CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE Ce chapitre est consacré à l'étude de la chute verticale d'un solide abandonné sans vitesse initiale au voisinage de la Terre. Au cours de son mouvement, celui-ci est en interaction avec la Terre et le fluide dans lequel il tombe (air, eau...). CARACTERISTIQUES DES FORCES SYNTHESE g g Π = – Pf g • Le poids P Au voisinage de la Terre, le poids d'un objet, aussi appelé force de pesanteur, est assimilable à la force d'attraction gravitationnelle que la Terre exerce sur lui. Le poids est une force à distance, répartie en volume, que l'on peut modéliser par le vecteur P : g g G – origine : le centre de gravité (centre d'inertie) du volume de fluide déplacé ; – direction : la verticale du lieu ; – sens : le sens ascendant ; – valeur : Π poussée d'Archimède en newton (N) masse volumique du fluide (kg.m–3) Π = fVg f V volume de fluide déplacé en m–23 g intensité de la pesanteur en m.s ou N.kg–1 Dans le cas d'un solide homogène entièrement immergé, la poussée d'Archimède Π est appliquée au centre d'inertie G du solide, confondu avec le centre de gravité du volume de fluide déplacé. g P – origine : le centre de gravité G (centre d'inertie) de l'objet ; – direction : la verticale du lieu ; – sens : le sens descendant ; – valeur : P poids en newton (N) P = mg m masse en kilogramme (kg) g intensité de la pesanteur en m.s–2 ou N.kg–1 L'intensité g de la pesanteur a les dimensions d'une accélération. Sa valeur, qui dépend de l'altitude, est environ 9,8 N.kg–1 au voisinage du sol. La relation P = mg peut aussi s'écrire en vecteurs : P = m g , où g est le vecteur champ de pesanteur, défini en tout point de l'espace, vertical et orienté vers le bas, de valeur g. Localement, on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme : le vecteur g garde même direction, même sens et même valeur. • La poussée d'Archimède Π La poussée d'Archimède est la résultante des forces de pression qu'exercée un fluide sur un objet immergé dans ce fluide. La poussée d'Archimède est la force opposée au poids Pf du volume de fluide déplacé (volume de fluide dont le solide prend la place). Pour comparer le poids d'un solide entièrement immergé, de masse volumique , et la poussée d'Archimède exercée par le fluide sur lui, on calcule le rapport de leurs valeurs : Π Π fVg f = = = P mg Vg Dans le cas d'un solide entièrement immergé dans un fluide de masse volumique très inférieure à la sienne, la poussée d'Archimède s'exerçant sur le solide est négligeable devant son poids. Cette condition est en général réalisée pour des solides pleins plongés dans l'air. • Les forces de frottement fluide De sens contraire au mouvement, les forces de frottement fluide dépendent de la nature du fluide, de la vitesse du centre d'inertie du solide immergé, de sa géométrie et de son état de surface. Les forces de frottement fluide s'exercent sur toute la surface du solide. On représente leur résultante f au centre d'inertie G du solide. – Aux « faibles vitesses », la valeur f des forces de frottement fluide est proportionnelle à la valeur vG de la vitesse du centre d'inertie G du solide : f = kvG. – À des « vitesses élevées », la valeur f des forces de frottement fluide est proportionnelle au carré de la valeur vG de la vitesse du centre d'inertie G du solide : f = K vG2. La poussée d'Archimède est une force de contact, répartie en surface, que l'on peut modéliser par le vecteur Π = – Pf de caractéristiques : CLASSEUR Terminale S L'expression des forces de frottement fluide f est donnée dans les énoncés. Agence de CHARLEVILLE MEZIERES CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE ETUDE DE LA CHUTE AVEC FROTTEMENTS • Équation différentielle du mouvement D'après la deuxième loi de Newton, le vecteur accélération aG du centre d'inertie G du solide vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre considéré galiléen : z’ O f Π P z dv P + Π + f = m aG = m G dt Tous les vecteurs sont verticaux. En exprimant