Idéaux premiers de K[X,Y] si K infini.

Idéaux premiers de K[X,Y] si K infini.
Jérôme Von Buhren
vonbuhren.free.fr
–Un idéal principal (P)de K[X,Y] n’est pas maximal.
En effet, on commence par remarquer que P /∈K[X], sinon K[X, Y ]/(P)'(K[X]/(P))[Y]n’est
pas un corps. De même P /∈K[Y]. Comme K est infini, on peut trouver x∈Kqui n’annule
pas le coefficient dominant de P∈(K[X])[Y]. Alors, l’idéal I= (P, X −x)contient (P), et est
distinct de K[X, Y ]. En effet, on a K[X, Y ]/I 'K[x, Y ]/(P(x, Y )) 'K[Y]/(P(x, Y )) 6= 0, car
P(x, Y )n’est pas constant par choix de x.
–Pour tout F, P ∈K[X, Y ]avec P6= 0, il existe a∈K[X],Q, R ∈K[X, Y ]tel que
aF =P Q +Ret degY(R)< degY(P).
Il existe Q1, R1∈K(X)[Y]tel que F=P Q1+R1avec degY(R)< degY(P). En multipliant
par le ppcm a∈K[X]des dénominateurs des coefficients de Q1et R1, on obtient le résultat en
posant Q=aQ1et R=aR1.
–Soit M idéal premier non principal de K[X,Y]. Il existe P∈K[X]∩Mirréductible.
Considérons P∈K[X, Y ]minimale pour le degré en Y parmi les polynômes non nuls de M.
Quitte à décomposer Pen facteur irréductible et à utiliser l’hypothèse que Mest premier, on
peut supposer que Pest irréductible. Comme Mn’est pas principal, il existe F∈Mtel que P
ne divise pas F. En utilisant les notations du second point, on peut écrire aF =P Q +Ravec
degY(R)< degY(P). On obtient que R∈M, donc par hypothèse sur P, que R= 0. Comme P
est irréductible et ne divise pas F, on a que Pdivise a∈K[X], donc P∈K[X].
–En déduire que M est maximal.
Comme (P)⊂M, on a un morphisme d’anneau surjectif ϕ:K[X, Y ]/(P)→K[X, Y ]/M. Or, on
a un isomorphisme K[X, Y ]/(P)'(K[X]/(P))[Y], et comme Pest irréductible dans K[X, Y ], il
l’est aussi dans K[X], donc K[X]/(P)est un corps. On en déduit que K[X, Y ]/(P)est principal.
Ainsi, ker(ϕ)=(R)et Rest nécessairement irréductible, car K[X, Y ]/M est intègre. Ainsi, on a
un isomorphisme ((K[X]/(P))[Y])/(R)'K[X, Y ]/M, donc K[X, Y ]/M est un corps, donc M
est maximal.
–Donner les idéaux premiers de K[X, Y ]
Les idéaux premiers sont (0),(P)avec Pirréductible et les idéaux maximaux de K[X,Y].
–Donner les idéaux maximaux de K[X, Y ]avec K algébriquement clos.
Il est clair que l’idéal (X−a, Y −b)est maximal. Réciproquement, par le point 3, on peut
toujours trouver dans un idéal maximal deux éléments comme ceux-ci, donc par maximalité, on
a égalité.
–Donner les idéaux maximaux de R[X, Y ].
En reprenant les notations ci-dessus, on a que ((R[X]/(P))[Y])/(R)'R[X, Y ]/M. Ainsi, L=
R[X, Y ]/M est Rou C. Si L=R,Pet Rsont de degré 1, donc M= (P, Q)=(X−a, Y −b)
où la classe de Qmodulo Pest R. Si L=C, on remarque de même que M= (P, Q)où P
irréductible de degré 2et Q(X, Y ) = aX +bY +c(quitte à échanger Xet Y).
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