Université Grenoble 1 Institut Fourier Cours de maitrise enseigné

Universit´e Grenoble 1
Institut Fourier
Cours de maitrise enseign´e par Yves Carri`ere de 1994 `a 1996.
I- Vari´et´es et applications diff´erentiables
1- D´efinitions
2- Espaces tangents et diff´erentielles
3- Inversion locale et immersions
4- Submersions
5- Transversalit´e
6- Th´eor`eme de Sard
7- Homotopie et stabilit´e
8- Plongements de vari´et´es
II- Transversalit´e et intersection
1- Vari´et´es `a bord
2- Vari´et´es de dimension 1 et degr´e modulo 2
3- Transversalit´e
4- Intersection modulo 2
5- Indice modulo 2 et th´eor`eme de s´eparation de Jordan-Brouwer
6- Le th´eor`eme de Borsuk-Ulam
III- Th´eorie de l’intersection orient´ee
1- Orientation
2- Nombre d’intersection orient´e
3- Nombre de Lefchetz
4- Indice d’un champ de vecteurs
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I- Vari´et´es et applications diff´erentiables
1- D´efinitions. — Soit Uun ouvert de Rmon dit qu’une application
f:U⊂Rm→Rnest lisse ou diff´erentiable si elle a des d´eriv´ees partielles de
tous les ordres (fest C∞).
Si maintenant Xest un sous-ensemble de Rm,f:X⊂Rm→Rnest encore
dite lisse ou diff´erentiable si pour tout x∈Xil existe un ouvert Ude Rm,x∈Uet
F:U⊂Rm→Rnlisse telle que la restriction de f`a X∩Unot´ee f|X∩Uco¨ıncide
avec F|X∩U. Ceci revient `a dire que fest lisse si elle est localement la restriction `a X
d’une fonction lisse et fa alors les deux propri´et´es suivantes : elle est continue sur X
et pour tout Z⊂Xla restriction f|Zest lisse.
Une application f:X⊂Rm→Y⊂Rnest un diff´eomorphisme si elle est
bijective et si fet f−1sont lisses. Comme ces deux applications sont alors continues,
on constate que fest en particulier un hom´eomorphisme entre Xet Y.
Soient X⊂Rm, Y ⊂Rn, Z ⊂Rpet f:X→Yet g:Y→Zlisses, on
v´erifie facilement que la compos´ee g◦f:X→Zest lisse.
On dit que X⊂Rmest une vari´et´e lisse ou diff´erentiable de dimension k
si Xest localement diff´eomorphe `a un ouvert de Rk, autrement dit si pour tout
x∈Xil existe un ouvert Vde X,x∈Vdiff´eomorphe `a un ouvert U⊂Rk. Un
diff´eomorphisme ϕ:U→Vest une param´etrisation,ϕ−1:V→Uest un syst`eme de
coordonn´ees locales ou une carte de V; on ´ecrit ϕ−1= (x1,···xk) et on dit qu’ on a
choisi des coordonn´ees locales autour de x∈X.
Si Xet Zsont des vari´et´es dans Rmet Z⊂X, alors Zest une sous-vari´et´e
de X. En particulier, Xest elle-mˆeme une sous-vari´et´e de Rm. Tout ouvert de Xest
une sous-vari´et´e de X.
Exercice 1 : Montrer que dans l’espace des matrices r´eelles 2 ×2 identifi´e `a R4le
groupe SL2de celles qui ont 1 pour d´eterminant est une vari´et´e de dimension 3.
Pour la suite X⊂Rm, Y ⊂Rn, X0⊂Rm0, Y 0⊂Rn0sont des sous-ensembles :
Exercice 2 : Si f:X→X0et g:Y→Y0sont lisses, on d´efinit l’application produit
f×gpar f×g: (x, y)∈X×Y7→ (f(x), g(y)) ∈X0×Y0.
a) Montrer que f×gest lisse et que si fet gsont des diff´eos, f×gen est un aussi.
b) En d´eduire que si Xet Ysont des vari´et´es, alors X×Y⊂Rm+nest une vari´et´e
de dimension dim X+ dim Y.
Exercice 3 : Montrer que la projection (x, y)∈X×Y7→ x∈Xest lisse.
Exercice 4 : La diagonale ∆⊂X×Xest l’ensemble des points de la forme (x, x).
Montrer que ∆ est diff´eomorphe `a Xet donc ∆ est une vari´et´e si Xen est une.
Exercice 5 : Le graphe d’une application f:X→Yest le sous-ensemble de X×Y
Γ(f) = {(x, f(x)) : x∈X}.Soit Φ l’application Φ : x∈X7→ (x, f(x)) ∈Γ(f).
Montrer que si fest lisse, Φ est un diff´eomorphisme et donc que Γ(f) est une vari´et´e
si Xen est une. (Noter que ∆ = Γ(id).)
