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MPSI B
5 novembre 2016
Corrigé
Énoncé
1. En combinant linéairement deux solutions, on obtient clairement une solution. Cela résulte des propriétés des opérations fonctionnelles.
Dans tout l’exercice, les solutions cherchées sont des fonctions à valeurs réelles.
Cela n’interdit pas la considération de fonctions à valeurs complexes comme intermédiaire de calcul.
On étudie l’équation fonctionnelle
(1)
2. Solution de y 00 (x) + y(x) = cos x
L’équation caractéristique admet une racine double i, le second membre est
la partie réelle de eit . On doit donc chercher une solution particulière sous la
forme Ax sin x. On trouve que l’ensemble des solutions est
o
n
x
λ cos x + µ sin x + sin x, (λ, µ) ∈ R2
2
et λ un réel quelconque ; y1 + y2 et λy1 sont ils encore solutions de la même
équation ?
Si f est une solution paire de cette équation, il existe un λ et un µ tels que
f = λ cos x + µ sin x + x2 sin x. En écrivant que f est paire, on obtient (pour
tous les x)
µ sin x = 0
y 00 (x) + y(−x) = x + cos x
1. Soit y1 et y2 deux solutions de l’équation
y 00 (x) + y(−x) = 0
2. Résoudre les équations suivantes en précisant pour chacune l’ensemble des
solutions paires et impaires.
y 00 (x) + y(x) = cos x
00
y (x) − y(x) = x
donc µ = 0. La réciproque est évidente. L’ensemble des solutions paires de
(2) est donc
n
o
x
λ cos x + sin x, λ ∈ R
2
De même, si f est une solution impaire de cette équation, il existe un λ et
un µ tels que f = λ cos x + µ sin x + x2 sin x. En écrivant que f est impaire,
on obtient (pour tous les x)
(2)
(3)
3. question de cours
Soit f une fonction définie dans R, montrer qu’il existe un unique couple
de fonctions (u, v) telles que u soit paire, v soit impaire et f = u + v. On
prendra soin de rédiger séparément les argumentations assurant l’existence
et l’unicité. On dit que u est la partie paire et v la partie impaire de f .
λ cos x +
x
sin x = 0
2
Il n’existe pas de nombre réel vérifiant cela, l’équation (2) n’admet pas de
solution impaire.
Solution de y 00 (x) − y(x) = x
Les racines de l’équation caractéristique sont 1 et −1, la fonction x → −x
est une solution évidente de l’équation complète. L’ensemble des solutions
est donc
x
λe + µe−x − x, (λ, µ) ∈ R2
4. Soit f une solution de (1), u sa partie paire et v sa partie impaire. Former une
équation différentielle dont u est solution, former une équation différentielle
dont v est solution.
5. Préciser l’ensemble des solutions de (1).
qui s’écrit aussi
λ ch x + µ sh x − x, (λ, µ) ∈ R2
Par un raisonnement analogue au précédent on obtient que l’équation (3)
n’admet pas de solutions paires et que l’ensemble de ses solutions impaires
est
{µ sh x − x, µ ∈ R}
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Aeqd4
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3. Voir cours
4. Soit f une solution de (1), définissons une fonction g en posant g(x) = f (−x).
En dérivant, on obtient g 0 (x) = −f 0 (−x), g 00 (x) = f 00 (−x). Avec ces relations,
écrivons (1) en x et en −x :
f 00 (x) + g(x)
00
g (x) + f (x)
= x + cos x
= −x + cos x
Comme u(x) = 12 (f (x) + g(x)) et v(x) = 12 (f (x) − g(x)), on en déduit
u00 (x) + u(x) = cos x,
v 00 (x) − v(x) = x
5. D’après les questions précédentes, si f est une solution de (1) alors sa partie
paire u est une solution paire de (2) et sa partie impaire v est une solution
impaire de (3). Il existe donc deux réels λ et µ tels que
f (x) = λ cos x +
x
sin x + µ sh x − x
2
On peut vérifier par le calcul que toute fonction de cette forme est bien
solution de (1).
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