4+ 1 divise-t-il X8n+aX4n+b?
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