Chapitre 6: Equations différentielles linéaires

Universit´e de Bourgogne Licence de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques Compl´ements d’analyse
Chapitre 6: Equations diff´erentielles lin´eaires
1. Introduction
Soit E=Knun espace de dimension finie sur C, muni d’une norme k k. On se donne un
intervalle Ide Ret deux applications continues:
A:I−→ End(E) = Mn(K), B :I−→ E.
On appelle ´equtaion diff´erentielle lin´eaire une ´equation de la forme:
X0(t) = A(t)X(t) + B(t).
La fonction Best le second membre, l’´equation sans second membre est l’´equation X0=A(t)X.
Une solution de l’´equation est une fonction ϕ:I−→ E, de classe C1et telle que pour tout t
de I, on ait:
ϕ0(t) = A(t)ϕ(t) + B(t).
Soit t0un point de Iet X0∈E. La solution est dite de condition initiale (t0, X0) si ϕ(t0) = X0.
Nous ne cherchons ici que des solutions sur tout l’intervalle I. En fait on va voir que pour tout
t0et X0, il y a une solution et une seule qui s’´etend `a tout I. On dit que l’´equation lin´eaire est
d´eterministe.
2. R´esolution de l’´equation sans second membre
Soit Jun segment inclus dans Iet contenant t0. On note Cl’espace de Banach
C= (C(J, E),k k∞),kfk∞= sup
t∈J
k(t)k.
Dans un premier temps, on va r´esoudre l’´equation sans second membre sur J. Pour ceci on
prend s∈Jon d´efinit l’int´egrale d’une fonction vectorielle fd´efinie et continue sur Jen int´egrant
composante par composante et on regarde l’application:
F:C −→ C,(F(ϕ)) (t) = X0+Zt
t0
A(s)ϕ(s)ds.
Il est calir que (F(ϕ)) (t0) = X0. Si ϕest un point fixe de F, c’est `a dire si l’on a:
F(ϕ) = ϕ,
1

alors ϕest d´erivable et sa d´eriv´ee en t∈Jest
ϕ0(t) = (F(ϕ))0(t) = A(t)ϕ(t).
Donc les points fixes de Fsont des solutions de l’´equation sans second membre X0(t) = A(t)X(t),
de condition initiale (t0, X0).
R´eciproquement, si ϕest une solution de l’´equation sans second membre, de condition initiale
(t0, X0), alors:
Zt
t0
A(s)ϕ(s)ds =Zt
t0
ϕ0(s)ds =ϕ(t)−ϕ(t0) = ϕ(t)−X0
et F(ϕ) = ϕ. Les solutions de l’´equation sans second membre, de condition initiale (t0, X0) sont
donc exactement les points fixes de F.
On va chercher ces points fixes par une m`ethode d’approximations successives: on pose ϕ0(t) =
X0pour tout tde Jpuis pour tout k≥1,
ϕk=F(ϕk−1).
Comme la fonction t7→ k|A(t)k| est continue, elle est major´ee sur J. Il existe M > 0 tel que
k|A(t)k| ≤ Mpour tout tde J. De mˆeme Jest born´e et il existe T > 0 tel que |t−t0| ≤ Tpour
tout tde J.
Lemme (Une estimation)
Pour tout tde Jet tout k≥1, on a:
kϕk(t)−ϕk−1(t)k ≤ kX0kMk|t−t0|k
k!.
En particulier, on a
kϕk−ϕk−1k∞≤ kX0kMkTk
k!.
Preuve
D’abord en k= 1, on a:
kϕ1(t)−ϕ0(t)k=kϕ1(t)−X0k=
Zt
t0
A(s)X0ds
≤Zt
t0
k|A(s)k| kX0kds ≤M|t−t0|kX0k.
(Regarder s´epar´ement les cas t > t0et t < t0). la propri´et´e est vraie pour k= 1. Supposons qu’elle
soit vraie en ket passons au rang k+ 1.
Le mˆeme calcul donne si t > t0
kϕk+1(t)−ϕk(t)k=
Zt
t0
A(s)ϕk(s)ds −Zt
t0
A(s)ϕk−1(s)ds
≤Zt
t0
k|A(s)k| kϕk(s)−ϕk−1(s)kds ≤Zt
t0
MMk(s−t0)k
k!kX0kds
≤Mk+1
k!(s−t0)k+1 k+ 1 t
s=t0
=Mk+1(t−t0)k+1
(k+ 1)! .
