MP1 Janson 2016/2017 Feuille d`exercices : Polynômes et fractions

MP1 Janson
2016/2017
Feuille d’exercices : Polynˆomes et fractions rationnelles
Exercice 1 (CCP) Soit P∈K[X] et soient (a, b)∈K2. Quel est le reste de la division euclidienne de Ppar (X−
a)(X−b).On pourra distinguer les cas a=bet a6=b?
Donner le reste de la division euclidienne de P(X) = (Xsin θ+ cos θ)npar X2+ 1.
Exercice 2 (TPE) Soit P∈K[X]. Montrer que X−P(X) divise P(P(X)) −X. (On pourra d’abord montrer qu’il
divise P(P(X)) −P(X)).
Exercice 3 (CCP)
1. D´ecomposer sur R[X] puis sur C[X] les polynˆomes P= 3X4−9X3+7X2−3X+2 et Q=X4−3X3+3X2−3X+2
(on pourra calculer les valeurs en 1 et 2)
2. En d´eduire le PGCD et le PPCM de Pet Q.
Exercice 4 (CCP)
1. D´ecomposer sur C[X] les polynˆomes P= 2X4−3X2+ 1 et Q=X3+ 3X2+ 3X+ 2
2. En d´eduire qu’il existe (U, V )∈(R[X])2tels que P U +QV = 1. Comment d´etermine-t-on de tels polynˆomes ?
Exercice 5 (CCP) Factoriser en produit de polynˆomes irr´eductibles dans C[X] puis dans R[X] :
1. X5+ 1
2. X6+ 2X4+ 2X2+ 1
3. X9+X6+X3+ 1
4. X2n−2Xncos(nθ) + 1 (o`u θ∈R,n∈N∗)
Exercice 6 (Mines) Soit P=X3−3X+ 1. Montrer que Padmet trois racines r´eelles rationnelles. Montrer qu’aucune
de ces racines n’est annul´ee par un polynˆome de Q[X] de degr´e 2.
Exercice 7 (Mines) D´eterminer le reste de la division euclidienne de (X−3)2n+ (X+ 2)n−2 par (X−3)3.
Exercice 8 (Mines et petites Mines) Calculer
n−1
Y
k=1
1
1−e2ikπ
n
et
n−1
Y
k=1
sin kπ
n.
Exercice 9 (Mines) Soient n∈N∗et Pn(X) = (1 + iX)n−(1 −iX)n.
1. D´eterminer, selon la parit´e de n, le degr´e de P.
2. D´eterminer les racines de Pdans les deux cas : npair et nimpair et en d´eduire la d´ecomposition de Pen
polynˆomes irr´eductibles de C[X].
3. En d´eduire, lorsque nest impair, la valeur de
n−1
X
k=0
tan(kπ
n).
Exercice 10 Soient m, n ∈N∗. Notons (q, r) le couple quotient/reste de la division euclidienne de mpar n.
1. D´eterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de Xm−1 par Xn−1.
2. En d´eduire une C.N.S. portant sur net mpour que Xn−1 divise Xm−1 dans C[X].
3. Quel est le PGCD de Xn−1 et Xm−1 ?
Exercice 11 (Mines) Soit P∈C[X] non nul tel que P(X2) = P(X−1)P(X).
1. Montrer que toute racine de Pest de module 1.
2. D´eterminer P.
Exercice 12 (Mines-Centrale)
1. D´eterminer les polynˆomes Ptels que P0divise P.
2. D´eterminer les polynˆomes Ptels que Pdivise XP 0.
Exercice 13 (Mines) Soit P∈R[X].
1. Montrer que si Pest scind´e `a racines simples alors P0est scind´e `a racines simples.
1

2. Montrer que si Pest scind´e sur Ralors P0est scind´e sur R.
On suppose de nouveau Pest scind´e `a racines simples (de racines a1< . . . < an)
Pour α∈R∗
+, montrer que αP +P0a au moins n−1 racines distinctes.
