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ANALYSE
CO U R S D E M AT H É M AT I Q U E S
PR E M I È R E A N N É E
Exo7

À la découverte de l’analyse
Les mathématiques, vous les avez bien sûr manipulées au lycée. Dans le supérieur, il s’agit d’apprendre à
les construire ! La première année pose les bases et introduit les outils dont vous aurez besoin par la suite.
Elle est aussi l’occasion de découvrir la beauté des mathématiques, de l’infiniment grand (les limites) à
l’infiniment petit (le calcul de dérivée).
L’outil central abordé dans ce tome d’analyse, ce sont les fonctions. Vous en connaissez déjà beaucoup,
racine carrée, sinus et cosinus, logarithme, exponentielle... Elles interviennent dès que l’on s’intéresse à
des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. Position d’une comète en fonction du
temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en
fonction de la nourriture disponible : physique, chimie, biologie ou encore économie, autant de domaines
dans lesquels le formalisme mathématique s’applique et permet de résoudre des problèmes.
Ce tome débute par l’étude des nombres réels, puis des suites. Les chapitres suivants sont consacrés aux
fonctions : limite, continuité, dérivabilité sont des notions essentielles, qui reposent sur des définitions et
des preuves minutieuses. Toutes ces notions ont une interprétation géométrique, qu’on lit sur le graphe de la
fonction, et c’est pourquoi vous trouverez dans ce livre de nombreux dessins pour vous aider à comprendre
l’intuition cachée derrière les énoncés. En fin de volume, deux chapitres explorent les applications des
études de fonctions au tracé de courbes paramétrées et à la résolution d’équations différentielles.
Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d’abord comprendre le cours, ensuite connaître
par cœur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les
démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.
Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre
activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions ! Pour vous aider, vous trouverez sur le
site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.
Alors n’hésitez plus : manipulez, calculez, raisonnez, et dessinez, à vous de jouer !

Sommaire
1 Les nombres réels 1
1 L’ensemble des nombres rationnels Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Propriétés de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Densité de Qdans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Les suites 15
1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Exemples remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Théorème de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Limites et fonctions continues 37
1 Notions de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Fonctions monotones et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Fonctions usuelles 59
1 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Fonctions circulaires inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Dérivée d’une fonction 69
1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 Extremum local, théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Intégrales 85
1 L’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Primitive d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Intégration par parties – Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104