MP1 Janson 2016/2017 Feuille d`exercices : Polynômes et fractions

MP1 Janson
2016/2017
Feuille d’exercices : Polynômes et fractions rationnelles
Exercice 1 (CCP) Soit P ∈ K[X] et soient (a, b) ∈ K2 . Quel est le reste de la division euclidienne de P par (X −
a)(X − b). On pourra distinguer les cas a = b et a 6= b ?
Donner le reste de la division euclidienne de P (X) = (X sin θ + cos θ)n par X 2 + 1.
Exercice 2 (TPE) Soit P ∈ K[X]. Montrer que X − P (X) divise P (P (X)) − X. (On pourra d’abord montrer qu’il
divise P (P (X)) − P (X)).
Exercice 3 (CCP)
1. Décomposer sur R[X] puis sur C[X] les polynômes P = 3X 4 −9X 3 +7X 2 −3X +2 et Q = X 4 −3X 3 +3X 2 −3X +2
(on pourra calculer les valeurs en 1 et 2)
2. En déduire le PGCD et le PPCM de P et Q.
Exercice 4 (CCP)
1. Décomposer sur C[X] les polynômes P = 2X 4 − 3X 2 + 1 et Q = X 3 + 3X 2 + 3X + 2
2. En déduire qu’il existe (U, V ) ∈ (R[X])2 tels que P U + QV = 1. Comment détermine-t-on de tels polynômes ?
Exercice 5 (CCP) Factoriser en produit de polynômes irréductibles dans C[X] puis dans R[X] :
1. X 5 + 1
6
3. X 9 + X 6 + X 3 + 1
4
4. X 2n − 2X n cos(nθ) + 1 (où θ ∈ R, n ∈ N∗ )
2
2. X + 2X + 2X + 1
Exercice 6 (Mines) Soit P = X 3 − 3X + 1. Montrer que P admet trois racines réelles rationnelles. Montrer qu’aucune
de ces racines n’est annulée par un polynôme de Q[X] de degré 2.
Exercice 7 (Mines) Déterminer le reste de la division euclidienne de (X − 3)2n + (X + 2)n − 2 par (X − 3)3 .
Exercice 8 (Mines et petites Mines) Calculer
n−1
Y
1
k=1
1− e
2ikπ
n
et
n−1
Y
sin
k=1
n
kπ
n
.
n
Exercice 9 (Mines) Soient n ∈ N∗ et Pn (X) = (1 + iX) − (1 − iX) .
1. Déterminer, selon la parité de n, le degré de P .
2. Déterminer les racines de P dans les deux cas : n pair et n impair et en déduire la décomposition de P en
polynômes irréductibles de C[X].
3. En déduire, lorsque n est impair, la valeur de
n−1
X
tan(
k=0
kπ
).
n
Exercice 10 Soient m, n ∈ N∗ . Notons (q, r) le couple quotient/reste de la division euclidienne de m par n.
1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de X m − 1 par X n − 1.
2. En déduire une C.N.S. portant sur n et m pour que X n − 1 divise X m − 1 dans C[X].
3. Quel est le PGCD de X n − 1 et X m − 1 ?
Exercice 11 (Mines) Soit P ∈ C[X] non nul tel que P (X 2 ) = P (X − 1)P (X).
1. Montrer que toute racine de P est de module 1.
2. Déterminer P .
Exercice 12 (Mines-Centrale)
1. Déterminer les polynômes P tels que P 0 divise P .
2. Déterminer les polynômes P tels que P divise XP 0 .
Exercice 13 (Mines) Soit P ∈ R[X].
1. Montrer que si P est scindé à racines simples alors P 0 est scindé à racines simples.
1
2. Montrer que si P est scindé sur R alors P 0 est scindé sur R.
On suppose de nouveau P est scindé à racines simples (de racines a1 < . . . < an )
Pour α ∈ R∗+ , montrer que αP + P 0 a au moins n − 1 racines distinctes.
Montrer que XP + P 0 a au moins n − 1 racines simples.
