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MPSI B 5 novembre 2016
´
Enonc´e
Dans tout l’exercice, les solutions cherch´ees sont des fonctions `a valeurs r´eelles.
Cela n’interdit pas la consid´eration de fonctions `a valeurs complexes comme in-
term´ediaire de calcul.
On ´etudie l’´equation fonctionnelle
y00 (x) + y(−x) = x+ cos x(1)
1. Soit y1et y2deux solutions de l’´equation
y00 (x) + y(−x) = 0
et λun r´eel quelconque ; y1+y2et λy1sont ils encore solutions de la mˆeme
´equation ?
2. R´esoudre les ´equations suivantes en pr´ecisant pour chacune l’ensemble des
solutions paires et impaires.
y00 (x) + y(x) = cos x(2)
y00 (x)−y(x) = x(3)
3. question de cours
Soit fune fonction d´efinie dans R, montrer qu’il existe un unique couple
de fonctions (u, v) telles que usoit paire, vsoit impaire et f=u+v. On
prendra soin de r´ediger s´epar´ement les argumentations assurant l’existence
et l’unicit´e. On dit que uest la partie paire et vla partie impaire de f.
4. Soit fune solution de (1), usa partie paire et vsa partie impaire. Former une
´equation diff´erentielle dont uest solution, former une ´equation diff´erentielle
dont vest solution.
5. Pr´eciser l’ensemble des solutions de (1).
Corrig´e
1. En combinant lin´eairement deux solutions, on obtient clairement une solu-
tion. Cela r´esulte des propri´et´es des op´erations fonctionnelles.
2. Solution de y00 (x) + y(x) = cos x
L’´equation caract´eristique admet une racine double i, le second membre est
la partie r´eelle de eit. On doit donc chercher une solution particuli`ere sous la
forme Ax sin x. On trouve que l’ensemble des solutions est
nλcos x+µsin x+x
2sin x, (λ, µ)∈R2o
Si fest une solution paire de cette ´equation, il existe un λet un µtels que
f=λcos x+µsin x+x
2sin x. En ´ecrivant que fest paire, on obtient (pour
tous les x)
µsin x= 0
donc µ= 0. La r´eciproque est ´evidente. L’ensemble des solutions paires de
(2) est donc
nλcos x+x
2sin x, λ ∈Ro
De mˆeme, si fest une solution impaire de cette ´equation, il existe un λet
un µtels que f=λcos x+µsin x+x
2sin x. En ´ecrivant que fest impaire,
on obtient (pour tous les x)
λcos x+x
2sin x= 0
Il n’existe pas de nombre r´eel v´erifiant cela, l’´equation (2) n’admet pas de
solution impaire.
Solution de y00 (x)−y(x) = x
Les racines de l’´equation caract´eristique sont 1 et −1, la fonction x→ −x
est une solution ´evidente de l’´equation compl`ete. L’ensemble des solutions
est donc
λex+µe−x−x, (λ, µ)∈R2
qui s’´ecrit aussi
λch x+µsh x−x, (λ, µ)∈R2
Par un raisonnement analogue au pr´ec´edent on obtient que l’´equation (3)
n’admet pas de solutions paires et que l’ensemble de ses solutions impaires
est
{µsh x−x, µ ∈R}
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1R´emy Nicolai Aeqd4

MPSI B 5 novembre 2016
3. Voir cours
4. Soit fune solution de (1), d´efinissons une fonction gen posant g(x) = f(−x).
En d´erivant, on obtient g0(x) = −f0(−x), g00 (x) = f00 (−x). Avec ces relations,
´ecrivons (1) en xet en −x:
f00 (x) + g(x) = x+ cos x
g00 (x) + f(x) = −x+ cos x
Comme u(x) = 1
2(f(x) + g(x)) et v(x) = 1 2(f(x)−g(x)), on en d´eduit
u00 (x) + u(x) = cos x, v00 (x)−v(x) = x
5. D’apr`es les questions pr´ec´edentes, si fest une solution de (1) alors sa partie
paire uest une solution paire de (2) et sa partie impaire vest une solution
impaire de (3). Il existe donc deux r´eels λet µtels que
f(x) = λcos x+x
2sin x+µsh x−x
On peut v´erifier par le calcul que toute fonction de cette forme est bien
solution de (1).
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
2R´emy Nicolai Aeqd4