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2- Espaces tangents et diff´erentielles. — Pour d´efinir la notion de
diff´erentielle ou application lin´eaire tangente dfxpour une application lisse f:X⊂
Rm→Y⊂Rnentre vari´et´es, on associe d’abord `a chaque x∈Xun sous-
espace Tx(X)⊂Rmde dimension k= dim Xappel´e l’espace tangent `a Xen x.
La diff´erentielle dfxsera alors une application lin´eaire entre Tx(X) et Tf(x)(Y). Les
´el´ements de l’espace vectoriel Tx(X) sont appel´es les vecteurs tangents `a Xen x.
Intuitivement, on pense x+Tx(X) comme ´etant le sous-espace affine de Rm
approximant le mieux Xau voisinage de xet `a dfxcomme la partie lin´eaire de la
transformation affine approximant le mieux f.
La d´efinition de la diff´erentielle qu’on va donner doit co¨ıncider avec celle que
l’on connait dans le cas sp´ecial o`u Xet Ysont des ouverts U⊂Rmet V⊂Rn. Dans
ce cas, l’espace tangent Tx(U) est Rmtout entier (de mˆeme Ty(V) = Rn) et pour
toute application lisse f:U→Vla diff´erentielle :
dfx:Rm→Rn
est d´efinie par la formule
dfx(h) = lim
t→0
f(x+th)−f(x)
t
pour x∈U, h ∈Rm, (dfx(h) est la d´eriv´ee de fen xdans la direction h). On
sait (cf. cours de calcul diff´erentiel) que dfx(h) est lin´eaire en het a pour matrice
∂fi(x)/∂xj(la matrice jacobienne). De plus, si g:V→West une autre application
lisse `a valeurs dans un ouvert W⊂Rl, on a la r`egle de composition suivante :
d(g◦f)x=dgf(x)◦dfx.
Rappelons enfin que si fest lin´eaire, alors dfx=fpour tout x∈U. En particulier,
si U=Vet f=id l’application identique, on a dfx=id pour tout x∈U.
Exercice 1 : Montrer que si un ouvert U⊂Rmest diff´eomorphe `a un ouvert V⊂Rn,
alors m=n.
Soit maintenant le cas g´en´eral d’une vari´et´e X⊂Rm, choisissons une
param´etrisation ϕ:U→Xo`u Uest un ouvert de Rk, et supposons pour simplifier
que ϕ(0) = x. La meilleure approximation affine de ϕen 0 est l’application
u7→ ϕ(0) + dϕ0(u) = x+dϕ0(u).
On d´efinit alors l’espace tangent `a Xen xcomme l’image de l’application lin´eaire
dϕ0:Rk→Rm. Donc l’espace tangent Tx(X) = dϕ0(Rk) qui est un sous-espace
vectoriel de Rmet x+Tx(X) est la meilleure approximation de Xen xpar un sous-
espace affine. Par d´efinition, un vecteur tangent v`a Xen xest un ´el´ement de Tx(X)
qu’on voit fr´equemment comme le vecteur joignant les points xet x+v.
Exercice 2 : V´erifier que cette d´efinition de Tx(X) est coh´erente, `a savoir que
l’espace obtenu est ind´ependant de la param´etrisation choisie. V´erifier de plus que
dim Tx(X) = k= dim X.
Exercice 3 : Si h:Rm→Rnest lisse et hest constante sur Xque peut-on dire de
Tx(X) et de ker dhxpour tout x∈X? En d´eduire, par exemple, une description de
l’espace tangent en un point d’une sph`ere.
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Il nous reste maintenant `a d´efinir ce qu’est la diff´erentielle d’une application
lisse entre vari´et´es f:X⊂Rm→Y⊂Rnen un point x. Si f(x) = y, ce doit
ˆetre d’abord une application lin´eaire entre espaces tangents dfx:Tx(X)→Ty(Y) qui
dans le cas o`u Xet Ysont des ouverts d’espaces num´eriques doit co¨ıncider avec la
diff´erentielle usuelle. De plus, on veut que la r`egle de composition marche encore. A
cause de ces deux exigences, il n’y a qu’une d´efinition possible. En effet, supposons
que ϕ:U→Xparam´etrise Xautour de xet ψ:V→Yparam´etrise Yautour de y
avec U⊂Rket V⊂Rlet pour simplifier ϕ(0) = xet ψ(0) = y. Si Uest suffisamment
petit, on peut consid´erer l’application lisse h:U→Vd´efinie par h=ψ−1◦f◦ϕ. Les
diff´erentielles dϕ0, dψ0et dh0´etant d´ej`a d´efinies de mani`ere usuelle, si on veut que
la r`egle de composition marche, comme f=ψ◦h◦ϕ−1,la seule d´efinition acceptable
pour dfxest donn´ee par la formule :
dfx=dψ0◦dh0◦dϕ−1
0
Exercice 4 : V´erifier que cette d´efinition de dfxest coh´erente, `a savoir que
l’application lin´eaire obtenue est ind´ependante des param´etrisations choisies. V´erifier
de plus que si g:Y⊂Rn→Z⊂Rpest une autre application lisse entre vari´et´es,
on a bien la r`egle de composition :
d(g◦f)x=dgf(x)◦dfx.