Soit Q(X) = (X 2 + 1)P (X)P 0 (X) + X P 2 (X) + P 02 (X) ; montrer que P a au moins 2n − 1 racines distinctes
sauf si Q(1) = 0 (on pourra factoriser Q).
Exercice 14 Soit (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Zn+1 . On considère le polynôme P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn .
p
1. Montrer que si r = (avec p ∧ q = 1) est racine de l’équation alors q|an et p|a0 .
q
2. Que peut-on conclure si le polynôme P est unitaire (i.e. an = 1) ?
p
3. Si r = (avec p ∧ q = 1) est racine de l’équation montrer que : ∀m ∈ Z, p − mq|P (m).
q
4. Donner une décomposition en facteurs irréductibles sur Q[X] du polynôme 2X 3 + 5X 2 − 8X − 12.
Exercice 15 (Mines) Soit P ∈ R[X] un polynôme scindé.
2
1. Montrer que x 7→ (P 0 (x)) − P (x)P 00 (x) est de signe constant sur R.
n
X
2. Si P =
ak X k , montrer que pour tout 1 ≤ k ≤ n − 1, ak−1 ak+1 ≤ a2k .
k=0
Exercice 16 Soit P ∈ C[X], un polynôme de degré n. On note x1 , x2 , . . . , xn ses racines. Exprimer à l’aide de P et
n
n
X
X
X
1
1
1
,
.
,
de ses dérivées :
2
X
−
x
(X
−
x
)
(X
−
x
)(X
− xl )
i
i
k
i=1
i=1
k6=l
Exercice 17 (Mines) Soit P ∈ C[X], un polynôme scindé à racines simples. On note x1 , x2 , . . . , xn ses racines. On
suppose que P ne s’annule pas en 0.
n
X
1
1
1. Montrer que :
=−
.
0
x P (xi )
P (0)
i=1 i
n
X
Q(xi )
.
2. Soit Q ∈ C[X] tel que deg Q ≤ n − 2. Calculer
0 (x )
P
i
i=1
Exercice 18 (Centrale) Soit P ∈ C[X], un polynôme scindé à racines simples. On note x1 , x2 , . . . , xn ses racines.
n
X
P 00 (xi )
Montrer que :
= 0.
P 0 (xi )
i=1
Exercice 19 (Mines) Soit P ∈ C[X] unitaire de degré inférieur ou égal à n.
n
X
P (k)
P (X)
Q
. On pourra utiliser Qn
1. Calculer
.
j6=k (k − j)
k=0 (X − k)
k=0
2. En déduire qu’il existe k ∈ [[0, n]] tel que |P (k)| ≥
n!
.
2n
Exercice 20 (Mines-Centrale) Soit P ∈ C[X], un polynôme de degré n. On note x1 , x2 , . . . , xn ses racines. Soit z une
racine du polynôme dérivé P 0 (différente des xj ). Montrer que z est barycentre à coefficients positifs de x1 , x2 , . . . , xn .
Exercice 21 (CCP) Soient P et Q deux polynômes de degrés respectifs p et q.
1. Montrer que si P et Q sont premiers entre eux alors φ, qui à (U, V ) ∈ Rp−1 [X] × Rq−1 [X] associe P U + QV , est
un isomorphisme sur Rp+q−1 [X] .
2. Montrer qu’alors il existe un unique couple (U0 , V0 ) ∈ Rp−1 [X] × Rq−1 [X] tel que P U0 + QV0 = 1.
3. Montrer que si φ est un isomorphisme alors P et Q sont premiers entre eux.
Exercice 22 (Centrale) * Soit Γ = P ∈ R[X], ∃ (A, B) ∈ R[X]2 , P = A2 + B 2 .
1. Montrer que Γ est stable par produit.
2. Montrer l’équivalence : ∀P ∈ R[X], (P ∈ Γ) ⇔ (∀x ∈ R, P (x) ≥ 0).
3. Montrer l’équivalence : ∀P ∈ R[X], (∀x ∈ R+ , P (x) ≥ 0) ⇔ (∃(A, B) ∈ Γ2 , P = A + XB).
2