Cours d`introduction aux Probabilités - IMJ-PRG

Cours d’introduction aux Probabilités
C. Fiszka, Université Paris VII
Cette note résume le cours de Probabilités donné à Polytech’ en 2013 à la section ST.
Table des matières
1 Bases des probabilités 2
1.1 Intérêts des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Axiomatique de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Vocabulaire................................ 3
1.2.2 Une mesure de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Le cas d’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Probabilités conditionnelles, indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Indépendance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 FormuledeBayes............................. 6
2 Variables aléatoires réelles 7
2.1 Loi de probabilité d’une v.a.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Définition d’une v.a.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Loideprobabilité ............................ 7
2.2 Fonctionderépartition.............................. 8
2.3 Définition d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Définition d’une variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Quantiles ..................................... 9
2.6 V.a de loi ϕ(X).................................. 10
2.7 Indépendance de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.8 Espérance,moments ............................... 10
2.8.1 Définition et propriétés de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.8.2 Définition et propriétés des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8.3 Inégalité de Bienaymé-Tchebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9 Lois usuelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9.1 Loi uniforme U[[a,b]] ............................ 12
2.9.2 Loi de Bernoulli B(1, p)......................... 12
2.9.3 Loi Binomiale B(n, p).......................... 12
2.9.4 Loi de Poisson P(λ)........................... 13
2.9.5 Loigéométrique ............................. 13
2.9.6 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10 Lois usuelles continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10.1 Loi uniforme U[a,b]............................ 14
2.10.2 Loi exponentielle E(λ).......................... 14
1

2.10.3 Loi normale N(µ, σ)........................... 14
2.11 Convolution, loi d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11.1 Qu’est ce qu’une convolution ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11.2 Propriétés du produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11.3Sommedev.a.r.............................. 15
3 Fonctions caractéristiques et convergences de variables aléatoires 16
3.1 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Définition................................. 16
3.1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.3 Exemples usuels et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Convergences de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1 Convergence presque-sûrement, en probabilité et quadratique . . . . 17
3.2.2 ConvergenceenLoi............................ 18
3.2.3 Liens entre ces différentes convergences . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Loi faible des grands Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3 Loi forte des grands Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.1 La Planche de Galton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Le théorème de De Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.3 Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Exemples d’intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 Autres théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 Complément : le lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Couples de variables aléatoires réelles 24
4.1 Fonctions de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Lois conjointes et marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Covariance et correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Compléments 26
5.1 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Espérances conditionnelles et Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 ChaînesdeMarkov................................ 27
5.4 Entropie(deShannon).............................. 28
1 Bases des probabilités
1.1 Intérêts des probabilités
Des applications nombreuses :
– Vie quotidienne (temps d’attente à une caisse...)
– Aux statistiques (sondages d’opinion...)
– Théorie des jeux (estimation chances de gain...)
– Économie/Finance (prévision de l’évolution du marché...)
– Automatisme (dans la prise de décision...)
– Physique (mécanique statistique)...
– Biologie (mouvement brownien d’une particule de pollen...)
2

– Branche importante des Mathématiques (W.Werner médaille Fields 06, nouveaux
types d’énoncés valables presque partout...)
– etc...
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1.2 Axiomatique de Kolmogorov
Exemple historique : « le grand scandale » du Chevalier de Méré
Le chevalier de Méré est un noble et écrivain français très amateur de jeu d’argent.
Contemporain de Blaise Pascal, il s’opposa à ce dernier sur un problème de jeu de dés :
Jeu 1 : Sur un lancer de 4 dés, le chevaliergagne si au moins un "6" apparaît.
Jeu 2 : On lance 24 fois une paire de dés et il gagne si un "double 6" apparaît.
A la grande surprise du chevalier, le second jeu n’est pas favorable alors que le premier l’est.
Ce problème, et d’autres, seront résolus par Pascal et Fermat dans une série de 5 lettres de 1651
à 1654.
Je n’ai pas eu le temps de vous envoyer la
démonstration d’une difficulté qui étonnait fort
M. de Méré, car il a très bon esprit, mais il n’est
pas géomètre (c’est, comme vous savez, un grand
défaut) (...) je n’ai jamais pu l’en tirer. Si vous
pouviez le faire, on le rendrait parfait. Extrait
de la lettre du 29 juillet 1654 de Pascal à Fermat
mentionnant le problème du chevalier de Méré.
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1.2.1 Vocabulaire
Andreï Kolmogorov (1903-1987) est un ma-
thématicien soviétique et russe. Il est l’auteur
de nombreux résultats dans des domaines très
variés : probabilité, topologie, systèmes dyna-
miques (théorie K.A.M)...
– En 1933
– Manuel des Fondements de la théorie des
probabilités, en allemand Grundbegriffe
der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
•Partons d’une « expérience aléatoire » :
– L’ensemble des issues possibles sera appellé l’univers des possibles. On le note Ω.
Attention : il existe plusieurs choix possibles de Ω.
– Un évenement est une partie de Ω.
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3

