3. Logique Après cet introduction à la théorie des ensemble nous

3. Logique
Après cet introduction à la théorie des ensemble nous allons faire une introduction à la logique.
Mais nous allons aussi continuer de faire des constructions avec des ensembles !
Définition 3.1. 6Une "proposition (logique)" est un énoncé qui peut être vrai ou faux, mais non
les deux à la fois.
Un énoncé dans la vraie vie peut être vrai et faux au même temps : dans ce cas ce n’est pas
considéré comme une proposition logique.
Exemples :
–p1:="Toronto est la capitale du Canada" (faux)
–p2:= "le chat est un animal" (vrai)
–p3:="1 + 1 = 3" (faux)
–p4:="si x∈Eet E⊆Falors x∈F" (vrai)
–p5:="Chaque nombre naturel n > 2pair est la somme de deux nombres premier" (vrai ou
faux, mais inconnu)
On a le sentiment qu’on pourrait décomposer p4comme une combinaison d’autres propositions
plus simples. En effet, c’est le cas. Et aussi, qu’on pourrait combiner des propositions pour obtenir
des propositions plus compliquées. En effet.
Je répète : un énoncé est appelé une proposition logique, si cet énoncé peut être vrai ou faux.
Mais ce n’est pas nécessaire d’aussi connaître la réponse, la vérité de la proposition.
Le but des mathématiques (et les sciences) est de formuler des propositions logique et d’en décider
la vérité. Par exemple p5est vraie ou fausse mais on ne sais pas encore.
Plusieurs propositions ont été proposées dans les mathématiques, dont on ne connaît pas encore
la vérité. Si on a des raisons de croire qu’une proposition soit vraie, mais on ne peut pas le montrer
dit que c’est une conjecture. Par exemple, Goldbach 7semble avoir cru que la proposition p5soit
vraie.
Conjecture 3.1 (Goldbach).Chaque nombre naturel n > 2pair est la somme de deux nombres
premier.
Le but des mathématiques est à partir de quelques hypothèses de base, des propositions logiques
qu’on suppose vraie, de produire une longue liste de propositions logiques qui sont aussi vraies (et
espérons "intéressantes" pour nous). En ça en utilisant la logique et en construisant des ensembles.
L’hypothèse le plus important est que l’ensemble des entiers Navec ses propriétés élémentaires
EXISTE. On va discuter ses propriétés plus tard.
3.1. Les combinaisons simples logiques. Soient pet qdeux propositions logiques.
La proposition "pou q" est aussi une proposition logique, on écrit
p∨q,
qui est par définition vraie si pest vraie ou si qest vraie (ou si tous les deux sont vraies).
6. Voir [R, p.2]
7. Voir "Conjecture de Goldbach" dans wikipedia
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Et c’est fausse sinon (c.-à-d. si pet qsont fausses).
Comme dans la vraie vie. (Parfois on dit la disjonction de pet de q. Mais pas moi.)
Dans la vraie vie il y a deux "ou"’s.
La proposition "pou-strict q" est aussi une proposition logique, on écrit
p⊕q,
qui est par définition vraie si pest vraie ou si qest vraie (mais pas si tous les deux sont vraies).
Et c’est fausse sinon (c.-à-d. si pet qsont tous les deux fausse ou tous les deux vraies).
(Parfois on dit la disjonction exclusive de pet de q.)
La proposition "pet q" est aussi une proposition logique, on écrit
p∧q,
qui est par définition vraie si pest vraie et si aussi qest vraie. Et c’est fausse sinon (c.-à-d. si pest
fausse ou si qest fausse (ou tous les deux sont fausses)).
(Parfois on dit la conjonction de pet de q.)
La proposition "non-p" (ou "pas-p") est aussi une proposition logique (dite composée), on écrit
¬p,
qui est par définition vraie si pest fausse. Et c’est fausse sinon (c.-à-d. si pest vraie).
On dit aussi la négation de p.
La proposition "si palors q", ou "pimplique q", on écrit
p→q,
est aussi une proposition logique composée, qui est par définition vraie si (pest vraie et qest vraie)
ou (si pest fausse). Et c’est fausse sinon (c.-à-d. uniquement si pest vraie mais qest fausse). On
dit pest l’hypothèse et qla conclusion de "l’implication p→q"
Dernière définition. La proposition "psi et seulement si q" , on écrit
p↔q,
est aussi une proposition logique, qui est par définition vraie si (pet qsont tous les deux vraies) ou
si (pet qsont tous les deux fausses).
Et c’est fausse sinon (c.-à-d. une des deux est vraie et l’autre est fausse). (On dit aussi "p
biconditionnelle q".)
Remarque. Soient pet qdeux propositions logiques. Il faut bien comprendre : p→qest une
proposition logique, qui peut être vraie ou faux.
Qu’est-ce qu’on peut dire a propos de la vérité de pet qsi on sait que l’implication
p→q
est vraie ? Il y a deux possibilités :
soit pest fausse (et qn’importe : "je m’en fous"), soit pET qsont vraies. Le sense inverse est
aussi correct.
Si p→qest fausse alors nécessairement : pest vraie et qest fausse.

