Feuille 6 : Orientabilité - IMJ-PRG

MM022 G´eom´etrie diff´erentielle 2014–2015
Feuille 6 : Orientabilit´e
Exercice 1. Orientabilit´e de la sph`ere. Donner un atlas d’orientation de la sph`ere Sn,
c’est-`a-dire un atlas de Sndont les changements de carte ont un jacobien partout strictement
positif.
Exercice 2. Hypersurfaces de Rn.
1. Montrer que tout niveau r´egulier Md’une fonction lisse f:U⊂Rn→Rd´efinie sur un
ouvert de Rnadmet une normale unitaire lisse, c’est-`a-dire une application lisse ν:M→
Sn−1telle qu’en tout point xde M,ν(x) soit orthogonal `a l’espace tangent TxM.
2. Montrer qu’une hypersurface quelconque Mde Rnest orientable si et seulement si elle
admet une normale unitaire lisse. Retrouver ainsi l’orientabilit´e de la sph`ere Sn.
3. Montrer que le ruban de Mœbius n’est pas orientable.
Exercice 3. Non-orientabilit´e
1. Montrer qu’une vari´et´e n’est pas orientable si elle admet deux cartes (U, ϕ) et (V, ψ) telles
que Uet Vsoient connexes et det(dϕx◦(dψx)−1) prenne `a la fois des valeurs positives et
n´egatives lorsque xd´ecrit U∩V.
2. Red´emontrer que le ruban de Mœbius n’est pas orientable.
3. Montrer que l’espace projectif RPnest orientable si et seulement si nest impair.
Exercice 4. Orientabilit´e des espaces projectifs (bis). On consid`ere RPncomme le quo-
tient de Snpar {± Id}et on note p:Sn→RPnla projection canonique. On note en outre ω0la
forme volume de Snd´efinie par
∀x∈Sn,∀(v1, ..., vn)∈TxSn,(ω0)x(v1, ..., vn) = det(x, v1, ..., vn).
Supposons que RPnadmette une forme volume α.
1. Montrer que ω=p∗αest une forme volume sur Snsatisfaisant (−Id)∗ω=ω.
2. Il existe donc une fonction flisse et de signe constant sur Sntelle que ω=fω0. Calculer
(−Id)∗ω0puis (−Id)∗ωen fonction de ω0. En d´eduire que nest n´ecessairement impair, et
que les espaces projectifs de dimension paire ne sont donc pas orientables.
3. Soit Γ un groupe discret agissant librement et proprement sur une vari´et´e Xet p:X→
V/Γ l’application de revˆetement sur la vari´et´e quotient. Montrer que pour toute forme
diff´erentielle ωsur Xsatisfaisant
γ∗ω=ω∀γ∈Γ,
il existe sur X/Γ une unique forme diff´erentielle αtelle que p∗α=ω, qui est une forme
volume si ωl’est.
4. En d´eduire que les espaces projectifs de dimension impaire sont orientables.
Exercice 5. Vari´et´es complexes. Montrer que toute vari´et´e complexe est orientable. On
rappelle qu’une vari´et´e diff´erentiable est une vari´et´e complexe si (elle est de dimension r´eelle
paire et qu’) elle poss`ede un atlas dont les changements de cartes, vus comme applications entre
ouverts de Cn'R2n, sont holomorphes.