Cours DF

CALCUL SCIENTIFIQUE 2 : DIFFÉRENCES FINIES POUR
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
PIERRE PUISEUX
1. Préliminaires
Un théorème.
Théorème 1. Le rayon spectral d'un matrice est un minorant de l'ensemble des normes
1.1.
matricielles subordonnées :
ρ (A) 6 kAk
1.2.
EDP : notations et vocabulaire.
Cette section introduit des dénitions fonda-
mentales sur les équations aux dérivées partielles (EDP).
í
Équation aux dérivées partielles : équation comprenant au moins une dérivée partielle
d'une fonction de plusieurs variables.
í
í
Ordre d'une équation aux dérivées partielles : ordre de la dérivée de plus haut degré
2
∂u
de l'EDP :
− ∂∂xu2 = f est d'ordre 2.
∂t
EDP linéaire : équation de la forme
F (u, ux , uy , uxx , uxy , uyy , . . . , x, y) = 0
F est linéaire par rapport aux variables, sauf éventuellement les deux
(x, y). Chacun des termes comporte au plus la fonction elle-même ou une
où la fonction
dernières
de ses dérivées ; les coecients des termes peuvent dépendre des variables indépendantes. Exemples :
uxx + 3uxy + uyy + ux =uexy = 0
2
linéaire, à coecients variables : sin(xy)uxx + 3x uxy + uyy + ux =u = 0
2
x
non linéaire : uxx + 3uxy + (ux ) =ue =y = 0
EDP linéaire, à coecients constants :
EDP
EDP
1.2.1.
Classication sommaire des EDP linéaires.
considérons une EDP linéaire à deux
variables, :
auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + f u = g
on lui associe son polynôme caractéristique en
α
et
β
:
P (α, β) = aα2 + 2bαβ + cβ 2 + dα + eβ + f
Les propriétés de
P (α, β) déterminent la nature de l'EDP Selon le discriminant b − ac, le
polynôme et l'EDP sont dits :
í hyperbolique si b2 − ac > 0
í parabolique si b2 − ac = 0
í elliptique si b2 − ac < 0
Exercice 2.
En TP, tracer les polynômes dans les trois cas. Par exemple
í a=b=1
í a = 1, b = c = 12
í a = b = 1, c = 2
1
Janvier 2010
Figure 1.1.
Résolution d'EDP par diérences nies
z = P (x, y)
Pierre Puiseux
de type hyperbolique, parabolique et elliptique
L'équation parabolique modèle est :
1.2.2.
ut − ∆u = f
.
où
ut
désigne la dérivée partielle par rapport au temps (u est donc une fonction de
variable d'espace, et de
t,
x,
variable de temps). Cette équation modélise par exemple la
conduction de la chaleur en régime instationnaire.
L'équation elliptique modèle est.
1.2.3.
− ∆u = f
(1.1)
où
−∆u =∂12 u + ∂22 u , ∂i ,
désignant la dérivée partielle par rapport à la i-ème variable.
Cette équation modélise par exemple le phénomène de conduction de la chaleur stationnaire (c.à.d. en régime permanent). En élasticité, on rencontre également l'équation du
bi-laplacien, c.à.d. :
− ∆2 u = f
(1.2)
L'équation (1.1) peut être discrétisée par diérences nies, volumes nis ou éléments nis. Les méthodes des diérences nies sont limitées à des domaines géométriques simples .
L'équation (1.2) est le plus souvent discrétisée par éléments nis, pour des raisons de précision.
1.2.4.
Équation hyperbolique modèle.
interviennent principalement en mécanique des uides
(aéronautique, écoulements diphasiques, modélisation de rupture de barrage et d'avalanches). Elles sont souvent obtenues en négligeant les phénomènes de diusion (parce
qu'ils sont de faibles importance) dans les équations de conservation de la mécanique.
L'exemple le plus classique d'équation hyperbolique linéaire est l'équation de transport
(ou d'advection).
(1.3)
ut − ux = 0, t ∈ R, x ∈ R
avec condition initiale :
(1.4)
u (x, 0) = u0 (x)
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Résolution d'EDP par diérences nies
Dans le cas où la condition initiale
u0
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est susamment régulière, il est facile de voir que
la fonction :
u (x, t) = u0 (x + t)
(1.5)
u0
est solution de (1.3)-(1.4). Si
est non régulière (par exemple discontinue, il est possible
de montrer que la fonction dénie par (1.5) est solution en un sens que nous qualierons
de faible .
1.2.5.
Conditions aux limites.
délimite un domaine d'étude
Une EDP ne sut pas à dénir une solution unique ; on
Ω ⊂ Rd
et on adjoint des conditions aux limites (C.L.) à
l'EDP.
í
í
donnée sur la frontière ∂Ω
∂u
Conditions de Neumann : la dérivée normale est donnée
= a sur
∂n
→
−
→
−
∇u. n , où n est la normale extérieure à ∂Ω.
Conditions aux limites Dirichlet :
Maillage.
u = u0
∂Ω.
Avec
∂u
∂n
=
Ω ⊂ Rd . Un maillage de Ω est un découpage de
Ω en polyêdres (triangles ou en rectangles pour d = 2, tétraêdres, hexaêdres en dimension
d = 3) . Les sommets des polyêdres sont les n÷uds du maillage.