leurs coordonnées dans un repère constitué d'un axe vertical z'z, orienté vers le bas, d'origine O prise au point de départ du solide, il vient, en posant vG = v : dv P – Π – f(v) = m dt On obtient ainsi une équation différentielle du premier ordre en v. On peut procéder à une résolution numérique approchée de v(t) par la méthode d'Euler (voir I Chute 0’’’). Cette équation est difficile à intégrer parce que f dépend de v. La résolution, assez simple si f est proportionnelle à v, est délicate si f est proportionnelle à v2. • Allure de la courbe v = f(t) SYNTHESE Le temps caractéristique τ permet d'évaluer l'ordre de grandeur du temps de passage d'un régime à l'autre. Graphiquement, le temps caractéristique τ correspond à l'abscisse du point d'intersection de l'asymptote horizontale de la courbe et de sa tangente à l'origine. • Explication qualitative du mouvement – Au départ, le solide est entraîné par son poids, très supérieur à la poussée d'Archimède. La vitesse étant faible, la valeur f des forces de frottement fluide est négligeable devant la valeur P du poids. Le centre d'inertie G du solide est animé d'un mouvement rectiligne accéléré. - Au fur et à mesure que le solide prend de la vitesse, la valeur f des forces de frottement fluide augmente, jusqu'à approcher la valeur P du poids. La résultante des forces exercées sur le solide devient quasiment nulle. Le mouvement évolue alors vers un mouvement rectiligne uniforme, la vitesse tendant vers une valeur limite vlim. LA CHUTE LIBRE VERTICALE Un solide soumis uniquement à son poids est en chute libre. Le modèle de la chute libre peut être utilisé dans la mesure où les valeurs de Π et de f sont faibles devant celle de P . Cette condition est approximativement réalisée dans le cas de solides denses, pour des hauteurs de chute pas trop grandes (par exemple, chute d'une bille d'acier sur quelques mètres). La deuxième loi de Newton s'écrit alors à chaque instant dans le référentiel terrestre considéré galiléen : P = m g = m aG , soit : aG = g . Dans le référentiel terrestre, le mouvement du centre d'inertie G de tout solide en chute libre se fait à accélération constante g , vecteur champ de pesanteur du lieu. v(m.s–1) tangente à l'origine vlim Pour cette raison, on appelle aussi le vecteur g « accélération de la pesanteur ». 0 τ t(s) Le mouvement du centre d'inertie du solide comporte deux phases : - le régime initial (ou régime transitoire), au cours duquel la vitesse v varie de manière importante ; - le régime asymptotique (ou régime permanent), au cours duquel la vitesse v varie très faiblement, la courbe v(t) présentant une asymptote horizontale dont l'ordonnée est la vitesse limite vlim. CLASSEUR Terminale S Agence de CHARLEVILLE MEZIERES CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE Le mouvement de chute libre est uniformément accéléré. En projetant comme précédemment cette relation sur l'axe vertical z'z, orienté vers le bas, d'origine O prise au point de départ du solide, il vient, en posant vG = v : dv dv aG = G = g, soit : =g dt dt Dans le référentiel terrestre, la vitesse du centre d'inertie G d'un solide abandonné en chute libre à la date t = 0 sans vitesse initiale est : v = gt. L'intégration de l'équation par rapport au temps donne : v = gt + cte, avec cte = v(0) = 0. SYNTHESE METHODE EXPLOITER L'EQUATION DIFFERENTIELLE D'UNE CHUTE VERTICALE Après modélisation de la chute verticale d'un solide abandonné sans vitesse initiale, on obtient dans le Système International d'unités l'équation différentielle du premier ordre en v, vitesse du centre d'inertie G du solide : dv + 0,50 v = 9,8 dt 1. Détermination de l'accélération initiale dv représente la valeur a de l'accélération du dt solide (en m.s–2). On obtient l'accélération initiale a0 en écrivant v = 0 dans l'équation différentielle : a0 = 9,8 m.s–2. v(m.s–1) Le terme 35 30 25 Au départ, on peut considérer le solide soumis à son poids seul : son accélération est donc égale à l'accélération de la pesanteur g. 20 15 2. Détermination de la vitesse limite de chute 10 5 0 — —— 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 t(s) exemple de chute avec frottements chute libre Dans les conditions précédentes, il vient, en notant zG = z la cote du centre d'inertie G du solide : dz dz vG = G = gt , soit = gt dt dt Dans le référentiel terrestre, la hauteur de chute z du centre d'inertie G d'un solide abandonné en chute libre à la date t = 0 sans vitesse initiale est : 1 z = gt2. 