Table des matières - Passeports pour le bac

Table des matières
1 Les limites 2
1.1 Adhérence....................................... 2
1.2 Limitesenunréel................................... 2
1.2.1 Limitesinfinies ................................ 2
1.2.2 Limitesfinies ................................. 2
1.3 Limitesenl’infini................................... 3
1.3.1 Limitesfinies ................................. 3
1.3.2 Limitesinfinies ................................ 3
1.4 Limites à gauche ou à droite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Existenced’unelimite ................................ 4
2 Les asymptotes 5
2.1 Asymptoteverticale.................................. 5
2.2 Asymptotehorizontale ................................ 5
2.3 Asymptoteoblique .................................. 6
2.4 Rondcreux ...................................... 6
3 Le calcul de limites 7
3.1 Calculsimmédiats................................... 7
3.2 Fonctions polynômes ou inverses de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Fonctionsrationnelles................................. 8
4 Exercices 9
4.1 Leslimitespargraphique............................... 9
4.1.1 Solutions.................................... 9
4.2 Lesasymptotes .................................... 10
4.2.1 Solutions.................................... 11
4.3 Calculdelimites ................................... 11
4.3.1 Solutions.................................... 13
1

1 Les limites
1.1 Adhérence
Un point adhérent au domaine de définition d’une fonction fest un point qui appartient
au domaine de fou qui est « juste à côté ».
Exemples :
1. Si domf=]0; 1], les points de [0; 1] sont adhérents au domaine.
2. Si domf=]0; →, les réels positifs ou nuls sont adhérents au domaine.
3. Si domf=R0, tous les réels sont adhérents au domaine.
1.2 Limites en un réel
1.2.1 Limites infinies
Si aest un point adhérent au domaine de f,
1. lim
x→af(x) = +∞signifie que lorsque xs’approche de a,f(x)tend vers +∞.
2. lim
x→af(x) = −∞ signifie que lorsque xs’approche de a,f(x)tend vers −∞.
lim
x→af(x)=+∞lim x→af(x) = −∞
1.2.2 Limites finies
Si aest un point adhérent au domaine de fet si b∈R,
1. lim
x→af(x) = bsignifie que lorsque xs’approche de a,f(x)s’approche d’une valeur finie b.
2

1.3 Limites en l’infini
1.3.1 Limites finies
Si b∈R,
1. lim
x→+∞f(x) = bsignifie que lorsque xest infiniment grand, f(x)s’approche d’une valeur
finie b.
2. lim
x→−∞ f(x) = bsignifie que lorsque xest infiniment grand dans les négatifs, f(x)s’ap-
proche d’une valeur finie b.
lim
x→+∞f(x) = blim x→−∞ f(x) = b
1.3.2 Limites infinies
1. lim
x→+∞f(x)=+∞signifie que lorsque xest infiniment grand, f(x)devient infiniment
grand aussi.
2. lim
x→+∞f(x) = −∞ signifie que lorsque xest infiniment grand, f(x)devient infiniment
grand dans les négatifs.
3. lim
x→−∞ f(x) = +∞signifie que lorsque xest infiniment grand dans les négatifs, f(x)
devient infiniment grand.
4. lim
x→−∞ f(x) = −∞ signifie que lorsque xest infiniment grand dans les négatifs, f(x)
devient infiniment grand dans les négatifs.
lim
x→+∞f(x)=+∞lim x→+∞f(x) = −∞
et lim
x→−∞ f(x) = −∞ et lim x→−∞ f(x)=+∞
3

1.4 Limites à gauche ou à droite et continuité
Lg= lim
x→a−
f(x)est la limite à gauche de fen a, c’est-à-dire la limite quand xs’approche de a
par des valeurs plus petites que a.
Ld= lim
x→a+f(x)est la limite à droite de fen a, c’est-à-dire la limite quand xs’approche de a
par des valeurs plus grandes que a.
Une fonction fest continue en x=asi Lg=Ld=f(a).
Lg=Ld=f(a)Lg=Ld6=f(a)
donc la fonction est continue en a. donc la fonction n’est pas continue en a.
1.5 Existence d’une limite
La lim
x→af(x)existe lorsque Lg=Ld. Elle vaut alors L(=Lgou Ld).
lim
x→a−
f(x) = +∞lim
x→a−
f(x)=+∞
et lim
x→a+f(x) = −∞ et lim x→a+f(x) = +∞
donc la limite n’existe pas. donc la limite existe et vaut +∞
4

2 Les asymptotes
2.1 Asymptote verticale
Le graphe d’une fonction fadmet une asymptote verticale (AV) d’équation x=asi aest
un point adhérent mais hors du domaine de fet si lim
x→af(x) = ±∞.
2.2 Asymptote horizontale
Le graphe d’une fonction fadmet une asymptote horizontale (AH) d’équation y=blorsque
lim
x→±∞ f(x) = b.
Si c’est le cas quand x→+∞, on parlera d’AH à droite. Si c’est le cas quand x→ −∞, on
parlera d’AH à gauche.
AH à gauche
5