FICHE 4 : VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 2 LOIS

FICHE 4 : VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 2
LOIS USUELLES
1) LOI UNIFORME
EXERCICE
-On lance deux dés ordinaires non pipés un rouge et un bleu. Soit X le numéro du bleu et Y la
variable aléatoire qui vaut 0 si le rouge donne un résultat pair et 1 sinon. Donner les tableaux
donnant les lois de probabilité de chacune. Ces variables sont-elles indépendantes ?
CORRECTION+ définitions de cours
Film : loi uniforme
2) LOI DE BERNOULLI – LOI BINOMIALE
EXERCICE
-Plantage-replantage : On plante dans un pot une graine pour laquelle la probabilité de germer
au bout d’une semaine est a = 0.7. Au bout d’une semaine si la graine n’a pas germé, la graine
n’est plus bonne et on replante une nouvelle graine. Soit S la variable aléatoire qui vaut 1 si
on obtient une plante au bout de 2 semaines et 0 sinon.
Donner la loi de S, son espérance et sa variance.
On dispose de 10 pots comme précédemment, on appelle X le nombre de plantes obtenues en
deux semaines. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
CORRECTION+ Propriétés de cours
Film :loi binomiale-propriétés
POUR S’ENTRAINER
Dans un jeu de 52 cartes, on prélève cinq cartes avec remise, et on compte le nombre X de
piques obtenus. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
3) LOI HYPERGEOMETRIQUE
EXERCICE
Une assemblée comporte 8 hommes et 9 femmes.
On prélève au hasard un groupe de 6 personnes (donc sans remise) dans cette assemblée.
Soit X le nombre de femmes du groupe.
Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
CORRECTION+ définitions de cours
Film :loi hypergéométrique
POUR S’ENTRAINER
Dans un jeu de 52 cartes, on prélève cinq cartes sans remise, et on compte le nombre X de
piques obtenus. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
4) LOI GEOMETRIQUE
EXERCICE
-Plantage-replantage (suite) : On plante dans un pot une graine pour laquelle la probabilité de
germer au bout d’une semaine est a = 0.7. Au bout d’une semaine si la graine n’a pas germé,
on replante une nouvelle graine, si au bout de 2 semaines elle n’a toujours pas germé, on
recommence encore… et ce jusqu’à obtenir un succès.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de graines que l’on a dû planter pour avoir enfin
le succès. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
CORRECTION+ définitions de cours
Film :loi géométrique
POUR APPROFONDIR ET S’ENTRAINER
Dans un groupe de militants d’un parti politique, 10% ont décidé de voter blanc aux
prochaines élections. Un journaliste arrive et interroge des personnes au hasard, l’une après
l’autre, jusqu’à ce qu’il obtienne une personne décidée à voter blanc, alors il s’arrête, il a ce
qu’il désirait. Soit X le nombre total de personnes que le journaliste a interrogées.
Donner la loi de X et le calcul de son espérance. En moyenne, combien le journaliste doit-il
interviewer de gens pour avoir ce qu’il veut ?
Quelle est la probabilité pour que X soit strictement supérieur à 5 ?
On suppose cette fois que le groupe est suffisamment important pour que les tirages puissent
être supposés indépendants.
5) LOI DE POISSON
EXERCICE
On compte le nombre X de voitures passant sur une petite route entre 19h et 19h15.
On pense que l’on peut modéliser X par une loi de poisson de paramètre 12.
Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
Quelle est la probabilité que X dépasse 5 ?
CORRECTION+ définitions de cours
Film :loi de poisson
POUR S’ENTRAINER
Approcher une loi binomiale par une loi de poisson : Un voyagiste dispose de 100 places
dans un avion. Il sait que pour chaque voyageur la probabilité de ne pas se présenter au départ
est de 3%. S’il vend 103 places alors qu’il n’en dispose que de 100, quelle est la probabilité
qu’il se trouve en situation de surbooking ?