Chute verticale d`un solide

Chute verticale d'un solide
I-Chute verticale dans un fluide.
1.Forces exercées sur le solide.
Un solide S en mouvement de chute verticale à proximité de la terre est soumis à trois forces :
a- Forces exercée par la Terre : force de pesanteur.
Un objet situé au voisinage de la Terre subit la force de gravitation

F qui

P

On dit que la Terre crée un champ de pesanteur g . (fig 8p208)

Un objet de masse m placé dans le champ de pesanteur g subit une
force :


P  mg

Remarque : Le champ de pesanteur est supposé uniforme ( g est le même
peut s’identifier à la force de pesanteur : le poids
en tout point) dans une zone pas trop étendue au voisinage de la Terre
(en réalité, l’intensité de la pesanteur g diminue avec l’altitude g

G.M T
)
d2
b- Force exercée par le fluide : poussée d’Archimède.
Un corps totalement ou partiellement immergé dans un fluide subit une force
de valeur égale au poids du fluide déplacé appelée poussée d’Archimède.

 verticale de bas en haut,
 : la poussée d’Archimède (N).
  .V.g

Avec :
: la masse volumique du fluide (kg.m-3).
3
V : le volume de la partie immergé du solide (m ).
g : la valeur du champ de pesanteur.
c- Force de frottement exercée par le fluide.

Soit un solide de vitesse v . Le fluide exerce sur ce solide une force de frottement, deux cas possibles :
-Pour une chute verticale dans un fluide,


f  h.v
cas ou la vitesse ne dépasse pas quelques cm.s -1.
On parle alors d’écoulement laminaire du fluide autour de l’objet ( figure 10 p 208) et de force de frottement
-1
laminaire, h est le coefficient de frottement fluide laminaire (en kg.s ).


f  .v.v
-Pour des vitesses plus grandes, de quelques m.s -1 la force de frottement est de la forme
le fluide s’écoule de façon turbulente,  est le coefficient fluide turbulent (en kg.m-1)
2-Modélisation du mouvement. (voir activité)
a-Equation différentielle.
Soit une bille de volume V, de masse m et de vitesse initiale

v 0 en chute verticale dans un liquide de
masse volumique .
O


La bille est soumise aux trois forces précédentes (voir schéma ci-contre).
Dans le référentiel terrestre supposé Galiléen, appliquons la deuxième loi de Newton.

F
ext
  


 maG  P    f  maG
Suivant l’axe 0z :

f
Pz   z  f z  maGz  mg - .V.g - h.v = m.aG
dv
dt
dv
h
 .V
.v = (1 +
).g
m
dt
m
 -g(.V - m) - h.v = m.
Soit l’équation différentielle :

aG

P
z
b-Etude expérimentale (voir activité).
La courbe v = f(t) a l’allure suivante. Elle possède deux régimes successifs : (transitoire et permanent)
c-Détermination de la vitesse limite.
Lorsque v atteint la vitesse limite, v = vlim = cste 
Remarque :

dv
h
 .V
=0 
).g 
.vlim = (1 m
dt
m
vlim 
(m   .V ) g
h
m
est le temps caractéristique de la chute. On peut le déterminer graphiquement à l’aide de la
h
construction de la tangente à l’origine, ou avec le temps correspondant à l’ordonnée de 0,63.vlim
d-Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler (voir activité)
Cette équation est de la forme :
Si t est petit, on peut écrire
dv
 .V
h
).g et B =
 Bv  A avec A = (1 dt
m
m
v
 Bv  A  v = (A – Bv). t  vi+1 – vi = (A – Bvi). t
t
On à donc : vi+1 = (A – Bvi). t + vi et ai = A – Bvi
Si l’on connaît la vitesse v0 à l’instant t = 0 s, on peut alors calculer v1 et a1 puis v2 et a2 …
Il est ainsi possible de calculer la vitesse vi à chaque instant.
La courbe v = f(t) se rapproche de la courbe expérimentale si t est petit et t 

10
.
II-Chute libre.
1-Définition.
Un solide est dit en chute libre s’il est soumis uniquement à son poids.
- Le fait qu’il n’existe pas de force de frottement impose que cette chute soit réalisée dans le vide.
- Si la force de frottement du fluide et la poussée d’Archimède sont négligeables devant le poids, on peut
considérer le solide comme étant en chute libre.
2-Modélisation du mouvement.
a-Equation différentielle du mouvement.
Système étudié : le solide.
Référentiel terrestre supposé Galiléen.
Bilan des forces : le poids

P du solide.
O
Application de la deuxième loi de Newton :

F
ext

 maG



P  m.aG



mg  m.aG



aG  g
Le vecteur accélération du centre d’inertie d’un solide en chute libre est égale

au champ de pesanteur g .
La projection sur l’axe Oz donne : aG = g
Ou
encore :
dv
g
dt

aG

P
l’équation différentielle du mouvement
z
b-Résolution de l’équation différentielle.
Conditions initiales : à l’instant t = 0 s , z(0) = z0
Expression de la vitesse : v est la primitive de
A
et
v(0) = v0.
dv
dv
d’où
 g  v = g.t + c
dt
dt
t = 0 , v(0) = v0  v0 = gx0 + c  c = v0 
v = g.t + v0
-Si la vitesse initiale est nulle (v0 = 0 ) alors l’expression devient :
Expression de la position : z est la primitive de
v = g.t
dz
dz
d’où
v
dt
dt
dz
1
 g.t  v0  z  .g.t 2  v0 t  c '
dt
2
1
'
2
'
A t = 0 z(0) = z0  z 0  .g  0  v0  0  c  c  z 0 
2
On en déduit :
1
z  .g.t 2  v0 t  z 0
2
-Si le solide est lâché du point 0 (z0 = 0), si la vitesse initiale est nulle (v0 = 0) alors l’expression de la position du
mobile devient :
1
z  .g.t 2
2