PRODUIT SCALAIRE – PRODUIT VECTORIEL

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PRODUIT SCALAIRE – PRODUIT VECTORIEL
I. PRODUIT SCALAIRE
I.1Calcul du produit scalaire
Soit
()
,,ijk
G
GG
une base orthonormée directe.
Il y a deux méthodes pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs :
1
11
1
x
Vy
z
G
et
2
22
2
x
Vy
z
G
.
• Méthode 1 : définition du produit scalaire :
(
)
12 1 2 12
cos ,VV V V VV⋅= × ×
G
GGG GG
• Méthode 2 : utilisation des coordonnées dans une base orthonormée directe : 12 12 12 12 VV xx yy zz⋅= + +
G
G
Il faut bien réfléchir pour savoir quelle méthode donnera les calculs les plus simples.
I.2 Première propriétés
a) 12 21
VV VV⋅=⋅
GG GG
le produit scalaire est commutatif.
b)
• Si 1 V
G
et 2 V
G
sont orthogonaux, alors 12 0VV
⋅
=
G
G
. Attention, la réciproque est fausse.
• Si 12 0VV⋅=
GG
⇔
()
12 12
cos , 0VV VV×× =
G
GGG
⇔
10V
=
G
G
ou 20V
=
G
G
ou 1 V
G
et 2 V
G
sont orthogonaux
II. PRODUIT VECTORIEL
II.1 Définition – Interprétation géométrique de la norme
Le produit vectoriel de 1 V
G et 2
V
G, noté 12
^VV
GG
est le vecteur V
G
tel que :
• 12 sinVVV
α
=××
GGG avec
()
12
,VV α =
GG
• Quand 1 V
G et 2
V
G sont non nuls, on a 1
VV⊥
GG
et 2 VV
⊥
G
G
• Le trièdre
()
12
,,VVV
GG G est direct. On peut appliquer la règle de la main droite : les 4 doigts de la main sont
dans la direction de 1
V
G, la paume de la main est dans la direction de 2
V
G
. Le pouce donne alors la direction de
V
G.
On a souvent besoin d’interpréter graphiquement la norme du produit vectoriel. Soit ABCD le parallélogramme
construit à partir des vecteurs 1
V
G et 2
V
G
.
L’aire du parallélogramme ABCD vaut : base × hauteur = AB × CH = 12
sin sinAB AC V V
α
α ×× =×× .
L’aire du parallélogramme ABCD vaut : 12 ^VV
G
G
V
G
2
V
G
1
V
G
α
2
V
G
1
V
G
A
B
C
D
H
α
2
A
CV
=
J
JJG
G
1
A
BV=
JJJGG

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II.2 Premières propriétés
a) 12 21
^^VV VV=−
GG GG
le produit vectoriel n’est pas commutatif.
b)
• Si 1 V
G
et 2 V
G
sont colinéaires, alors 12 ^0VV
=
G
GG
. Attention, la réciproque est fausse.
• Si 12 ^0VV=
G
GG
⇔
()
12 12
sin , 0VV VV×× =
G
GGG
⇔
10V
=
G
G
ou 20V
=
G
G
ou 1 V
G
et 2 V
G
sont colinéaires
II.3 Linéarité
() ( )
12 12
^^VV VV λλ =
GG GG
avec
λ
∈\
()
12 1 2
^^^uVV uVuV+= +
GG G G
GGG
II.4 Coordonnées dans une base orthonormée directe
Soit
()
,,ijk
G
GG
une base orthonormée directe.
^ijk=
G
GG
^jk i=
G
GG
^ki j=
GGG
Moyen mnémotechnique pour retrouver sans schéma ces relations :
écrire ,,,,,ijkijk
GG
GG GG
. Pour calculer ^ki
GG
par exemple, i
G
est à droite de k
G
dans cette liste, on aura un signe +
Si on veut calculer ^ji
GG
, on aura un signe – car i
G
est à gauche de j
G
.
11 1 1
Vxiyjzk=++
G
GGG
et 22 2 2 Vxiyjzk=++
G
GGG
()
(
)
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 12 12 12 12 1 2
^^V V xi yj zk xi y j zk xyk xz j yxk yzi zx j zyi=++ ++ = − − + + −
GGGG
GG GG GG G G G G
On obtient :
12 1 2
12 1212
12 12
^
yz zy
VV zx xz
x
yyx
−
=−
−
GG
. On retient ce résultat avec les déterminants :
12
12
12
12
12 1 2
12
12
12
12
det
^^det
det
yy
zz
xx
x
x
VV y y zz
zz
x
x
yy
+
==−
+
GG
.
Le premier déterminant s’obtient en « rayant » la première ligne (x1 et x2). Le deuxième déterminant s’obtient
en « rayant » la deuxième ligne (y1 et y2). Le troisième déterminant s’obtient en « rayant » la troisième ligne (z1
et z2).
Retenir que l’on a des signes ALTERNÉS : +, – et +.
II.5 Double produit vectoriel
()()()
^^uvw uwvuvw=⋅ −⋅
GGG GGG GGG
() ()()
^^uv w uwv vwu=⋅ −⋅
GG G GGG GGG
Moyen mnémotechnique : « commencer par vecteur milieu et mettre un signe – devant l’autre vecteur de la
parenthèse du double produit vectoriel. Il reste à rajouter les produits scalaires des deux autres vecteurs ».
II.6 Bilan
Il y a deux méthodes pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs.
• Méthode 1 : définition du produit vectoriel.
• Méthode 2 : utilisation des coordonnées dans une base orthonormée directe.
Il faut bien réfléchir pour savoir quelle méthode donnera les calculs les plus simples.
k
G
i
G
j
G