Chapitre VIII : Variable aléatoire et loi de probabilité Extrait du

Chapitre VIII : Variable aléatoire et loi de probabilité
Extrait du programme :
I.
Vocabulaire et propriétés des probabilités
1. Vocabulaire sur les événements
Vocabulaire
Expérience
aléatoire
Univers
Evénement
Evénement
élémentaire
Intersection de
deux événements
A et B : A  B
(A et B)
Evénements
incompatibles
ou disjoints
Réunion de 2
événements A et
B:AB
(A ou B)
Evénement
complémentaire
de A, noté A
Evénement
certain
Evénement
impossible
Définition
Faire une expérience aléatoire, c’est faire une
expérience où l’on connaît à l’avance tous les
résultats possibles mais où on ne peut pas prévoir
un résultat en particulier.
On appelle univers, l’ensemble de tous les
résultats possibles.
On appelle événement, l’ensemble de tous les
résultats possibles d’une situation particulière au
cours d’une expérience aléatoire.
Un événement est élémentaire s’il n’a qu’un seul
résultat possible.
L’intersection de deux événements A et B se note
A  B et est formé de tous les résultats communs
aux événements A et B.
Deux événements A et B sont dits incompatibles
ou disjoints s’ils n’ont pas de résultats en
commun. On note : A  B = 
La réunion de deux événements A et B se note A
 B et est formé de tous les résultats des
événements A ou B ou communs aux deux.
L’événement complémentaire de A, noté A , est
l’événement qui contient tous les résultats de
l’univers qui ne sont pas dans A.
L’événement certain est celui qui se produit
toujours
l’événement impossible est celui qui ne peut pas
se produire.
Exemples
le tirage de deux cartes dans un jeu
de 32 cartes pour obtenir une main de
2 cartes
L’univers est composé de toutes les
mains de 2 cartes
A=«Tirer deux cartes de »
B = « Tirer la dame de cœur
et le roi de cœur »
A=«Tirer deux cartes de »
et C= « Tirer deux figures »
AC = {{V,D}, {V,R} ,
{D,R}}
A=«Tirer deux cartes de »
D=«Tirer deux cartes de »
AD=
A=«Tirer deux cartes de » ou C=
« Tirer deux figures » alors : AC
contient {V,D}, {V,R} ou
{D, 7} ...
A=«Tirer deux cartes de » A =
« tirer deux cartes dont une au moins
n’est pas de  »
E= « Tirer deux cartes »
A= «Tirer l’as de  et le 6
de  » est un événement impossible.
2. Probabilités
a. Définition et propriétés de base
La probabilité d’un événement est la fréquence théorique obtenue si l’on réalise un très grand
nombre de fois une expérience aléatoire.
Par exemple, si l’on demande à un million d’individus de lancer un dé et on relève le nombre
1
d’individus qui ont fait un « 4 », le rapport obtenu sera très proche de . Un individu pris au hasard a
6
une chance sur 6 d’obtenir un « 4 ».
On note p(A) la probabilité de l’événement A. On donne en général une probabilité sous la forme
d’une fraction irréductible.



Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Si A est l’événement certain, p ( A ) = 1
Si A est l’événement impossible, p ( A ) = 0.
On dit qu’il y a équiprobabilité, quand tous les événements élémentaires ont la même chance de se
produite. Dans ce cas, s’il y a n résultats possibles, la probabilité d’un événement élémentaire est donc
1
de .
n
card ( A ) nb de cas favorables
La probabilité d’un événement A est p ( A ) =
=
card ( ) nb de cas possibles
b. Probabilité d’une intersection et d’une réunion d’événements
Pour l’intersection : Si A et B sont incompatibles, alors A∩B= et p(A∩B) = 0
Si A et B ne sont pas incompatibles, il faut en général chercher la probabilité dans l’énoncé en
dénombrant les résultats favorables à A∩B.
Pour la réunion : p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B)
Remarque : dans le cas où A et B sont incompatibles, et uniquement dans ce cas, on a donc
p(A∪B) = p(A) + p(B)
Exemple : On considère un jeu de 32 cartes et les événements suivants :
4
A : « Tirer un as »
p(A)=
32
8
C : « tirer un cœur »
p(C)=
32
4
D : « tirer une dame »
p(D)=
32
Alors : A∩C « tirer un as de cœur »
A∩D : « Tirer un as et une dame »
A∪C : « tirer un as ou un cœur »
A∪D : « Tirer un as ou une dame »
1
(car il n’y a qu’un seul as de cœur)
32
p ( A∩D ) = 0 (car les événements sont incompatibles)
4
8
1 11
p ( A∪C ) = + − =
32 32 32 32
4
4
8 1
p ( A∪D ) = + = =
32 32 32 4
p ( A∩C ) =
c. Probabilité de l’événement contraire
Propriété : Soit A un événement et A son contraire, alors 𝑝( 𝐴 ) = 1 − 𝑝(𝐴)
Exemple : on considère le même événement A que dans l’exemple précédent, alors A : « Tirer une
carte qui ne soit pas un as ». Alors 𝑝(𝐴) = 1 −
II.
4
32
=
28
32
=
7
8
Variable aléatoire
1. Variable aléatoire et loi de probabilité
Définition : Soit une expérience aléatoire dont l’univers est l’ensemble . Une variable aléatoire est
une fonction définie sur  et à valeurs dans  On la note X.
Exemple : On lance un dé à 6 faces équilibré et on considère le jeu suivant :
- « Si le résultat obtenu est 1 ou 6, on gagne 2 jetons »
- « Si le résultat obtenu est 5, on gagne 1 jeton »
- « Sinon, on perd 1 jeton »
On peut ainsi définir une variable aléatoire X qui décrit les gains de ce jeu. Et  = {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}
On a donc : X(1)=2 ; X(2)= –1 ; X(3)= –1 ; X(4)= –1 ; X(5)=1 ; X(6)=2
Définition : Une variable aléatoire X est définie sur l’univers  d’une expérience aléatoire.
Notons E={ x, x,…xk }l’ensemble des valeurs prises par X.
La loi de probabilité de X est la fonction qui à chaque xi de E lui associe sa probabilité, notée p(X=xi)
ou pi. On peut la représenter sous forme d’un tableau de valeurs :
xi
p(X=xi)
x1
p(X=x1)
…
…
x2
p(X=x2)
xk
pXxk
Remarque : La somme des réels pXxi est toujours égale à 1.
Exemple : Dans le jeu de l’exemple précédent, chaque issue du lancer de dé est équiprobable, de
probabilité .

Le gain est de deux jetons si le résultat obtenu est 1 ou 6. La probabilité correspondante est     ,
  

d’où pX n a de même : pX=  et pX=  = 


 
La loi de probabilité est résumée dans le tableau suivant :
xi
p(X=xi)
-1
1
2
1
1
6
2
1
3
Point-Méthode 21 : Etablit la loi de probabilité d’une variable aléatoire
Un supermarché distribue des tickets à ses 1000 premiers clients. 500 tickets dont gagner 10€, 90 font
gagner 20€, 10 font gagner 50€ et 400 ne font rien gagner. Un ticket est distribué au hasard à chaque
client à la caisse.
X est la variable aléatoire qui a chaque ticket associe le gain inscrit sur celui-ci.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Quelle est la probabilité d’obtenir un ticket de 20€ ou plus ?
Solution :
a) Pour déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X il faut :
-
Identifier toutes les valeurs prises par X
Calculer les probabilités correspondantes.
Résumer ces résultats dans un tableau.
X peut prendre les valeurs 0, 10, 20 ou 50 (ne pas oublier le 0 !)
xi
P
0
10
20
50
( X = xi ) 0,4 0,5 0,09 0,01
On vérifie que la somme des probabilités est bien égale à 1
b) On utilise les résultats trouvés précédemment en additionnant les probabilités concernées
P(X≥20) = p ( X = 20 ) + p ( X = 50 ) = 0,09 + 0,01 = 0,1
2. Espérance d’une variable aléatoire
Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur l’univers  d’une expérience aléatoire.
Notons X()={ x, x,…xn } l’ensemble des valeurs prises par X.
La loi de probabilité de X associe à chaque xi de X() sa probabilité pi=p(X=xi). L’espérance
mathématique de la loi de probabilité de X est la moyenne de la série des xi pondérés par pi ; on la
note E(X) :
E(X)= p1 x+ p2 x+… +pn xn
Remarque : le calcul de l’espérance est bien un calcul de moyenne puisque
p x p x… pn xn
car la somme des probabilités vaut 1. Donc
p  p … pn
l’espérance est bien la moyenne de la série des valeurs xi pondérés par pi .
E(X)= p1 x+ p2 x+… +pn xn =
Exemple : Reprenons le jeu de l’exemple précédent :