Exercice 5 : Si Xest une sous-vari´et´e de Y, on note souvent i:X −→ Yl’application
inclusion.
a) V´erifier que dixest l’application inclusion entre Tx(X) et Tx(Y).
b) Si Uest un ouvert de la vari´et´e X, en d´eduire que Tx(U) = Tx(X) pour x∈U.
Exercice 6 : Si E⊂Rmest un sous-espace vectoriel, alors Tx(E) = E, ∀x∈E.
Exercice 7 : Si f:X→Yest un diff´eo entre vari´et´es, v´erifier que pour tout x∈X,
dfxest un isomorphisme des espaces tangents.
Exercice 8 : Soit X⊂Rmune vari´et´e, son fibr´e tangent T(X) est d´efini par
T(X) = {(x, y)∈Rm×Rm:x∈X, y ∈Tx(X)}
a) V´erifier que T(X) est une vari´et´e dans Rm×Rm.
b) V´erifier que si Y⊂Rnest une autre vari´et´e, alors T(X×Y) est diff´eomorphe `a
T(X)×T(Y).
c) Montrer qu’une application lisse f:X→Yinduit naturellement une application
diff´erentielle (globale) df :T(X)→T(Y) qui est encore lisse.
d) Montrer que si ∆ est la diagonale dans X×X,T(∆) est la diagonale dans
T(X)×T(X).
e) Montrer que T(S1) est diff´eomorphe `a S1×Ret T(S3) `a S3×R3(utiliser les
quaternions).
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3- Inversion locale et immersions. — Si Xet Ysont des vari´et´es de mˆeme
dimension, le meilleur comportement local que l’on puisse attendre d’une application
lisse f:X→Yc’est de r´ealiser un diff´eomorphisme entre un voisinage ouvert de
xet un voisinage ouvert de y=f(x). On dit alors que fest un diff´eomorphisme
local en x. Une condition n´ecessaire pour cela est que dfx:Tx(X)→Ty(Y) soit un
isomorphisme (vu en exercice). En fait, cette condition est suffisante :
Th´ eor` eme d’inversion locale. — Si f:X→Yest une application lisse
et dfxest un isomorphisme, alors fest un diff´eomorphisme local en x.
Exercice 1 : Montrer ce r´esultat `a partir du cas particulier o`u Xet Ysont des
ouverts Uet Vd’espaces num´eriques.
On dit que f:X→Yest un diff´eomorphisme local s’il l’est en tout point
de X. Un tel diff´eomorphisme local n’est pas toujours un diff´eomorphisme comme le
montre l’exemple f:t∈R→eit ∈S1(le v´erifier).
Deux applications f:X→Yet f0:X0→Y0sont dites ´equivalentes (i.e.
les mˆemes `a diff´eomorphismes pr`es) s’il existe des diff´eomorphismes αet βrendant
commutatif le carr´e :
Xf −→ Y
αx
x β
X0f0 −→ Y0
On peut reformuler le th´eor`eme en disant que si dfxest un isomorphisme, fest
´equivalente autour de x`a l’identit´e. Plus pr´ecis´ement, il existe des param´etrisations
ϕet ψautour de xet ytelles que :
Xf −→ Y
ϕx
x ψ
UidU −→ U
est commutatif. Autrement dit encore, fest localement ´equivalente en x`a l’identit´e
d’un ouvert Ud’un espace num´erique Rk. Une application lin´eaire est ´equivalente `a
l’identit´e ssi elle est un isomorphisme. On peut donc finalement reformuler de fa¸con
encore plus concise le th´eor`eme en disant que fest localement ´equivalente en x`a
l’identit´e exactement lorsque dfxl’est.
Quel est maintenant le meilleur comportement que l’on puisse esp´erer de
f:X→Ylisse lorsque dim X < dim Y? Pour ce qui est de la diff´erentielle
dfx:Tx(X)→Ty(Y), le mieux qu’on puisse demander est qu’elle soit injective.
On dit alors que fest une immersion en x. Si fest une immersion en tout point,
on dit simplement que fest une immersion. L’immersion canonique est l’application
d’inclusion habituelle de Rkdans Rlpour k≤l, o`u :
(x1,···, xk)∈Rk7→ (x1,···, xk,0,···,0) ∈Rl
En fait, c’est localement et `a diff´eomorphismes pr`es, la seule immersion possible :
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