TD 8 - Anneaux, Idéaux, Anneaux de polynômes

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 8 - Anneaux, Idéaux, Anneaux de polynômes
Exercice 1. 1. Soient a, b ∈C. Montrer que l’idéal (X−a, Y −b)de C[X, Y ]engendré par
X−aet Y−best maximal.
2. Soit Mun idéal maximal de C[X, Y ]. Donner la forme du noyau du morphisme d’algèbres
composé : C[X]֒→C|X, Y ]։C[X, Y ]/M.
3. Montrer que les idéaux maximaux de C[X, Y ]sont de la forme (X−a, Y −b).
Exercice 2. Soit A=C[X, Y ]/(X2−Y3). On note xet yles projections de Xet Ydans A.
L’anneau Acode les informations sur la courbe algébrique Cd’équation X2−Y3= 0. A l’aide
de l’exercice précédent, remarquer par exemple que la donnée d’un point de Cest équivalente à la
donnée d’un idéal maximal de A.
1. Montrer que Aest intègre.
2. Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux injectif φ:A→C[T]tel que x7→ T3et
y7→ T2. Quelle est son image ?
3. Montrer que le corps des fractions de Aest isomorphe à C(T)et montrer que An’est pas
factoriel. Comparer avec la courbe algébrique d’équation X2−Y= 0...
Exercice 3. Montrer que les anneaux C[X, Y ]/(Y−X2)et C[X]sont isomorphes.
Exercice 4. 1. Décrire les idéaux premiers du sous-anneau A=C[Z, Z−1]de C(Z).
2. Montrer que les anneaux B=C[X, Y ]/(X2+Y2−1) et Asont isomorphes.
3. Montrer que tout idéal maximal de Best de la forme Nx,y ={f∈B, f(x, y) = 0}où (x, y)
est un point de C2tel que x2+y2= 1
Exercice 5. 1. Soient pun nombre premier, a, b ∈Fp. Montrer que X4+aX2+b2n’est pas
irréductible sur Fp.
2. Soient Kun corps et a∈K. Montrer que Y2−X(X−1)(X−a)est irréductible dans
K[X, Y ].
3. Soit Kune extension finie de Qdont le degré n’est pas un multiple de 5. Montrer que le le
polynôme X5+ 2X+ 2 est irréductible sur Qet sur K.
4. Soient Pet Qdans C[X, Y ]sans facteur commun. Montrer qu’il n’existe pas de polynôme
primitif R∈C[X][Y]divisant Pet Qdans C(X)[Y]. En déduire qu’il existe A, B ∈C[X, Y ]
et D∈C[X]non nul tel que AP +BQ =D.Corollaire : l’intersection de deux courbes
complexes algébriques planes sans composantes communes est un ensemble fini.
Exercice 6. Soit dun entier sans facteur carré et A=Z[√d].
1. Soit pun nombre premier. Montrer les isomorphismes d’anneaux
A/pA ≃Z[X]/(p, X2−d)≃Fp[X]/(X2−d).
2. A quelle condition l’élément pest-il premier dans A?
1

3. Soit Pun idéal premier non nul de A. Montrer qu’il existe un nombre premier p∈Ntel
que P∩Z=pZ.
4. Comparer les idéaux premiers et les idéaux maximaux de A.
Exercice 7. 1. Soient kun corps et P∈k[X]de degré n≥2. Montrer que Pest irréductible
sur ksi et seulement si Pn’a pas de racine dans les extensions de kde degré inférieur ou
égal à n/2.
2. Application : montrer que X4+ 1 est irréductible sur Zmais réductible sur Fppour tout
nombre premier p.
Exercice 8. Soit Aun anneau commutatif et Nil(A)l’ensemble des ses éléments nilpotents.
1. Montrer que Nil(A)est un idéal.
2. Montrer que Nil(A)est contenu dans tout idéal premier de A.
3. Soit s6∈ Nil(A)et S={1, s, ..., sn, ...}. Montrer que l’ensemble des idéaux de Adisjoints
de Scontient un élément maximal P. Montrer que Pest premier. En déduire que
Nil(A) = \
P,idéal premier
P.
Exercice 9. Soit A={P∈Q[X], P (0) ∈Z}. Montrer que Aest un sous-anneau de Q[X]de
corps des fractions Q(X)et qu’il n’est pas noetherien.
Exercice 10. Soit Kun corps et Mun K-espace vectoriel de dimension finie.
1. Montrer que A= EndKMest simple c’est-à-dire qu’il ne contient pas d’idéal bilatère
propre.
2. Montrer que, comme A-module à gauche, Mest un module simple isomorphe à un idéal à
gauche de A.