On a : EX  (              
    



Remarque : la loi des grands nombres nous permet d’interpréter l’espérancede la loi de probabilité X.
Elle nous dit en effet qu’en répétant un grand nombre de fois l’expérience, les fréquences observées se
rapprochent de la probabilité théorique. En conséquence, la moyenne des résultats obtenus se
rapproche de l’espérance de la loi de probabilité de X. L’espérance est donc la moyenne que l’on peut
espérer en répétant l’expérience un grand nombre de fois.
Pour le jeu proposé par exemple, l’espérance de  signifie que l’on peut espérer gagner en moyenne 


de jetons par partie (ou 1 jeton toutes les 3 parties). Ce qui en fait un jeu favorable au joueur.
Un jeu équitable a une espérance de 0.
Point-méthode 22 : Calculer et interpréter l’espérance d’une variable aléatoire
Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard.
- Si la carte tirée est un as, alors on gagne 10 points.
- Si la carte tirée est une figure (roi, dame ou valet), alors on gagne 3 points ;
- Sinon on perd 5 points.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de points sur une partie.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer et interpréter l’espérance E(X). Ce jeu est-il équitable ?
Solution :
a. X prend les valeurs – 5 ; 3 et 10.
4 1
4 + 4 + 4 12 3
p ( X = 10 ) = =
p(X=3)=
= =
32 4
32
32 8
p(X=−5)=
16 1
=
32 2
On a donc la loi de probabilité suivante :
xi
P
( X = xi )
10
1
2
3
3
8
-5
1
2
b. Pour calculer l’espérance, il suffit de multiplier les xi par chaque probabilité correspondante
dans le tableau de la loi de probabilité.
1
3
1
−1
E ( X ) = × 10 + × 3 + × ( − 5 ) =
= − 0,125
2
8
2
8
Cela signifie qu’en jouant un grand nombre de parties, on peut perdre en moyenne 0,125€ par partie.
E(X)  0 donc ce jeu n’est pas équitable. Il est même défavorable au joueur car E(X) < 0
III.
Répétition d’expériences identiques et indépendantes.
Définition : Deux expériences aléatoires sont considérées comme identiques et indépendantes si
elles ont les mêmes issues et les mêmes probabilités pour chaque issue, et si la réalisation de l’une ne
modifie pas les probabilités des issues de l’autre.
Exemple : Si je lance un premier dé équilibré et j’observe la face supérieure puis que je lance un
second dé équilibré, ces deux expériences sont indépendantes.
Propriété (admise ) : Si A et B sont deux issues d’une expérience aléatoire avec pour probabilités
respectives p(A) et p(B), alors si l’on peut répéter l’expérience de façon indépendante, la probabilité
d’obtenir A puis B est le produit des probabilités : p(A)p(B)
On peut représenter toutes les issues de l’expérience par un arbre pondéré de probabilité :
Point-méthode 23 : Schématiser à l’aide d’un arbre.
Une étude statistique a montré que, dans un petit centre hospitalier de province, pour chaque heure de
service de nuit, la probabilité d’avoir deux urgences est 0,2 (événement noté D), celle d’avoir une seul
urgence est 0,7 (événement noté U), et celle de ne pas en avoir est 0,1 (événement noté Z). On
s’intéresse aux deux premières heures, de 21h à 23h et on admet que les survenues d’urgences durant
ces heures sont indépendantes.
X est la variable aléatoire donnant le nombre d’urgence pendant ces deux heures.
a. Représenter cette situation par un arbre pondéré
b. Calculer la probabilité d’avoir exactement 3 urgences pendant ces deux heures.
c. Calculer la probabilité d’avoir un moins une urgence pendant ces deux heures.
Solution :
a. On crée un arbre avec toutes les issues possibles. Un niveau par heure (donc 2 niveaux ici).
Les expériences sont indépendantes, donc les probabilités seront les mêmes sur chaque niveau.
On peut aussi ajouter une colonne pour les valeurs de X en fin d’arbre.
b. L’événement « il y a exactement 3 urgences » correspond à X=3. On remarque qu’il y a deux
chemins menant à cette valeur.
o On calcule la probabilité de chaque chemin : c’est le produit des probabilités portées
par les branches du chemin.
o On additionne les probabilités de chacun des chemins.
P ( X = 3 ) = 0,2 × 0,7 + 0,7 × 0,2 = 0,28
c. L’événement « au moins une urgence » correspond à X≥ 1. Il est plus facile de calculer
l’événement contraire qui est : X < 1 (qu’on peut écrire aussi X≤ 0 ou encore X=0).
P ( X = 0 ) = 0,1 × 0,1= 0,01
Donc P ( X ≥ 1 ) = 1 − P ( X = 0 ) = 0,99