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Le calcul dans le cas t < t0est similaire et laiss´e en exercice. Ceci prouve le lemme.
Coroallaire (La suite (ϕk) est de Cauchy)
La suite de fonctions (ϕk)est une suite de Cauchy dans l’espace de Banach C.
Cette suite converge donc uniform´ement vers une fonction ϕde C. On a F(ϕ) = ϕ.
Preuve
On a vu que pour tout k≥1,
kϕk−ϕk−1k∞≤ kX0kMkTk
k!.
Donc, pour tout `≥0:
kϕk+`−ϕk−1k∞≤ kϕk+`−ϕk+`−1k∞+. . . +kϕk−ϕk−1k∞
≤ kX0kMkTk
k!+. . . +Mk+`−1Tk+ell−1 (k+`−1)! +Mk+`Tk+` (k+`)! 
≤ kX0kX
r≥k
MrTr
r!=kX0kRk.
O`u Rkest le reste `a l’ordre kde la s´erie enti`ere Pr
MrTr
r!=eMT . Donc Rktend vers 0 si ktend
vers l’infini et
∀ε > 0,∃Ktel que (∀k
∀`,k≥K `≥0=⇒ kϕk+`−ϕkk∞≤ kX0kRk≤ε.
La suite (ϕk) est de Cauchy dans Ccomplet, elle converge vers ϕappartenant `a C.
La suite (ϕk+1) tend aussi vers ϕ. Mais cette suite est aussi la suite (F(ϕk)).
Montrons que l’application F:C −→ C est continue. En fait, Fest une application affine, de
la forme F(ϕ) = X0+G(ϕ) avec
(G(ϕ)) (t) = Zt
t0
A(s)ϕ(s)ds
et Gest ´evidemment lin´eaire. Pour montrer que Fest continue pour la norme k k∞, il suffit de
montrer que Gest born´ee. Mais on a si t > t0:
k(G(ϕ)) (t)k ≤ Zt
t0
kA(s)ϕ(s)kds ≤M|t−t0|kϕk∞
et la mˆeme in´egalit´e est vraie si t < t0. Donc Gest lin´eaire et continue et k|Gk| ≤ M T .
Donc Fest continue et (F(ϕk)) tend vers F(ϕ). On a `a la limite:
F(ϕ) = ϕ,
ϕest une solution de notre ´equation sans second membre sur le segment Jet de condition initiale
(t0, X0).
Proposition (Unicit´e de la solution)
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L’application Fa un seul point fixe, ϕ.
L’´equation sans second membre a une et une seule solution de condition initiale (t0, X0), d´efinie
sur J.
Preuve
Si ϕet ψsont deux points fixes, on a pour tout k:
Fk(ϕ)−Fk(ψ) = Fk−1(ϕ)−Fk−1(ψ) = . . . =ϕ−ψ.
Mais le mˆeme calcul que ci-dessus nous donne, pour tout t > t0de J:
kϕ(t)−ψ(t)k=kFk(ϕ)(t)−Fk(ψ)(t)k
≤Zt
t0
k|A(s)k|k Fk−1(ϕ)(s)−Fk−1(ψ)(s)kds
≤Zt
t0
MkFk−1(ϕ)(s)−Fk−1(ψ)(s)kds.
Donc, par r´ecurrence sur k, que:
kϕ(t)−ψ(t)k=kFk(ϕ)(t)−Fk(ψ)(t)k ≤ kϕ−ψk∞
Mk(t−t0)k
k!.
En faisant tendre kvers l’infini, on en d´eduit que ϕ(t) = ψ(t).
Les mˆemes in´egalit´es sont vraies pour t < t0. Donc ϕ=ψet la solution sur Jest unique.
Corollaire (Existence et unicit´e sur I)
L’´equation sans second membre a une solution et une seule, d´efinie sur tout I, de condition
initiale (t0, X0). Cette solution prolonge toutes les solutions de condition initiale (t0, X0), d´efinies
sur un segment J⊂Icontenant t0.
