ANNEAUX CORPS POLYNOMES 4.1 Savoir Faire

Chapitre 4
ANNEAUX CORPS POLYNOMES
4.1 Savoir Faire
Exercice 4.1 Montrer les congruences suivantes :
92n−1+ 8n+1 ≡0 [73]
16n−15n−1≡0 [225]
106n+ 103n−2≡0 [111]
Exercice 4.2 D´eterminer le reste modulo 7 de 10(98)
Exercice 4.3 1. D´eterminer des entiers uet vtels que 7u+ 11v= 1.
2. Chercher une solution particuli`ere dans Zdes syst`emes suivants :
n≡1 [7]
n≡0 [11] ,n≡0 [7] n≡1 [11] ,n≡5 [7] n≡6 [11]
3. R´esoudre dans Zle dernier syst`eme.
Exercice 4.4 R´esoudre par une m´ethode analogue :
n≡3 [17]
n≡4 [11]
n≡5 [6]
Exercice 4.5 1. R´esoudre l’´equation x2−4x+ 1 = 0 dans Z/11Z
2. R´esoudre dans (Z/12Z)2le syst`eme
5x+ 2y= 3
2x+ 4y= 6
Exercice 4.6 D´eterminer le groupe des inversibles de Z/8Z. Ce groupe est-il cyclique ?
Exercice 4.7 On pose :
Q[√7] = na+b√7,(a, b)∈Q2o
1. Montrer que Q[√7] est un corps.
2. D´eterminer tous les morphismes de corps de Q[√7] dans lui-mˆeme.
Exercice 4.8 1. Factoriser dans R[X] le polynˆome X4+X2−2 en produit de polynˆomes irr´eductibles.
2. Factoriser dans C[X] puis dans R[X] les polynˆomes suivants en produit de polynˆomes irr´eductibles :
X5−1, ,
n−1
X
k=0
Xk
3. Trouver le reste de la division euclidienne de (cos α+Xsin α)npar X2+ 1
Exercice 4.9 Montrer que le polynˆome
Pn=Xn+1 cos(n−1)ϕ−Xncos nϕ −Xcos ϕ+ 1
est divisible par X2−2Xcos ϕ+ 1
Exercice 4.10 D´eterminer tous les polynˆomes tels que
P(2) = 6; P0(2) = 1; P00(2) = 4; ∀n≥3, P (n)(2) = 0
13

Exercice 4.11 Soit x1, x2, x3les trois racines complexes du polynˆome
X3+pX +q
1. Donner les relations entre les coefficients pet qet les racines x1, x2, x3.
2. Trouver le polynˆome normalis´e de degr´e 3 dont les racines sont x1+x2, x1+x3, x2+x3.
Exercice 4.1 1. D´ecomposer en ´el´ements simples dans C(X) les fractions suivantes :
X
X3−1,1 Xn−1
2. D´ecomposer en ´el´ements simples dans R(X) :
1
X3+ 1,1 X4+X2+ 1
On commencera par d´ecomposer le d´enominateur en produit de poduit de polynˆomes irr´eductibles
dans R[X].
Exercice 4.12 Soit
F(X) = 1
(X3−1)3
1. Ecrire un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de F(X)(X−1)3au voisinage de 1.
2. D´eterminer la partie polaire relative au pˆole 1.
3. En remarquant que F(jX) = F(j2X) = F(X) d´eterminer la d´ecomposition de Fen ´el´ements
simples.
4.2 Les Classiques
Exercice 4.13 Anneau des entiers de Gauss
On pose :
Z[i] = a+ib, ;a∈Z,;b∈Z
1. Montrer que Z[i] est un sous-anneau de C.
2. Soit Ul’ensemble des ´el´ements inversibles de Z[i]. Montrer que, pour tout z∈Z[i] on a :
z∈U⇔ |z|= 1
3. D´eterminer U. Est-il isomorphe `a un groupe connu ?
Exercice 4.14 Anneau des matrices `a coefficients dans Z
Soit Mn(Z) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients dans Z.
1. Montrer que Mn(Z) est un anneau.
2. Soit Ul’ensemble des ´el´ements inversibles de Mn(Z). Montrer que pour tout M∈Mn(Z)ona:
M∈U⇔(det(M)) = 1
3. D´eterminer U.
Rappel : si M∈Mn(R) alors Mest inversible (dans Mn(R)) si et seulement si son d´eterminant est
non nul et dans ce cas l’inverse est 1
det(M)
tcom(M)
Exercice 4.15 Nombres de Carmichael
On appelle nombre de Carmichael (ou pseudo-premier) tout entier nnon premier tel que
∀a∈Z, an≡a[n]
.
14