Langage probabiliste Notation Langage ensembliste
Issue ω(ω∈Ω) élément de Ω
Événement A A ⊂Ω (A⊂Ω) partie de Ω
Aest réalisé ω∈A
Événement contraire (non-A)A= Ω \Acomplémentaire
Aet B A ∩Bintersection
Aou B A ∪Bunion
Événements incompatibles A∩B=∅
Aimplique l’événement B A ⊂Binclusion
Événement impossible ∅ensemble vide
Événement certain Ωespace entier
Système complet Ω = SnAnpartition
d’événements Anet Ai∩Aj=∅
Dans le cas du premier jeu du chevalier de Méré, on a par exemple
Ω1={1,...,6}4⊂R4, ω = (1,2,2,6), Ai:"le premier lancer est i"
−•−
– Une tribu (ou algèbre des événements) est la donnée de E⊂ P(Ω) tels que :
–Ω∈E.
– Stabilité par le complémentaire.
– Stabilité par union finie ou dénombrable.
– Un espace probabilisable est la donnée d’un couple (Ω, E)avec :
–Ωun univers des possibles.
–Eune tribu des événements sur Ω.
Remarque : dans le cas où Ωest un ensemble fini, on choisira en général
E=P(Ω)
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1.2.2 Une mesure de probabilité
Soit (Ω, E)un espace probabilisable.
•Une probabilité est une application Ptelle que
–P:E→[0,1]
–P(Ω) = 1
– Pour toute suite finie ou dénombrable d’événements deux à deux incompatibles, on a :
P [
n∈I
An!=X
n∈I
P(An)
•Un espace probabilisé est la donnée d’un triplet : (Ω, E, P)
– espace probabilisable (Ω, E)
–Pune probabilité sur E.
−•−
Deux cas particuliers vont concentrer notre attention :
4

– Le cas fini où la probabilité est une somme pondérée de Dirac
P=X
i∈I
piδxioù δx(A) = 1si x∈A
0si x /∈A
– Le cas absolument continu par rapport à la mesure de Lebesgue.
P(A) = ZA f(x) dx
Dans toute la suite, nous nous limiterons à l’étude de ces deux cas. Le cadre général
suppose des notions de théorie de la mesure, une probabilité étant une mesure de
masse totale 1(µ(Ω) = 1).
Remarque* : considérons le cas où Ω = [0,1] muni de la mesure de Lebesgue, on ne peut
choisir directement E=P(Ω) à l’instar du cas fini. En effet, même si elles sont "exeptionnelles", il
existe des parties de [0,1] qui ne sont pas mesurables (pour la mesure de Lebesgue). C’est une des
raisons à l’introduction de la notion de tribu...
Exemple : dans ce cas, tout singleton est de mesure nulle. Par suite, la propriété d’additivité
permet d’affirmer que P(Q)=0. Autrement dit, lorsqu’on l’on choisit au hasard (et uniformement)
un nombre dans [0,1], on a bien aucune chance de tomber sur un nombre rationnel.
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1.3 Le cas d’équiprobabilité
•Soit Ωde cardinal fini.
On dira qu’il y a équiprobabilité dans le cas où tous les événements élémentaires ont même
probabilité.
Si Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn} ⇒ P(ωj) = 1
n
ou encore ∀A∈E:
P(A) = Card(A)
Card Ω =nombre cas favorables nombre cas possibles
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Rappels en combinatoire :
– Nombre de permutations d’un ensemble à néléments : n!
– Nombre de p-uplets d’un ensemble à néléments : np
– Nombre de p-arrangements d’un ensemble à néléments :
Ap
n:= n!
(n−p)! =n(n−1) . . . (n−p+ 1)
– Nombre de parties d’un ensemble à néléments : 2n
– Nombre de parties à kéléments d’un ensemble à néléments :
n
k:= n! k!(n−k)!
– Rappelons aussi la formule du binôme de Newton :
(a+b)n=
n
X
k=0 n
kakbn−k
−•−
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