Preuve
Comme on a une unique solution ϕJde condition initiale (t0, X0) sur tout segment J⊂I, on
peut poser pour chaque tde I,
ϕ(t) = ϕJ(t)
pour tout segment Jcontenant t0et t. En efeet, par unicit´e de la solution sur le segment J∪J0,
ce vecteur ne d´epend pas du choix de J:
Pour tout s∈J,ϕJ(s) = ϕJ∪J0(s) et pour tout sde J0,ϕJ0(s) = ϕJ∪J0(s). Donc en t,
ϕJ(t) = ϕJ0(t).
La fonction ϕest ainsi d´efinie sur tout I, v´erifie ϕ0(t) = A(t)ϕ(t) pour tout tde Iet ϕ(t0) = X0.
C’est une solution sur Ide condition initiale (t0, X0).
Si ψest une autre solution, sur tout segment J⊂Icontneant t0, on a ψ|J=ϕJdonc finalement
ϕ(t) = ψ(t). La solution est unique.
3. La r´esolvante
Pour chaque t0∈Iet chaque t∈I, on regarde ici l’application Rt
t0qui au vecteur X0associe
la valeur ϕ(t), `a l’instant tde la solution de condition initiale (t0, X0). Cette application de Evers
Es’appelle la r´esolvante de l’´equation sans second membre.
Proposition (Rt
t0est lin´eaire et inversible)
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L’application Rt
t0:E−→ Eest une application lin´eaire et inversible.
On a Ru
t◦Rt s=Ru spour tout s,t,ude I.
Preuve
La lin´earit´e vient directement des d´efinitions. Si X1et X2sont deux vecteurs de E, la solution
ψde l’´equation sans second membre de condition initiale (t0, λX1+µX2) est l’unique fonction
d´erivable sur Itelle que
(ψ0(t) = A(t)ψ(t)∀t∈I,
ψ(t0) = λX1+µX2.
Mais si ϕ1et ϕ2sont les solutions de conditions initiales respectives (t0, X1) et (t0, X2) et si on
regarde la fonction t7→ λϕ1(t) + µϕ2(t), on voit que:
(λϕ1+µϕ2)0(t) = λA(t)ϕ1(t) + µA(t)ϕ2(t)∀t∈I,
=A(t) (λϕ1(t) + µϕ2(t))
(λϕ1+µϕ2) (t0) = λX1+µX2.
Par unicit´e de la solution, on a donc pour tout t λϕ1(t) + µϕ2(t) = ψ(t) donc
Rt
t0(λX1+µX2) = ψ(t) = λϕ1(t) + µϕ2(t) = λRt t0X1+µRt t0X2.
Rt
t0est lin´eaire.
Si s,tet usont trois points de I, par d´efinition de la r´esolvante, Ru
t(Rt sX) est la valeur `a
l’instant ude la solution ϕtelle que ϕ(t) = Rt
sXest la valeur `a l’instant tde la solution ψtelle
que ψ(s) = X. On a ϕ(t) = ψ(t) donc par unicit´e, ϕ=ψdonc `a l’instant u
Ru
t(Rt sX) = ϕ(u) = ψ(u) = Ru sX, Ru t◦Rt s.
Par d´efinition de la r´esolvante, on a Rs
s=idE. Donc Rt sest inversible et (Rt s)−1=Rs t.
Remarque
Il est facile de voir que, si on fixe t0, l’application t7→ Rt
t0est aussi solution d’une ´equation
diff´erentielle sans second membre: l’´equation de condition initiale (t0, idE):
(R0(t) = A(t)◦R(t)
R(t0) = idE.
En effet consid´erons l’application A(t) de L(E) dans L(E) qui `a l’endomorphisme (ou la matrice
si on pr´ef`ere) M∈L(E) associe l’endomorphisme A(t)◦M. Cette application A(t) est lin´eaire et
continue de L(E) dans L(E). D’autre part, par d´efinition on a:
Rt
sV0=S0 s,V (t) = A(t)Ss,V (t) = A(t)◦Rt sV.
Donc pour tout t:
Rt
s0=A(t)◦Rt s=A(t)Rt s.
Rt
sest la solution sur Ide cette ´equation diff´erentielle lin´eaire (sans second membre), de condition
initiale Rs
s=idE.
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