1. Montrer que ∀a∈Z, a561 ≡a[3],[11],[17].
2. Montrer que 561 est un nombre de Carmichael.
561 est le plus petit nombre de Carmichael. Ces nombres sont rares mais il en existe une infinit´e.
Exercice 4.16 Th´eor`eme de Wilson
1. Montrer que si pest premier alors
(p−1)! ≡ −1 [p]
Lorsque p≥3, on pourra quand cela est possible regrouper chaque classe avec son inverse dans
le produit 12....p −1 de tous les ´el´ements non nul de Z/pZ.
2. La r´eciproque est-elle vraie ?
Exercice 4.17 Soit pun nombre premier, p≥3. Dans le produit 12....p −1, en regroupant les classes
xet ytelles que y=−x, montrer que :
−1 est un carr´e dans Z/pZ⇔p≡1[4]
Exercice 4.18 Caract´erisation des carr´es dans (Z/pZ)∗
Soit pun nombre premier diff´erent de 2
On note G= (Z/pZ)∗. On consid`ere le morphisme de groupe ϕde Gdans Gd´efini par :
x→x2
1. D´eterminer le noyau de ϕ.
2. D´eterminer le cardinal de l’image de ϕ. On pourra utiliser l’exercice 3.12.
3. Montrer que les ´el´ements de l’image de ϕsont racines du polynˆome P=Xp−1
2−1.
4. En utilisant le fait que le polynˆome P`a coefficient dans le corps Z/pZa au plus p−1
2racines.
Montrer que pour tout entier relatif anon divisible par p:
ap−1
2≡1 [p]⇔aest le carr´e d’un entier modulo p
Exercice 4.2 Morphisme de corps de Rdans lui mˆeme
On veut montrer que l’identit´e est le seul morphismme de corps de Rdans lui mˆeme.
Soit ϕun morphisme de corps de Rdans lui mˆeme.
1. En ´ecrivant un nombre positif comme un carr´e, montrer que ∀h > 0, ϕ(h)≥0
2. Montrer que ϕest croissant.
3. Conclure.
Exercice 4.19 Tout sous-groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique
Soit Kun corps commutatif fini (tout corps fini est commutatif). Soit rl’exposant de K∗, on a prouv´e
exercice 3.14 que K∗poss`ede un ´el`em´ent d’ordre r.
En utilisant le polynˆome Xr−1, montrer que :
K∗est cyclique.
Exercice 4.20 Nombres de Fermat
On appelle nombre de Fermat les entiers Fn= 22n+ 1 avec n∈N. Montrer que si n6=malors
Fn∧Fm= 1
Exercice 4.21 Les racines de P0sont dans l’enveloppe convexe des racines de P
Soit P∈C[X] de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 2.
1. D´ecomposer la fraction rationnelle P0/P en ´el ´ements simples.
15

2. Montrer que les racines de P0s’´ecrivent comme barycentre `a coefficients positifs des racines de
P.
Exercice 4.22 Polynˆomes cyclotomiques
Soit n∈N∗, on pose Unl’ensemble des racine ni`eme de 1.
On appelle racine primitive ni`eme de 1 tout g´en´erateur de Unet on note Pnl’ensemble des racines
primitives ni`eme de 1.
On appelle polynˆome cyclotomique d’ordre n
φn=Y
a∈Pn
(X−a)
1. Calculer φnpour n≤9, montrer qu’ils sont `a coefficients entiers.
2. Montrer que
Xn−1 = Y
d|n
φd
3. Prouver par r´ecurrence que ∀n, φn∈Z[X]
On montre que les polynˆomes cyclotomiques sont irr´eductibles dans Q[X].
4.3 Pour aller plus loin
Exercice 4.23 Sur R[X] on d´efinit la relation d’´equivalence :
PRQ⇔(P−Q)∈(X2+ 1)
On note R[X]/(X2+ 1) l’ensemble des classes d’´equivalence.
1. Montrer que l’on peut munir R[X]/(X2+ 1) d’une structure de corps.
2. Montrer que R[X]/(X2+ 1) est isomorphe `a C.
Exercice 4.24 Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4k−1
Exercice 4.25 Soit x∈N\{0,1}, soit (p, q)∈N2tels que d=p∧q, montrer que
(xp−1) ∧(xp−1) = (xd−1)
Exercice 4.26 Symbole de Legendre : Soit pun nombre premier. On note
a
p= 0 si a≡0 [p]
a
p= 1 sinon et si ap−1
2≡1 [p]
a
p=−1 sinon ap−1
2≡ −1 [p]
1. Montrer que l’on a :
∀(a, b)∈Z2,a
pb p=ab p
2. Soit aun entier relatif non divisible par p. Montrer que l’application
x7→ ax
est une permutation de Z/pZet calculer sa signature.
Exercice 4.27 R´esoudre dans Z/11Zl’´equation x2+y2=z2
Exercice 4.28 Trouver tous les polynˆomes P∈C[X] tels que P0divise P.
16

Exercice 4.29 Trouver tous les polynomes de C[X] tels que : P(X2) = P(X−1)P(X+ 1)
Exercice 4.30 Soient (P, Q)∈C[X]2tels que : ∀z∈C,|P(z)|=|Q(z)|.
Montrer qu’il existe u∈C,|u|= 1 tel que P=uQ.
Exercice 4.31 Soit P=Pn
k=0 akXk∈R[X] dont les racines sont r´eelles simples.
1. Montrer que : ∀x∈R, on a P(x)P00(x)≤P02(x).
2. Montrer que : ∀k∈ {1, ..., n −1}, ak−1ak+1 ≤a2
k
Exercice 4.32 Soit P∈R[X]
Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
i)∀x∈R, P (x)≥0
ii)∃A∈R[X],∃B∈R[X], P =A2+B2
Exercice 4.33 Monrer que les racines distinctes de 1 du polynˆome
P=nXn−Xn−1−Xn−2−...... −X−1
sont de module inf´erieur `a 1 et que toutes les racines de Psont simples (On pourra consid´erer le
polynˆome Q= (X−1)P)
17