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Il faut aussi bien comprendre que p↔qest soi-même une proposition logique, qui peut être
vraie ou faux. Si p↔qest vraie : alors on a deux possibilités : (i) pET qsont vraies ou (ii) pET
qsont fausses. Et si p↔qest faux alors (pest vraie ET qest fausse) ou (pest fausse ET qest
vraie).
3.2. Tableau de vérité. Nous présentons ces définitions en forme de tableaux de vérité, où
V :=vrai, et F :=faux.
Pour la négation :
p¬p
V F
F V
Pour les autres définitions :
p q p ∨q p ⊕q p ∧q p →q p ↔q
V V V F V V V
V F V V F F F
F V V V F V F
F F F F F V V
3.3. Propositions logiques composées. Commençons maintenant à combiner. Si p,qet rsont
trois propositions logiques, alors
P:= ((¬q)∧(p∨r)) →p
est aussi une proposition logique. La valeur de vérité de Pdépend des valeurs de vérité de p,qet
r.
Par exemple : supposons pet qsont fausses et rvraie. Alors ¬qest vraie et p∨rest vraie aussi.
Alors l’hypothèse de l"implcation P, c-à-d., (¬q)∧(p∨r)), est vraie aussi mais la conclusion, p, est
fausse. Alors par définition l’implication Pest fausse (dans le cas p,qfausses et rvraie).
Ainsi nous pouvons calculer la valeur de vérité de Ppour les huit variations des valeurs de vérité
de p, q, r. Le résultats des calculs est résumé dans le tableau suivant :
p q r ¬q p ∨r(¬q)∧(p∨r) ((¬q)∧(p∨r)) →p
V V V F V F V
V V F F V F V
V F V V V V V
V F F V V V V
F V V F V F V
F V F F F F V
F F V V V V F
F F F V F F V
En regardant la dernière colonne on se rend compte que Pest faux si et seulement si pest faux
et qest faux et rest vraie, ou en formule que
((¬p)∧(¬q)) ∧r)

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est vraie.
Ou que Pest vraie si et seulement si
¬(((¬p)∧(¬q)) ∧r)
est vraie.
Posons Q:= ¬(((¬p)∧(¬q)) ∧r)et calculons de nouveau ses valeurs de vérité :
p q r ¬p¬q(¬p)∧(¬q) ((¬p)∧(¬q)) ∧rQ
V V V F F F F V
V V F F F F F V
V F V F V F F V
V F F F V F F V
F V V V F F F V
F V F V F F F V
F F V V V V V F
F F F V V V F V
Considérons aussi la proposition R=p∨(q∨(¬r). On peut aussi calculer son tableau.
p q r P Q R
V V V V V V
V V F V V V
V F V V V V
V F F V V V
F V V V V V
F V F V V V
F F V F F F
F F F V V V
Conclusion : les propositions composées P,Qet Ront la même valeur de vérité, n’importe
les valeurs de p, q,r. On dit P,Qet Rsont des propositions composées (ou formules logiques)
logiquement équivalentes.
Calculons aussi les vérités de la proposition P↔Q:
p q r P Q P ↔Q
V V V V V V
V V F V V V
V F V V V V
V F F V V V
F V V V V V
F V F V V V
F F V F F V
F F F V V V
On voit que la proposition logique composée P↔Qest toujours vraie, n’importe les valeurs de
vérité de p, q et r. On dit P↔Qest une tautologie, notation P⇔Q.

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3.4. Tautologie et contradiction. Nous généralisons.
Définition 3.2. Une proposition logique composée (ou une formule logique) qui est toujours vraie,
quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée une tautologie.
Notation : P⇔V, ici V=Vraie.
Par exemple : p∨(¬p)⇔Vet ((p∧q)→(p∨q)) ⇔V.
Définition 3.3. Une proposition logique composée (ou une formule logique) qui est toujours fausse,
quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée une contra-
diction. Notation : P⇔F, ici F=Fausse.
Par exemple : p∧(¬p)⇔F.
Définition 3.4. Deux formules logiques Pet Qsont appelées logiquement équivalentes si la pro-
position logique P↔Qest une tautologie. Notation : P⇔Q.
Par exemple : (p↔q)⇔[(p→q)∧(q→p)].
Définition 3.5. Si P→Qest une tautologie, où Pet Qsont deux formules logiques, on dit que
P→Qest une règle d’inférence. Notation P⇒Q.
Par exemple : (p∧q)⇒q.
3.5. Propositions logiquement équivalents à l’implication. Considérons la proposition sui-
vante.
Proposition 3.1. Les trois formules logiques "p→q", "(¬q)→(¬p)" et "(¬p)∨q" sont logiquement
équivalentes. Ou
(p→q)⇔((¬q)→(¬p)) ⇔((¬p)∨q).
Démonstration. Nous vérifions par un tableau de vérité.
p q p →q¬q¬p(¬q)→(¬p) (¬p∨q)
V V V F F V V
V F F V F F F
F V V F V V V
F F V V V V V
Les trois colonnes correspondantes sont identique. Donc la proposition est vraie. 
3.6. Formules logiquement équivalentes. Donnons une petite reformulation. On pourrait voir
P=P(p, q, r), Q =Q(p, q, r), R =R(p, q, r)
comme trois formules ou comme trois fonctions qui dépendent des propositions logiques p, q, r. Par
exemple
P:{propositions logiques}3→ {propositions logiques}
où le triple de propositions (p, q, r)est envoyé vers la proposition P=P(p, q, r).
Par définition : Pet Qsont logiquement équivalentes si les fonctions composées avec la fonction
"vérité" deviennent identiques :