Chute verticale d`un solide

Chute verticale d'un solide
I-Chute verticale dans un fluide.
1.Forces exercées sur le solide.
Un solide S en mouvement de chute verticale à proximité de la terre est soumis à trois forces :
a- Forces exercée par la Terre : force de pesanteur.
Un objet situé au voisinage de la Terre subit la force de gravitation
F
qui
peut s’identifier à la force de pesanteur : le poids
P
On dit que la Terre crée un champ de pesanteur
g
. (fig 8p208)
Un objet de masse m placé dans le champ de pesanteur
g
subit une
force :
Remarque : Le champ de pesanteur est supposé uniforme (
g
est le même
en tout point) dans une zone pas trop étendue au voisinage de la Terre
(en réalité, l’intensité de la pesanteur g diminue avec l’altitude
2
.
d
MG
gT
)
b- Force exercée par le fluide : poussée d’Archimède.
Un corps totalement ou partiellement immergé dans un fluide subit une force verticale de bas en haut,
de valeur égale au poids du fluide déplacé appelée poussée d’Archimède.
Avec :
: la poussée d’Archimède (N).
: la masse volumique du fluide (kg.m-3).
V : le volume de la partie immergé du solide (m3).
g : la valeur du champ de pesanteur.
c- Force de frottement exercée par le fluide.
Soit un solide de vitesse
v
. Le fluide exerce sur ce solide une force de frottement, deux cas possibles :
-Pour une chute verticale dans un fluide, cas ou la vitesse ne dépasse pas quelques cm.s-1.
On parle alors d’écoulement laminaire du fluide autour de l’objet ( figure 10 p 208) et de force de frottement
laminaire, h est le coefficient de frottement fluide laminaire (en kg.s-1).
-Pour des vitesses plus grandes, de quelques m.s-1 la force de frottement est de la forme
le fluide s’écoule de façon turbulente,  est le coefficient fluide turbulent (en kg.m-1)
2-Modélisation du mouvement. (voir activité)
a-Equation différentielle.
Soit une bille de volume V, de masse m et de vitesse initiale
0
v
en chute verticale dans un liquide de
masse volumique .
La bille est soumise aux trois forces précédentes (voir schéma ci-contre).
Dans le référentiel terrestre supposé Galiléen, appliquons la deuxième loi de Newton.
Gext amF 
G
amfP 
Suivant l’axe 0z :
Gzzzz mafP 
 mg - .V.g - h.v = m.aG
 -g(.V - m) - h.v = m.
dt
dv
Soit l’équation différentielle :
dt
dv
+
v
m
h.
= (1 -
m
V.
).g
gmP 
gV..
vhf 
.
vvf 
..
P
f
G
a
O
z

b-Etude expérimentale (voir activité).
La courbe v = f(t) a l’allure suivante. Elle possède deux régimes successifs : (transitoire et permanent)
c-Détermination de la vitesse limite.
Lorsque v atteint la vitesse limite, v = vlim = cste 
dt
dv
= 0 
lim
.v
m
h
= (1 -
m
V.
).g 
Remarque :
h
m
est le temps caractéristique de la chute. On peut le déterminer graphiquement à l’aide de la
construction de la tangente à l’origine, ou avec le temps correspondant à l’ordonnée de 0,63.vlim
d-Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler (voir activité)
Cette équation est de la forme :
ABv
dt
dv 
avec A = (1 -
m
V.
).g et B =
m
h
Si t est petit, on peut écrire
ABv
t
v
 v = (A – Bv). t  vi+1 – vi = (A – Bvi). t
On à donc : vi+1 = (A – Bvi). t + vi et ai = A – Bvi
Si l’on connaît la vitesse v0 à l’instant t = 0 s, on peut alors calculer v1 et a1 puis v2 et a2 …
Il est ainsi possible de calculer la vitesse vi à chaque instant.
La courbe v = f(t) se rapproche de la courbe expérimentale si t est petit et t 
10
.
II-Chute libre.
1-Définition.
Un solide est dit en chute libre s’il est soumis uniquement à son poids.
- Le fait qu’il n’existe pas de force de frottement impose que cette chute soit réalisée dans le vide.
- Si la force de frottement du fluide et la poussée d’Archimède sont négligeables devant le poids, on peut
considérer le solide comme étant en chute libre.
2-Modélisation du mouvement.
a-Equation différentielle du mouvement.
Système étudié : le solide.
Référentiel terrestre supposé Galiléen.
Bilan des forces : le poids
P
du solide.
Application de la deuxième loi de Newton :
Gext amF 
G
amP 
.
G
amgm  .
gaG
Le vecteur accélération du centre d’inertie d’un solide en chute libre est égale
au champ de pesanteur
g
.
La projection sur l’axe Oz donne : aG = g
Ou encore : l’équation différentielle du mouvement
hgVm
v).(
lim
g
dt
dv 
P
G
a
z
O

b-Résolution de l’équation différentielle.
Conditions initiales : à l’instant t = 0 s , z(0) = z0 et v(0) = v0.
Expression de la vitesse : v est la primitive de
dt
dv
d’où
g
dt
dv 
 v = g.t + c
A t = 0 , v(0) = v0  v0 = gx0 + c  c = v0 
-Si la vitesse initiale est nulle (v0 = 0 ) alors l’expression devient :
Expression de la position : z est la primitive de
dt
dz
d’où
v
dt
dz 
On en déduit :
0
.vtg
dt
dz 
'
0
2
..
2
1ctvtgz 
A t = 0 z(0) = z0 
'
0
2
000.
2
1cvgz 
0
'zc 
-Si le solide est lâché du point 0 (z0 = 0), si la vitesse initiale est nulle (v0 = 0) alors l’expression de la position du
mobile devient :
v = g.t + v0
00
2
..
2
1ztvtgz 
2
..
2
1tgz 
v = g.t