Montrer que XP +P0a au moins n−1 racines simples.
Soit Q(X) = (X2+ 1)P(X)P0(X) + XP2(X) + P02(X); montrer que Pa au moins 2n−1 racines distinctes
sauf si Q(1) = 0 (on pourra factoriser Q).
Exercice 14 Soit (a0, a1, . . . , an)∈Zn+1. On consid`ere le polynˆome P(x) = a0+a1x+· · · +anxn.
1. Montrer que si r=p
q(avec p∧q= 1) est racine de l’´equation alors q|anet p|a0.
2. Que peut-on conclure si le polynˆome Pest unitaire (i.e. an= 1) ?
3. Si r=p
q(avec p∧q= 1) est racine de l’´equation montrer que : ∀m∈Z, p −mq|P(m).
4. Donner une d´ecomposition en facteurs irr´eductibles sur Q[X] du polynˆome 2X3+ 5X2−8X−12.
Exercice 15 (Mines) Soit P∈R[X] un polynˆome scind´e.
1. Montrer que x7→ (P0(x))2−P(x)P00(x) est de signe constant sur R.
2. Si P=
n
X
k=0
akXk, montrer que pour tout 1 ≤k≤n−1, ak−1ak+1 ≤a2
k.
Exercice 16 Soit P∈C[X], un polynˆome de degr´e n. On note x1, x2, . . . , xnses racines. Exprimer `a l’aide de Pet
de ses d´eriv´ees :
n
X
i=1
1
X−xi
,
n
X
i=1
1
(X−xi)2,X
k6=l
1
(X−xk)(X−xl).
Exercice 17 (Mines) Soit P∈C[X], un polynˆome scind´e `a racines simples. On note x1, x2, . . . , xnses racines. On
suppose que Pne s’annule pas en 0.
1. Montrer que :
n
X
i=1
1
xiP0(xi)=−1 P(0).
2. Soit Q∈C[X] tel que deg Q≤n−2. Calculer
n
X
i=1
Q(xi)
P0(xi).
Exercice 18 (Centrale) Soit P∈C[X], un polynˆome scind´e `a racines simples. On note x1, x2, . . . , xnses racines.
Montrer que :
n
X
i=1
P00(xi)
P0(xi)= 0.
Exercice 19 (Mines) Soit P∈C[X] unitaire de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
1. Calculer
n
X
k=0
P(k)
Qj6=k(k−j).On pourra utiliser P(X)
Qn
k=0(X−k).
2. En d´eduire qu’il existe k∈[[0, n]] tel que |P(k)| ≥ n!
2n.
Exercice 20 (Mines-Centrale) Soit P∈C[X], un polynˆome de degr´e n. On note x1, x2, . . . , xnses racines. Soit zune
racine du polynˆome d´eriv´e P0(diff´erente des xj). Montrer que zest barycentre `a coefficients positifs de x1, x2, . . . , xn.
Exercice 21 (CCP) Soient Pet Qdeux polynˆomes de degr´es respectifs pet q.
1. Montrer que si Pet Qsont premiers entre eux alors φ, qui `a (U, V )∈Rp−1[X]×Rq−1[X] associe P U +QV , est
un isomorphisme sur Rp+q−1[X] .
2. Montrer qu’alors il existe un unique couple (U0, V0)∈Rp−1[X]×Rq−1[X] tel que P U0+QV0= 1.
3. Montrer que si φest un isomorphisme alors Pet Qsont premiers entre eux.
Exercice 22 (Centrale) * Soit Γ = P∈R[X],∃(A, B)∈R[X]2, P =A2+B2.
1. Montrer que Γ est stable par produit.
2. Montrer l’´equivalence : ∀P∈R[X],(P∈Γ) ⇔(∀x∈R, P (x)≥0).
3. Montrer l’´equivalence : ∀P∈R[X],(∀x∈R+, P (x)≥0) ⇔(∃(A, B)∈Γ2, P =A+XB).
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