Fiche méthodologique Révisions Algèbre linéaire

Fiche méthodologique Révisions Algèbre linéaire
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
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⋆Sous-espaces vectoriels
Caractérisation Une partie Ede Knest un sous-espace vectoriel de Knsi et seulement si :
– 0 ∈E,
–∀(x, y)∈E,∀λ∈K,x+λy ∈E.
Si f∈ L(Kn,Kp), ker(f) et Im(f) sont des sous-espaces vectoriels de Knet de Kprespectivement.
Une intersection de sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.
Représentation Il y a essentiellement deux manières de décrire les sous-espaces vectoriels :
– par équations cartésiennes :
E=nX∈KnAX = 0o,
où AX = 0 est un système linéaire homogène à ninconnues et péquations. Le sous-espace vectoriel
Eest donc l’ensemble des solutions d’un système homogène.
Cela revient à identifier Ecomme le noyau de l’application linéaire f:Kn→Kpdont la matrice dans
les bases canoniques (de Knet Kp) est A.
La dimension de Eest n−roù rest le rang 
du système,
de la matrice A,
de l’application linéaire f.
Ce mode de représentation est utile pour les intersections et pour, étant donné un vecteur v∈Kn,
savoir si v∈E.
Exemple:
E=n(x, y, z)∈R3
x+ 2y= 0
x+y+z= 0 o, dans ce cas l’application fest 
R3→R2
(x, y, z)7→ (x+ 2y, x +y+z).
– par des paramètres :
E=nY∈Kn∃X∈Kptel que AX =Yo=nAXX∈Kpo.
C’est donc l’ensemble des seconds membres tel que le système linéaire dont les coefficients sont
Aadmet une solution.
Cela revient à considérer Ecomme l’image de l’application linéaire f:Kp→Kndont la matrice dans
la base canonique est A.
On a alors facilement une partie génératrice du sous-espace vectoriel E, en considérant l’image par f
de la base canonique.
La dimension de Eest le rang de 
du système,
de la matrice A,
de l’application linéaire f.
Exemple:
E=n(a, a +b, a −b)(a, b)∈R2o, dans ce cas l’application fest 
R2→R3
(x, y 7→ (x, x +y, x −y).
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On passe d’un mode à un autre en résolvant ou en échelonnant le système.
Inclusion Si Aet Bsont deux sous-espaces vectoriels de E, pour montrer que A=B, on peut montrer
que
–A⊂B,
– dim(A) = dim(B).
⋆Famille de vecteurs
Sous-espace engendré par une famille Pour une famille de vecteurs F= (u1, u2,...,up) de E,
le sous-espace vectoriel engendré par la famille Fest l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs
(ui)i∈[[1,p]].
C’est donc :
Vect(F) = (p
X
i=1
λiui
(λ1,...λp)∈Kp).
Pour savoir si un vecteur v∈Eest élément de Vect(F) on résout le système
p
X
i=1
λiui=vd’inconnue les
poids (λi)i=1...p.
Famille génératrice Une famille F= (u1, u2,...,up) d’éléments de Eest génératrice de Esi tout
vecteur de Eest combinaison linéaire des vecteurs (uk), i.e. E=V ect(u1, u2,...,up).
Pour montrer qu’une famille est génératrice de E, on peut :
– résoudre le système
p
X
i=1
λiui=xd’inconnue les poids (λi)i=1...p avec un second membre x∈Equel-
conque.
Plus exactement on montre que le système admet une solution en l’échelonnant, il est inutile de le
résoudre sauf si cela est demandé (calcul des coordonnées dans une nouvelle base).
– Si on dispose des coordonnées, on montre : rg(F) = dim(E), en calculant le rang de la matrice de la
famille.
Famille libre Une famille F= (u1, u2,...,up) d’éléments de Eest libre si la seule combinaison linéaire
des vecteurs de Fqui donne le vecteur nul est celle constituée de poids tous nuls.
On a donc :
Fest libre ⇔∀(α1,...αp)∈Kp, p
X
k=1
αkuk= 0 =⇒ ∀k∈[[1, p]] , αk= 0!
⇔∀(α1,...αp)∈Kp, (α1,...αk)6= (0,...,0) =⇒
p
X
k=1
αkuk6= 0!
Pour montrer qu’une famille est libre :
– on résout le système (homogène)
p
X
k=1
αkuk= 0,
– si on dispose des coordonnées, on montre : rg(F) = card(F).
Dire qu’une famille Fest libre revient à dire que c’est une base de Vect(F) (le sous-espace vectoriel qu’elle
engendre).
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Rang Pour une famille de vecteurs F= (u1, u2,...,up) de E, on a :
rg(F) = dim(Vect(F)).
Les propriétés du rang d’une famille sont :
–rg(F)6card(F), avec égalité si et seulement si Fest libre,
–rg(F)6dim(E), avec égalité si et seulement si Fest génératrice de E.
Si l’on dispose des coordonnées des vecteurs, le plus simple est de calculer le rang de la la matrice de cette
famille.
Base et dimension Une famille F= (u1, u2,...,up) d’éléments de Eest une base de Esi Fest libre
et génératrice de E.
La dimension de Eest le cardinal d’une base (le nombre de vecteurs qui forment la base).
Pour une famille Fde Econtenant pvecteurs :
– si Fest libre, p6dim(E),
– si Fest génératrice de E,p>dim(E).
– si p= dim(E) alors Fest libre ⇔ F est génératrice ⇔ F est une base.
Pour montrer qu’une famille est une base :
– on montre qu’elle est libre et génératrice, on en déduit la dimension de E,
– on connaît la dimension de E, il suffit alors de montrer qu’elle est génératrice ou qu’elle est libre. Il
est généralement plus simple de montrer que la famille est libre.
– si on dispose des coordonnées on calcule le rang de la matrice de cette famille.
Lorsqu’une famille est une base de E, tout vecteur de Eadmet des coordonnées dans cette base :
Exemple:
Si E=n(x, y, z)x+y+z= 0o, on voit que B=(1,0,−1),(0,1,−1)est une base de E.
On a alors pour le vecteur (1,2,−3) ∈E:
(1,2,−3)
|{z }
coordonnées dans la base canonique
= 1(1,0,−2) + 2(0,1,−1) = (1,2)B
| {z }
coordonnées dans la base B
.
⋆Applications linéaires
Une application f:E→Fest linéaire si :
∀(x, y)∈E, ∀λ∈K, f (x+λy) = f(x) + λf (y).
Pour montrer qu’une application est linéaire on peut se contenter de l’écrire sous forme matricielle.
Exemple: Pour l’application :
f:
R3→R3
(x, y, z)7−→ (2x+y, x +y−z, y −z),
il suffit d’écrire : 
2x+y
x+y−z
y−z
=
2 1 0
1 1 −1
0 1 −1
x
y
z
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Noyau, image et rang Le noyau de l’application f:E→Fest
Ker(f) = nu∈Ef(u) = 0o.
L’application fest injective si et seulement si Ker(f) = {0},i.e le noyau est réduit au vecteur nul.
On appelle image de fet on note Im(f), l’ensemble des vecteurs de Fqui sont l’image d’un vecteur
par f:
Im(f) = ny∃x∈E, y =f(x)o=nf(x)x∈Eo.
L’application fest surjective si et seulement si Im(f) = F.
Le rang de l’application fest rg(f) = dim(Im(f)).
Le rang se calcule à partir de la matrice de fdans n’importe quelle base en l’échelonnant.
On utilise le rang car :
–fest injective si et seulement si rg(f) = dim(E),
–fest surjective si et seulement si rg(f) = dim(F),
– la dimension du noyau et le rang de fsont liés par le théorème du rang :
dim(ker(f)) + Rg(f) = dim(E).
En particulier si f:E→E,i.e. fes un endomorphisme, on a :
finjective ⇐⇒ fsurjective ⇐⇒ fbijective
On connaît une famille génératrice évidente de Im(f) : si (e1,...,en) est une base de E, alors
Im(f) = V ect(f(e1),...,f(en)).
Ces vecteurs sont ceux que l’on lit dans les colonnes de la matrice de f
Matrice d’une application linéaire Si f:E→F, et si on considère une base B= (e1,...,en) de E
et une base C= (f1,...,fp) de F, la matrice matB,C(f) est la matrice obtenue en mettant dans la colonne
jles coordonnées (dans la base C) du vecteur f(ei). On a donc :
f(e1)f(en)
colonne j:
f(ej)
image des vecteurs de la base Bde E
coordonnées dans la base Cde F
La taille de la matrice est : dim(F) lignes ×dim(E) colonnes.
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Matrice d’une famille de vecteurs Étant donné une famille F={u1, . . . , up}d’un espace vectoriel E
et une base Bde E, la matrice matB(F) est la matrice obtenue en mettant dans la colonne jles coordonnées
(dans la base B) du vecteur uj.
u1up
colonne j:
uj
les vecteurs de la famille F
coordonnées dans la base Bde E
La taille de la matrice est : dim(E) lignes ×card(F) colonnes.
Ces matrices dépendent des bases choisies. Par contre, le rang de ces matrices ne dépend pas du choix de
la base.
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