Algèbre linéaire II Série 21

Algèbre linéaire II
Cours du Prof. Dr. Anand Dessai
Rafael Guglielmetti, Muriel Galley
http ://homeweb1.unifr.ch/guglielr/pub/teaching.html
Série 21
À rendre avant le mercredi 1 mai, 12h00
Un test facultatif aura lieu le 24 mai.
Exercice 1 (Une base de Jordan, 4 points)
Soit
V
n et soit T : V −→ V un endomorphisme ayant
pour
pT (t) = (λ − t)n . Supposons de plus que dim Eig(T ; λ) = 1. On
un espace vectoriel de dimension
polynôme caractéristique
considère les vecteurs suivants :
vn tel que (T − λ id)n−1 (vn ) 6= 0 ;
i
vn−i := (T − λ id) (vn ) pour tout 1 ≤ i ≤ n − 1.
Montrez que {v1 , . . . , vn } est une base de Jordan de T .
Exercice 2 (Jordanisation de matrices, 4 points)
1. Considérez la matrice suivante

5
4
2
1
0
1 −1 −1
.
A=
−1 −1 3
0
1
1 −1 2

Trouver une réduite de Jordan de
A.
Remarque. Vous pouvez déterminez la réduite de Jordan uniquement à partir des polynômes
pA
et
MA .
2. Considérez la matrice suivante


2 −2 2
A = 2 2 2  .
1 1 2
a) Trouvez des matrices
S
et
J
telles que
A = S −1 ·J ·S , où J
est une matrice constituée
de blocs de Jordan.
b) Calculez
An
pour tout
n ∈ N.
Exercice 3
V un espace vectoriel
réel et h , i : V × V → R un produit scalaire
p
k · k : V → R, v 7→ hv, vi, et métrique d : V × V → R, d(v, ṽ) := kṽ − vk.
Soit
sur
V
avec norme
Montrez les points
suivants :
1.
hv, wi = 12 (kv + wk2 − kvk2 − kwk2 )
pour tous
v, w ∈ V .
Remarque : On appelle parfois cette égalité l'égalité de Pythagore. Voyez-vous pourquoi ?
2.
kv + wk2 + kv − wk2 = 2kvk2 + 2kwk2
pour tous
v, w ∈ V .
3.
d(v, z) ≤ d(v, w) + d(w, z)
4.
d(v, z) ≥ |d(v, w) − d(w, z)|
pour tous
v, w, z ∈ V .
pour tous
v, w, z ∈ V .
Exercice 4 (Produits scalaires, 4 points)
Lesquelles des opérations dénies ci-dessous sont des produits scalaires dans
1.
hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + 2x3 y3
2.
hx, yi = x1 y1 + x2 y2 − 3x2 y3 + x3 y2 + x3 y3
3.
hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + x23 y2
Soit
R3 ?
n un entier ainsi que a1 , . . . , an ∈ R des nombres réels. Sous quelles conditions l'application :
h−, −i : Rn × Rn −→ R
n
X
(x, y) 7−→
ai xi yi
i=1
est-elle un produit scalaire ?
Exercice 5 (Un produit scalaire diérent, 2 points)
V = C 0 ([a, b], R) l'espace vectoriel (de dimension
dans R. Soit α > 0 nombre réel. Montrer que
Soit
innie) des fonctions continues de
[a, b]
Φ : V × V −→ R
Z
(f, g) 7−→ α ·
b
f (x)g(x)dx
a
est un produit scalaire.
Exercice 6 (Vrai ou faux, 0 points)
angularisable pour tout
2. Soit
V
1. Soit
A une matrice triangularisable. Alors An
n ≥ 1.
un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire
h−, −i.
Soit
T : V −→ V
application linéaire inversible. Alors l'application
V × V −→ R,
(v, w) 7−→ hT v, T wi
est un produit scalaire.
3. Soit
V
comme dans l'exercice 4. Alors, pour toutes fonctions
f, g ∈ V
on a
Z b
Z b
1/2 Z b
1/2
2
2
f (x)g(x)dx ≤
f (x) dx
·
g(x) dx
a
est tri-
a
a
une