2 L'intégration de l'équation par rapport au temps 1 donne : z = gt2 + cte, avec cte = z(0) = 0. 2 En régime permanent, on obtient la valeur v lim de la dv vitesse limite en écrivant = 0 dans l'équation dt différentielle : 9,8 0,50vlim = 9,8 d’où vlim = = 19,6 m.s–1 0,50 3. Construire la courbe v(t) par la méthode graphique d'Euler. • On choisit un intervalle de temps Δt suffisamment petit, appelé « pas de résolution » (par exemple, Δt = 0,50 s). La méthode d'Euler consiste à construire sur des durées Δt successives des segments de droite approchant la courbe réelle v(t). On utilise pour cela : – l'équation différentielle du premier ordre en v : dv a= = – 0,50v + 9,8 dt – la définition approchée de l'accélération : Δv a , soit Δv = a × Δt Δt Dans la définition approchée de l'accélération, on peut passer de l'égalité des vecteurs à l'égalité des valeurs car le mouvement est rectiligne. • Le solide étant abandonné sans vitesse initiale, le premier point est l'origine O du repère de coordonnées t0 = 0 et v0 = 0. CLASSEUR Terminale S Agence de CHARLEVILLE MEZIERES CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE • A l'instant t = 0, l'accélération vaut d'après l'équation différentielle : a0 = 9,8 m.s–2. Pendant la durée Δt = 0,50 s, la vitesse varie de Δv : Δv = v1 – v0 = a0 × Δt = 4,9 m.s–1 À l'instant t1 = Δt = 0,50 s, on a donc : v1 = Δv + v0 = 4,9 m.s–1. On place alors sur le graphe le point M1 de coordonnées correspondantes, et on trace le segment de droite [OM1]. • À l'instant t = t1, l'accélération vaut d'après l'équation différentielle : dv a1 = (t1) = – 0,50v1 + 9,8 = 7,4 m.s–2. dt Pendant la durée Δt = 0,50 s, la vitesse varie de Δv : Δv = v2 – v1 = a1 × Δt = 3,7 m.s–1. À l'instant t2 = t1 + Δt = 1,0 s, on a donc : v2 = Δv + v1 = 8,6 m.s–1. On place alors sur le graphe le point M2 de coordonnées correspondantes, et on trace le segment de droite [M1M2]. • À l'instant t = t2, l'accélération vaut d'après l'équation différentielle : dv a2 = (t2) = – 0,50v2 + 9,8 = 5,5 m.s–2. dt Pendant la durée Δt = 0,50 s, la vitesse varie de Δv : Δv = v3 – v2 = a2 × Δt = 2,75 m.s–1. À l'instant t3 = t2 + Δt = 1,5 s, on a donc : v3 = Δv + v2 = 11,3 m.s–1. On place alors sur le graphe le point M3 de coordonnées correspondantes, et on trace le segment de droite [M2M3]. • On réitère l'opération jusqu'à approcher de la vitesse limite vlim. L'ensemble des segments de droite donne une représentation graphique approchée de la fonction v(t). Origine du segment v (m.s–1) a (m.s–2) Δv (m.s–1) O(0 ; 0) 0 9,8 4,9 4,9 7,4 3,7 8,6 5,5 2,8 11,3 4,1 2,1 13,4 3,1 1,5 14,9 2,3 1,2 16,1 1,7 0,87 17,0 1,3 0,65 17,6 0,98 0,49 18,1 0,74 0,37 18,5 0,55 0,28 18,8 0,42 0,21 19,0 0,31 0,16 19,2 0,20 0,10 19,3 0,15 0,08 19,4 0,10 0,05 M1 (0,5 ; 4,9) M2 (1,0 ; 8,6) M3 (1,5 ; 11,3) M4 (2,0 ; 13,4) M5 (2,5 ; 14,9) M6 (3,0 ; 16,1) M7 (3,5 ; 17,0) M8 (4,0 ; 17,6) M9 (4,5 ; 18,1) M10 (5,0 ; 18,5) M11 (5,5 ; 18,8) M12 (6,0 ; 19,0) M13 (6,5 ; 19,2) M14 (7,0 ; 19,3) M15 (7,5 ; 19,4) Extrémité du segment M1 (0,5 ; 4,9) M2 (1,0 ; 8,6) M3 (1,5 ; 11,3) M4 (2,0 ; 13,4) M5 (2,5 ; 14,9) M6 (3,0 ; 16,1) M7 (3,5 ; 17,0) M8 (4,0 ; 17,6) M9 (4,5 ; 18,1) M10 (5,0 ; 18,5) M11 (5,5 ; 18,8) M12 (6,0 ; 19,0) M13 (6,5 ; 19,2) M14 (7,0 ; 19,3) M15 (7,5 ; 19,4) M16 (8,0 ; 19,5) -1 v(m.s ) Vlim 19,6 M M M M On obtient une meilleure précision en diminuant le pas de résolution, mais on allonge aussi les calculs. M 5 0 CLASSEUR Terminale S SYNTHESE M 0,5 6 5 4 3 2 1 t(s) Agence de CHARLEVILLE MEZIERES