Idéaux premiers de K[X,Y] si K infini.

Idéaux premiers de K[X,Y] si K infini.
Jérôme Von Buhren
vonbuhren.free.fr
– Un idéal principal (P ) de K[X,Y] n’est pas maximal.
En effet, on commence par remarquer que P ∈
/ K[X], sinon K[X, Y ]/(P ) ' (K[X]/(P ))[Y ] n’est
pas un corps. De même P ∈
/ K[Y ]. Comme K est infini, on peut trouver x ∈ K qui n’annule
pas le coefficient dominant de P ∈ (K[X])[Y ]. Alors, l’idéal I = (P, X − x) contient (P ), et est
distinct de K[X, Y ]. En effet, on a K[X, Y ]/I ' K[x, Y ]/(P (x, Y )) ' K[Y ]/(P (x, Y )) 6= 0, car
P (x, Y ) n’est pas constant par choix de x.
– Pour tout F, P ∈ K[X, Y ] avec P 6= 0, il existe a ∈ K[X], Q, R ∈ K[X, Y ] tel que
aF = P Q + R et degY (R) < degY (P ).
Il existe Q1 , R1 ∈ K(X)[Y ] tel que F = P Q1 + R1 avec degY (R) < degY (P ). En multipliant
par le ppcm a ∈ K[X] des dénominateurs des coefficients de Q1 et R1 , on obtient le résultat en
posant Q = aQ1 et R = aR1 .
– Soit M idéal premier non principal de K[X,Y]. Il existe P ∈ K[X] ∩ M irréductible.
Considérons P ∈ K[X, Y ] minimale pour le degré en Y parmi les polynômes non nuls de M .
Quitte à décomposer P en facteur irréductible et à utiliser l’hypothèse que M est premier, on
peut supposer que P est irréductible. Comme M n’est pas principal, il existe F ∈ M tel que P
ne divise pas F . En utilisant les notations du second point, on peut écrire aF = P Q + R avec
degY (R) < degY (P ). On obtient que R ∈ M , donc par hypothèse sur P , que R = 0. Comme P
est irréductible et ne divise pas F , on a que P divise a ∈ K[X], donc P ∈ K[X].
– En déduire que M est maximal.
Comme (P ) ⊂ M , on a un morphisme d’anneau surjectif ϕ : K[X, Y ]/(P ) → K[X, Y ]/M . Or, on
a un isomorphisme K[X, Y ]/(P ) ' (K[X]/(P ))[Y ], et comme P est irréductible dans K[X, Y ], il
l’est aussi dans K[X], donc K[X]/(P ) est un corps. On en déduit que K[X, Y ]/(P ) est principal.
Ainsi, ker(ϕ) = (R) et R est nécessairement irréductible, car K[X, Y ]/M est intègre. Ainsi, on a
un isomorphisme ((K[X]/(P ))[Y ])/(R) ' K[X, Y ]/M , donc K[X, Y ]/M est un corps, donc M
est maximal.
– Donner les idéaux premiers de K[X, Y ]
Les idéaux premiers sont (0), (P ) avec P irréductible et les idéaux maximaux de K[X,Y].
– Donner les idéaux maximaux de K[X, Y ] avec K algébriquement clos.
Il est clair que l’idéal (X − a, Y − b) est maximal. Réciproquement, par le point 3, on peut
toujours trouver dans un idéal maximal deux éléments comme ceux-ci, donc par maximalité, on
a égalité.
– Donner les idéaux maximaux de R[X, Y ].
En reprenant les notations ci-dessus, on a que ((R[X]/(P ))[Y ])/(R) ' R[X, Y ]/M . Ainsi, L =
R[X, Y ]/M est R ou C. Si L = R, P et R sont de degré 1, donc M = (P, Q) = (X − a, Y − b)
où la classe de Q modulo P est R. Si L = C, on remarque de même que M = (P, Q) où P
irréductible de degré 2 et Q(X, Y ) = aX + bY + c (quitte à échanger X et Y ).
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