TD 7 - Anneaux, Idéaux

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 7 - Anneaux, Idéaux
Exercice 1. Montrer que Z[X]est un anneau factoriel non principal.
Exercice 2. On considère A=Z[√10] l’ensemble des nombres réels de la forme a+b√10 avec a, b ∈Z. On définit
l’application N:A→Z, N(a+b√10) = a2−10b2.
1. Vérifier que Aest un anneau.
2. Montrer que pour tous x, y ∈A,N(x)N(y) = N(xy). En déduire la forme des inversibles de A.
3. Montrer que 2est irréductible dans A.
4. Montrer que 2n’est pas un élément premier dans A.
Exercice 3. Soit A=Z[i√5] l’ensemble des nombres complexes de la forme a+bi√5avec a, b ∈Z.
1. Vérifier que Aest un anneau. Quels sont les éléments inversibles de A?
2. Soient x= 3 et y= 2 + i√5. Monter que les éléments xet ysont premiers entre eux non inversibles.
3. Montrer que xet yn’ont pas de PPCM.
4. Soient z= 9 et t= 3(2 + i√5). Montrer que zet tn’ont pas de PGCD.
5. Rappeler pourquoi, dans un anneau intègre, un élément non nul premier est irréductible. Montrer que 3est
irréductible dans Amais pas premier. Que peut-on dire de A?
Exercice 4 (Théorème des deux carrés). Soit A=Z[i]l’anneau des entiers de Gauss et
Σ = {a2+b2, a, b ∈N}.
1. Déterminer les éléments inversibles de A. (On introduira une “norme “ N comme dans l’exercice 2.)
2. Montrer que Σest stable par multiplication.
3. Montrer que Z[i]est euclidien.
4. Soit pun nombre premier. Montrer que p∈Σsi et seulement si pn’est pas irréductible dans Z[i]. (On remarquera
que l’anneau Z[i]/pZ[i]est isomorphe à Fp[X]/(X2+ 1).)
5. Soit pun nombre premier. Montrer que p∈Σsi et seulement si p= 2 ou p≡1 mod 4.
6. Soit n∈N,n≥2et n= Πpvp(n)sa décomposition en facteurs premiers. Montrer que n∈Σsi et seulement si
vp(n)est pair pour p≡3 mod 4.
7. Déterminer les éléments irréductibles de Z[i].
Exercice 5. 1. Soit Aun anneau, Iun idéal et on note πla projection A→A/I.
(a) Montrer que les idéaux de A/I sont en bijection avec les idéaux de Acontenant I.
(b) Montrer que les idéaux premiers (resp. maximaux) de A/I sont en bijection avec les idéaux premiers (resp.
maximaux) de Acontenant I.
2. Déterminer les idéaux premiers de
(a) C[X],
(b) R[X]/(X2+X+ 1),
(c) R[X]/(X3−6X2+ 11X−6),
(d) R[X]/(X4−1).
3. Déterminer les morphismes de R-algèbres de ces anneaux dans R, dans C.
Exercice 6. Soient pun nombre premier impair, ²une racine primitive pième de l’unité et A=Z[²].
1. Montrer que le polynôme Φp= 1+X+...+Xp−1est irréductible sur Q.On pourra appliquer le critère d’Eisenstein
àP(X) = Φp(X+ 1).
2. Montrer que Aest un groupe libre de rang p−1dont une base est donnée par {1, ², ..., ²p−2}.
1

2
3. Montrer que pn’est pas irréductible dans A(on pourra donner le reste de la division euclidienne de Xp−1+...+1
par X−1) et que l’intersection de Zavec l’idéal (1−²)Aest égale à l’idéal pZde Z. En déduire que A/(1 −²)A'
Z/pZ.
Exercice 7 (Radical de Jacobson). Soit Aun anneau. On définit le radical de Acomme l’intersection des idéaux
à gauche maximaux de A. On le note Rad(A). C’est un idéal à gauche de A.
1. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes
(a) x∈Rad(A),
(b) Pour tout a∈A, l’élément 1−ax est inversible à gauche,
(c) Pour tout a∈A, l’élément 1−ax est inversible.
2. (a) Soit Mun idéal à gauche maximal et a∈A−M. Montrer que
(a:M) = {x∈A, xa ∈M}
est un idéal à gauche maximal.
(b) Montrer que Rad(A) est l’intersection de tous les idéaux de la forme (a:M)où Mest idéal maximal à
gauche et a∈A−M.
(c) En déduire que Rad(A) est un idéal bilatère.
3. Montrer que Rad(A) est égal à l’intersection des idéaux à droite maximaux.
4. Soient Kun corps et Ale sous-anneau de Mn(K)des matrices triangulaires supérieures.
(a) Montrer que le sous-ensemble Rde Ades matrices de diagonale nulle est un idéal bilatère de A.
(b) Soit Mi={(ai,k )∈A, ai,i = 0}. Montrer que Miest un idéal maximal à gauche de A.
(c) Montrer que Rad(A) = R.
5. Un idéal à gauche I(resp. à droite, bilatère) est dit nilidéal si tout x∈Iest nilpotent. Montrer qu’un nilidéal
est inclus dans Rad(A).
Exercice 8. Soit Ol’ensemble des racines des polynômes unitaires à cœfficients dans Z.
1. Montrer l’équivalence entre les assertions suivantes :
(a) z∈ O.
(b) Le sous-anneau Z[z]de Cengendré par zest un groupe abélien de type fini.
(c) Il existe un sous-anneau de Ccontenant zqui est un groupe abélien de type fini.
2. Montrer que Oest un sous-anneau de C. On l’appelle l’anneau des entiers algébriques. Montrer qu’il n’est pas
noetherien.
3. Si Kest un corps de nombres c’est-à-dire une extension finie de Q, on note OK=O ∩ Kson anneau d’entiers.
(a) Identifier OQ.
(b) Soit ∆∈Z−{0,1}sans facteur carré. On pose K=Q(√∆). Pour z=x+y√∆∈K, on pose ¯z=x−y√∆
et ½N(z) = z¯z,
T(z) = z+ ¯z.
(i) Si ∆≡2,3 mod 4 montrer que OK=Z[√∆].
(ii) Si ∆≡1 mod 4, montrer qur OK=Zh1+√∆
2i.
Exercice 9 (Résultant). 1. Soient kun corps et P, Q ∈k[X]des polynômes de degrés respectifs pet q. On
considère l’application
R:kq−1[X]×kp−1[X]−→ kp+q−1[X]
(A, B)7−→ AP +BQ.
On appelle résultant de Pet Qet l’on note Res(P, Q)le déterminant de cette application. A quelle condition
est-il nul ?
2. Application : On appelle nombre algébrique toute racine d’un polynôme à coefficients dans Q. Montrer que
l’ensemble des nombres algébriques est un corps.
Exercice 10. Soit Aun anneau commutatif.
1. Soit Iun idéal de Aet a∈A. On note (a:I) := {x∈A, ax ∈I}.On suppose que les idéaux (a:I)et I+aA
sont finiment engendrés. Montrer qu’il en est de même pour I.
2. Déduire de ce qui précède que si tout idéal premier de Aest finiment engendré, alors Aest noetherien.