PROBABILITES 1. Exemple d’expérience aléatoire : lancer d’une pièce On lance une pièce de monnaie et on note les résultats obtenus : P pour Pile et pour Face. Résultat Fréquence expérimentale sur … lancers Fréquence expérimentale de la classe Fréquence théorique P F « Fréquence théorique » : on suppose que la pièce n’est pas truquée. Face et Pile ont la même chance de sortir. Soit fn la fréquence de sortie du P, après n lancers. Plus le nombre de lancers est grand, plus fn se rapproche de la fréquence théorique de sortie de P. On dit que la probabilité de sortie de P est ….. 2. Vocabulaire Exemple :On lance un dé cubique et on note le numéro de la face supérieure. On dit qu’on réalise une expérience aléatoire, c’est-à-dire une expérience liée au hasard pouvant conduire à plusieurs résultats possibles. Il y a 6 résultats (ou issues) possibles, appelés éventualités. Les éventualités sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L’ensemble de toutes les éventualité est appelé univers. Ici, l’univers est : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} Un événement est une partie de l’univers. Exemple : L’événement A : « obtenir un chiffre pair ». On a donc : A 2, 4, 6 L’événement B : « obtenir 4 » est un événement élémentaire : il n’est composé que d’une seule éventualité. B 4 Le cardinal d’un événement A noté card (A) est le nombre d’éventualités qui composent A. Exemple : L’événement A : « Obtenir un nombre pair est composé de 3 éventualités ». card ( A) 3 Un événement impossible : est un événement qui ne se réalise jamais Exemple : L’événement C : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 7 » Un événement certain est un événement qui se réalise toujours. Exemple : L’événement D : « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 6 » Remarques : Une éventualité x appartient à l’univers U. On note x U . Un événement A est inclus dans l’univers U. On note A U . Lorsqu’une éventualité x appartient à un événement A, on dit que x réalise A. 3. Notion de probabilité a) Définition Quand une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence relative de réalisation d’un événement élémentaire se rapproche d’une valeur particulière: la probabilité de cet événement élémentaire. Exemple: La probabilité d’obtenir Pile lors d’un jet d’une pièce est égale à 1 2 b) Propriétés La probabilité d’un événement est égal à la somme des probabilités des éventualités qui le composent. La probabilité d’un événement certain est 1. La probabilité d’un événement impossible est 0. Quel que soit l’événement A, on a 0 p A 1 La somme des probabilités des événements élémentaires est 1. Exemple : On lance un dé non truqué et on note le numéro de la face supérieure. Soit l’événement A : « on obtient un chiffre pair » l’événement B : « on obtient un chiffre au moins égal à 5 » A={ } P(A) = B={ P(B) = } Exemple : Dans le lancer d’un dé non truqué : p 1 p 2 ... p 6 1 6 c) Equiprobabilité Si tous les événements élémentaires ou éventualités d’une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que les événements élémentaires sont équiprobables ou qu’il y a équiprobabilité. En situation d’équiprobabilité, si l’événement A est formé de k événements élémentaires dans un k univers qui en contient n, alors : P(A) = n nombre de cas favorables à la réalisation de l’événement A On écrit : P(A) = nombre de cas possibles Remarques : Les expressions suivantes « dé parfait ou équilibré », « boule tirée au hasard dans l’urne », « boules indiscernables » indiquent que l’on se trouve en situation d’équiprobabilité. d) Propriétés des probabilités Exemple : On lance un dé non truqué et on note le numéro de la face supérieure. L’univers de l’expérience aléatoire est U = { } Intersection d’événements Définition : L’intersection des événements A et B est l’événement A B formé de tous les événements élémentaires appartenant à la fois à A et B. Exemple : Soit l’événement A : « on obtient un chiffre pair » l’événement B : « on obtient un chiffre supérieur ou égal à 4 » On a donc : A = { Alors : A B = { } et B = { } et P( A B ) = } Evénements incompatibles Définition : Deux événements sont incompatibles ou disjoints si leur intersection est vide. Exemple : Soit l’événement A : « on obtient un chiffre pair » l’événement C : « on obtient 3 ou 5 » Alors : A C = Les événements A et C sont incompatibles. Réunion d’événements Définition : La réunion des événements A et B est l’événement A B formé de tous les événements élémentaires appartenant à A ou B. Exemple : Soit l’événement A : « on obtient un chiffre au moins égal à 4 » l’événement B : « on obtient un chiffre impair » On a donc : A = { Alors : A B = { } et B = { } } Evénements contraires Exemple : Soit l’événement A : « on obtient un chiffre pair » Le contraire de l’événement A est : « on n’obtient pas un chiffre pair », c'est-à-dire : « on obtient un chiffre impair » Il se note : A A et A sont ………………………. Propriété : Soit A un événement quelconque et A son événement contraire, formé de tous les événements élémentaires de l’univers qui ne sont pas dans A. On a : P( A ) = 1 – P(A)