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Feuille d'exercices 13
PSI
Exercice 1 :
1) a) Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un polynôme Tn tel que :
∀θ ∈ R, Tn (cos(θ)) = cos(nθ)
b) Quel est le degré de Tn ?
2) Montrer queZ l'application dénie pour P, Q ∈ R[X] par :
1
P (t)Q(t)
√
dt est un produit scalaire.
1 − t2
−1
3) Soient m, n ∈ N, calculer < Tm , Tn >. Que peut-on en déduire ?
Exercice 2 : D'après CCP
2
1) Montrer que
Z l'application dénie pour f, g ∈ C ([0, 1], R) par :
< f, g >=
Exercice 6 : Une fonction continue à valeurs complexes est dite de carré
intégrable sur un intervalle I lorsque |f 2 | est intégrable sur I .
1) a) Montrer que l'ensemble E des fonctions continues de carré
intégrable sur I est un C-espace vectoriel.
b) Montrer que
Z l'application dénie pour f, g ∈ E par :
f (t)g(t)dt est un produit scalaire et préciser la norme
< f, g >=
< P, Q >=
1
2012 - 2013
f (t)g(t) + f 0 (t)g 0 (t)dt est un produit scalaire.
0
2) Soit V = {f ∈ C 2 ([0, 1], R), g(0) = g(1) = 0} et
W = {f ∈ C 2 ([0, 1], R), f 00 = f }. Montrer que V et W sont des
espaces vectoriels supplémentaires et orthogonaux dans C 2 ([0, 1], R).
Exercice 3 : Déterminer l'orthogonal des matrices diagonales, puis celui
des matrices symétriques dans M2 (R) muni du produit scalaire
canonique.
Exercice 4 : Soit p un projecteur d'un espace E préhilbertien réel.
Montrer que p est orthogonal si et seulement si : ∀x ∈ E, kp(x)k ≤ kxk
Exercice 5 : Soient m, n ∈ N∗
1) Montrer que l'application dénie pour A, B ∈ Mn,p (C) par :
< A, B >= T r(t AB) est un produit scalaire.
√
2) Montrer que : ∀A ∈ Mn (C), |T r(A)| ≤ n kAk où k.k est la norme
associée au produit scalaire précédent.
I
k.k2 , dite norme de moyenne quadratique, associée à ce produit
scalaire.
2) Montrer que : ∀f, g ∈ E, | < f, g > | ≤ kf k kgk et en déduire que si
(fn ) et (gn ) sont deux suites de fonctions de E convergeant en
moyenne quadratique respectivement vers f et g alors < fn , gn >
converge vers < f, g >.
Exercice 7 : D'après
CCP
On admet que l'application dénie pour
A, B ∈ Mn (R) par : < A, B >= T r(t AB) est un produit scalaire.
a b
1) a) On note F =
, (a, b) ∈ R2 . Montrer F est un
−b a
sous-espace vectoriel de M2 (R).
b) Déterminer une base orthonormée de F ⊥ .
c) Déterminer le projeté orthogonal de J =
1 1
1 1
sur F ⊥ .


1 2 3


2) a) Exprimer la distance de M =  0 1 2  à S3 (R).
1 2 3
b) Montrer que l'ensemble H des matrices de trace nulle est un
sous-espace vectoriel de Mn (R) et donner sa dimension.
Déterminer la distance à H de la matrice J dont tous les
coecients sont égaux à 1.
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis