Fiche méthodologique Révisions Algèbre linéaire

Fiche méthodologique Révisions Algèbre linéaire
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
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CC
BY:
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Sous-espaces vectoriels
Caractérisation Une partie E de Kn est un sous-espace vectoriel de Kn si et seulement si :
– 0 ∈ E,
– ∀(x, y) ∈ E, ∀λ ∈ K, x + λy ∈ E.
Si f ∈ L(Kn , Kp ), ker(f ) et Im(f ) sont des sous-espaces vectoriels de Kn et de Kp respectivement.
Une intersection de sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.
Représentation Il y a essentiellement deux manières de décrire les sous-espaces vectoriels :
– par équations cartésiennes :
n
o
E = X ∈ Kn AX = 0 ,
où AX = 0 est un système linéaire homogène à n inconnues et p équations. Le sous-espace vectoriel
E est donc l’ensemble des solutions d’un système homogène.
Cela revient à identifier E comme le noyau de l’application linéaire f : Kn → Kp dont la matrice dans
les bases canoniques (de Kn et Kp ) est A.



du système,


La dimension de E est n − r où r est le rang
de la matrice A,



de l’application linéaire f.
Ce mode de représentation est utile pour les intersections et pour, étant donné un vecteur v ∈ Kn ,
savoir si v ∈ E.
Exemple:


x + 2y = 0
R 3
n
o
→ R2
E = (x, y, z) ∈ R3 , dans ce cas l’application f est
.
x + y + z = 0
(x, y, z) 7→ (x + 2y, x + y + z)
– par des paramètres :
n
E = Y ∈ Kn ∃X ∈ Kp tel que AX = Y
o
n
o
= AX X ∈ Kp .
C’est donc l’ensemble des seconds membres tel que le système linéaire dont les coefficients sont
A admet une solution.
Cela revient à considérer E comme l’image de l’application linéaire f : Kp → Kn dont la matrice dans
la base canonique est A.
On a alors facilement une partie génératrice du sous-espace vectoriel E, en considérant l’image par f
de la base canonique.



du système,


La dimension de E est le rang de
Exemple:
de la matrice A,



de l’application linéaire f.

R 2
o
E = (a, a + b, a − b)(a, b) ∈ R2 , dans ce cas l’application f est
(x, y
n
1
→ R3
7→ (x, x + y, x − y)
.
On passe d’un mode à un autre en résolvant ou en échelonnant le système.
Inclusion Si A et B sont deux sous-espaces vectoriels de E, pour montrer que A = B, on peut montrer
que
– A ⊂ B,
– dim(A) = dim(B).
⋆
Famille de vecteurs
Sous-espace engendré par une famille Pour une famille de vecteurs F = (u1 , u2 , . . . , up ) de E,
le sous-espace vectoriel engendré par la famille F est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs
(ui )i∈[[1,p]] .
C’est donc :
(
)
Vect(F) =
p
X
i=1
λi ui (λ1 , . . . λp ) ∈ Kp .
Pour savoir si un vecteur v ∈ E est élément de Vect(F) on résout le système
p
X
λi ui = v d’inconnue les
i=1
poids (λi )i=1...p .
Famille génératrice Une famille F = (u1 , u2 , . . . , up ) d’éléments de E est génératrice de E si tout
vecteur de E est combinaison linéaire des vecteurs (uk ), i.e. E = V ect(u1 , u2 , . . . , up ).
Pour montrer qu’une famille est génératrice de E, on peut :
– résoudre le système
p
X
λi ui = x d’inconnue les poids (λi )i=1...p avec un second membre x ∈ E quel-
i=1
conque.
Plus exactement on montre que le système admet une solution en l’échelonnant, il est inutile de le
résoudre sauf si cela est demandé (calcul des coordonnées dans une nouvelle base).
– Si on dispose des coordonnées, on montre : rg(F) = dim(E), en calculant le rang de la matrice de la
famille.
Famille libre Une famille F = (u1 , u2 , . . . , up ) d’éléments de E est libre si la seule combinaison linéaire
des vecteurs de F qui donne le vecteur nul est celle constituée de poids tous nuls.
On a donc :
p
F est libre ⇔∀(α1 , . . . αp ) ∈ K ,
p
X
!
αk uk = 0 =⇒ ∀k ∈ [[1, p]] , αk = 0
k=1
p
⇔∀(α1 , . . . αp ) ∈ K , (α1 , . . . αk ) 6= (0, . . . , 0) =⇒
p
X
k=1
!
αk uk 6= 0
Pour montrer qu’une famille est libre :
– on résout le système (homogène)
p
X
αk uk = 0,
k=1
– si on dispose des coordonnées, on montre : rg(F) = card(F).
Dire qu’une famille F est libre revient à dire que c’est une base de Vect(F) (le sous-espace vectoriel qu’elle
engendre).
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Rang
Pour une famille de vecteurs F = (u1 , u2 , . . . , up ) de E, on a :
rg(F) = dim(Vect(F)).
Les propriétés du rang d’une famille sont :
– rg(F) 6 card(F), avec égalité si et seulement si F est libre,
– rg(F) 6 dim(E), avec égalité si et seulement si F est génératrice de E.
Si l’on dispose des coordonnées des vecteurs, le plus simple est de calculer le rang de la la matrice de cette
famille.
Base et dimension Une famille F = (u1 , u2 , . . . , up ) d’éléments de E est une base de E si F est libre
et génératrice de E.
La dimension de E est le cardinal d’une base (le nombre de vecteurs qui forment la base).
Pour une famille F de E contenant p vecteurs :
– si F est libre, p 6 dim(E),
– si F est génératrice de E, p > dim(E).
– si p = dim(E) alors F est libre ⇔ F est génératrice ⇔ F est une base.
Pour montrer qu’une famille est une base :
– on montre qu’elle est libre et génératrice, on en déduit la dimension de E,
– on connaît la dimension de E, il suffit alors de montrer qu’elle est génératrice ou qu’elle est libre. Il
est généralement plus simple de montrer que la famille est libre.
– si on dispose des coordonnées on calcule le rang de la matrice de cette famille.
Lorsqu’une famille est une base de E, tout vecteur de E admet des coordonnées dans cette base :
Exemple:
n
o
Si E = (x, y, z)x + y + z = 0 , on voit que B = (1, 0, −1), (0, 1, −1) est une base de E.
On a alors pour le vecteur (1, 2, −3) ∈ E :
(1, 2, −3)
|
{z
= 1(1, 0, −2) + 2(0, 1, −1) =
}
coordonnées dans la base canonique
⋆
(1, 2)B
| {z }
coordonnées dans la base
.
B
Applications linéaires
Une application f : E → F est linéaire si :
∀(x, y) ∈ E, ∀λ ∈ K, f (x + λy) = f (x) + λf (y).
Pour montrer qu’une application est linéaire on peut se contenter de l’écrire sous forme matricielle.
Exemple: Pour l’application :
f:
il suffit d’écrire :

R 3
(x, y, z)

→ R3
7−→ (2x + y, x + y − z, y − z)


 
x
2 1 0
2x + y
 
 

x + y − z  = 1 1 −1 y 
z
0 1 −1
y−z
3
,
Noyau, image et rang Le noyau de l’application f : E → F est
n
o
Ker(f ) = u ∈ E f (u) = 0 .
L’application f est injective si et seulement si Ker(f ) = {0}, i.e le noyau est réduit au vecteur nul.
On appelle image de f et on note Im(f ), l’ensemble des vecteurs de F qui sont l’image d’un vecteur
par f :
n o n
o
Im(f ) = y ∃x ∈ E, y = f (x) = f (x) x ∈ E .
L’application f est surjective si et seulement si Im(f ) = F .
Le rang de l’application f est rg(f ) = dim(Im(f )).
Le rang se calcule à partir de la matrice de f dans n’importe quelle base en l’échelonnant.
On utilise le rang car :
– f est injective si et seulement si rg(f ) = dim(E),
– f est surjective si et seulement si rg(f ) = dim(F ),
– la dimension du noyau et le rang de f sont liés par le théorème du rang :
dim(ker(f )) + Rg(f ) = dim(E).
En particulier si f : E → E, i.e. f es un endomorphisme, on a :
f injective ⇐⇒ f surjective ⇐⇒ f bijective
On connaît une famille génératrice évidente de Im(f ) : si (e1 , . . . , en ) est une base de E, alors
Im(f ) = V ect(f (e1 ), . . . , f (en )).
Ces vecteurs sont ceux que l’on lit dans les colonnes de la matrice de f
coordonnées dans la base C de F
Matrice d’une application linéaire Si f : E → F , et si on considère une base B = (e1 , . . . , en ) de E
et une base C = (f1 , . . . , fp ) de F , la matrice matB,C (f ) est la matrice obtenue en mettant dans la colonne
j les coordonnées (dans la base C) du vecteur f (ei ). On a donc :
f (e1 )
colonne j :
f (ej )
f (en )
image des vecteurs de la base B de E
La taille de la matrice est : dim(F ) lignes × dim(E) colonnes.
4
coordonnées dans la base B de E
Matrice d’une famille de vecteurs Étant donné une famille F = {u1 , . . . , up } d’un espace vectoriel E
et une base B de E, la matrice matB (F) est la matrice obtenue en mettant dans la colonne j les coordonnées
(dans la base B) du vecteur uj .
u1
colonne j :
uj
up
les vecteurs de la famille F
La taille de la matrice est : dim(E) lignes × card(F) colonnes.
Ces matrices dépendent des bases choisies. Par contre, le rang de ces matrices ne dépend pas du choix de
la base.
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