TD 8 - Anneaux, Idéaux, Anneaux de polynômes

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 8 - Anneaux, Idéaux, Anneaux de polynômes
Exercice 1.
1. Soient a, b ∈ C. Montrer que l’idéal (X − a, Y − b) de C[X, Y ] engendré par
X − a et Y − b est maximal.
2. Soit M un idéal maximal de C[X, Y ]. Donner la forme du noyau du morphisme d’algèbres
composé : C[X] ֒→ C|X, Y ] ։ C[X, Y ]/M.
3. Montrer que les idéaux maximaux de C[X, Y ] sont de la forme (X − a, Y − b).
Exercice 2. Soit A = C[X, Y ]/(X 2 − Y 3 ). On note x et y les projections de X et Y dans A.
L’anneau A code les informations sur la courbe algébrique C d’équation X 2 − Y 3 = 0. A l’aide
de l’exercice précédent, remarquer par exemple que la donnée d’un point de C est équivalente à la
donnée d’un idéal maximal de A.
1. Montrer que A est intègre.
2. Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux injectif φ : A → C[T ] tel que x 7→ T 3 et
y 7→ T 2 . Quelle est son image ?
3. Montrer que le corps des fractions de A est isomorphe à C(T ) et montrer que A n’est pas
factoriel. Comparer avec la courbe algébrique d’équation X 2 − Y = 0...
Exercice 3. Montrer que les anneaux C[X, Y ]/(Y − X 2 ) et C[X] sont isomorphes.
Exercice 4.
1. Décrire les idéaux premiers du sous-anneau A = C[Z, Z −1 ] de C(Z).
2. Montrer que les anneaux B = C[X, Y ]/(X 2 + Y 2 − 1) et A sont isomorphes.
3. Montrer que tout idéal maximal de B est de la forme Nx,y = {f ∈ B, f (x, y) = 0} où (x, y)
est un point de C2 tel que x2 + y 2 = 1
Exercice 5.
1. Soient p un nombre premier, a, b ∈ Fp . Montrer que X 4 + aX 2 + b2 n’est pas
irréductible sur Fp .
2. Soient K un corps et a ∈ K. Montrer que Y 2 − X(X − 1)(X − a) est irréductible dans
K[X, Y ].
3. Soit K une extension finie de Q dont le degré n’est pas un multiple de 5. Montrer que le le
polynôme X 5 + 2X + 2 est irréductible sur Q et sur K.
4. Soient P et Q dans C[X, Y ] sans facteur commun. Montrer qu’il n’existe pas de polynôme
primitif R ∈ C[X][Y ] divisant P et Q dans C(X)[Y ]. En déduire qu’il existe A, B ∈ C[X, Y ]
et D ∈ C[X] non nul tel que AP + BQ = D. Corollaire : l’intersection de deux courbes
complexes algébriques planes sans composantes communes est un ensemble fini.
√
Exercice 6. Soit d un entier sans facteur carré et A = Z[ d].
1. Soit p un nombre premier. Montrer les isomorphismes d’anneaux
A/pA ≃ Z[X]/(p, X 2 − d) ≃ Fp [X]/(X 2 − d).
2. A quelle condition l’élément p est-il premier dans A ?
1
3. Soit P un idéal premier non nul de A. Montrer qu’il existe un nombre premier p ∈ N tel
que P ∩ Z = pZ.
4. Comparer les idéaux premiers et les idéaux maximaux de A.
Exercice 7.
1. Soient k un corps et P ∈ k[X] de degré n ≥ 2. Montrer que P est irréductible
sur k si et seulement si P n’a pas de racine dans les extensions de k de degré inférieur ou
égal à n/2.
2. Application : montrer que X 4 + 1 est irréductible sur Z mais réductible sur Fp pour tout
nombre premier p.
Exercice 8. Soit A un anneau commutatif et Nil(A) l’ensemble des ses éléments nilpotents.
1. Montrer que Nil(A) est un idéal.
2. Montrer que Nil(A) est contenu dans tout idéal premier de A.
3. Soit s 6∈ Nil(A) et S = {1, s, ..., sn , ...}. Montrer que l’ensemble des idéaux de A disjoints
de S contient un élément maximal P. Montrer que P est premier. En déduire que
\
Nil(A) =
P.
P, idéal premier
Exercice 9. Soit A = {P ∈ Q[X], P (0) ∈ Z}. Montrer que A est un sous-anneau de Q[X] de
corps des fractions Q(X) et qu’il n’est pas noetherien.
Exercice 10. Soit K un corps et M un K-espace vectoriel de dimension finie.
1. Montrer que A = EndK M est simple c’est-à-dire qu’il ne contient pas d’idéal bilatère
propre.
2. Montrer que, comme A-module à gauche, M est un module simple isomorphe à un idéal à
gauche de A.