1.3.
Exemple.
í
on se
Soit un domaine borné
Ω = ]0, 1[ × ]0, 1[,
donne n ∈ N et h =
1
. L'ensemble des points
n+1
Ωh = {(ih, jh) , 1 6 i, j 6 n}
dénit un maillage cartésien régulier (plus exactement le maillage est l'ensemble des
carrés délimités par les droites d'équations
x = ih
et
y = jh,
avec
1 6 i, j 6 n)
Figure 1.2. Deux maillages cartésiens : irrégulier et régulier, et un mail-
lage triangulaire
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í
Résolution d'EDP par diérences nies
On peut également se donner deux suites de
(xi )16i6nx
et
(yj )16j6ny .
[0, 1],
Pierre Puiseux
nies et strictement croissantes
On considère alors le maillage cartésien irrégulier
Ωh = {(xi , yj ) 1 6 i 6 nx , 1 6 j 6 ny }
Plus exactement le maillage est l'ensemble des rectangles délimités par les droites
x = xi
et
y = yj , avec 1 6 i 6 nx , 1 6 j 6 ny ). Ponctuellement, on peut avoir besoin
x0 = y0 = 0 et xnx +1 = yny +1 = 1
une EDP linéaire avec ses CL sur un domaine Ω
d'ajouter des points de la frontière en posant,
Étant donnée
Au = b
usuellement on ne sait pas la résoudre analytiquement. Dans ce cours, on se contentera
de trouver, par la méthode des diérences nies, une approximation de la solution aux
N
points du maillage Ωh . Cette approximation, notée Uh est donc un vecteur de R
où N
est le nombre de points du maillage.
Si une des variables est le temps, on la note
t ∈ [0, T ]
(plutôt que
x
ou
y ),
et de la
même manière que pour les variables d'espace, on discrétise le temps en considérant une
tn ∈ [0, T ], que l'on prendra le plus souvent équirépartis, c'est
tn = n.δt où δt > 0 est le pas de temps.
conditions, si u : [0, T ] × Ω → R est une fonction, la valeur u (tn , xi , yj ) est
suite croissante d'instants
à dire de la forme
Dans ces
uni,j .
notée
1.4.
Les principales formules de diérences nies.
On rappel le théorème de Taylor
sous la forme de Young :
Théorème 3. soit f une fonction de classe
C n+1 au voisinage d'un point x ∈ R Alors
pour tout h réel,
f (x + h) =
(1.6)
n
X
hk
k!
k=0
f (k) (x) + O hn+1
La formule (1.6) est appelée formule de Taylor d'ordre k (pour f au voisinage de x)
(k)
Ici f
(x) désigne la dérivée k ième de f, et O (hn+1 ) est une quantité qui tend vers 0
n+1
aussi vite que h
lorsque h tend vers 0.
n+1
reste borné
En toute rigueur, on dit que ϕ (h) est un O (h
) si et seulement si hϕ(h)
n+1
au voisinage de
h = 0.
La formule de Taylor donne une approximation de
dérivées au point
f (x + h) ,
connaissant
f
et ses
x.
Réciproquement, connaissant la fonction
approximation des dérivées successives de
f
f
au voisinage de
au point
x,
on peut en déduire une
x.
Proposition 4. Les formules suivantes donnent des approximations des dérivées de f au
point x :
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
f (x + h) − f (x)
+ O (h)
h
f (x) − f (x − h)
+ O (h)
f 0 (x) =
h
f (x + h) − f (x − h)
f 0 (x) =
+ O h2
2h
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
2
f 00 (x) =
+
O
h
h2
f 0 (x) =
Ces formules sont à la base des méthodes de diérences nies utilisées pour résoudre les
équations aux dérivées partielles de la physique. Elles se démontrent en écrivant la formule
de Taylor à un ordre ad hoc, aux points
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x−h
et
x + h,
et en faisant des combinaisons
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Résolution d'EDP par diérences nies
Pierre Puiseux
linéaires de ces équations. Pour la troisième formule, par exemple, on utilise
points
x+h
et
x−h
(1.6)
aux
:
h2 00
f (x) + O h3
2
h2
f (x − h) = f (x) − hf 0 (x) + f 00 (x) + O h3
2
f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) +
(1.11)
(1.12)
en soustrayant la seconde équation de la première , on obtient
2hf 0 (x) = f (x + h) − f (x − h) + O h3
O(h3 )
h
d'où, en remarquant que
Exercice 5.
Si
avec
= O (h2 ) ,
on déduit la formule anoncée.
Démontrer les autres formules proposées.
∂f
∂2f
Rd → R alors les formules s'appliquent aux dérivées partielles ∂x
et
∂xi ∂xj
i
f :Ω⊂
1 6 i, j 6 d
Exemple 6.
Pour
d=2
on a :
∂ 2f
1
2
(x,
y)
=
(f
(x
+
h,
y)
−
2f
(x,
y)
+
f
(x
−
h,
y))
+
O
h
∂x2
h2
2
1
∂ f
(x, y) = 2 (f (x, y + h) − 2f (x, y) + f (x, y − h)) + O h2
2
∂y
h
on en déduit que
∆f (x, y) =
1
2
(f
(x
+
h,
y)
−
4f
(x,
y)
+
f
(x
−
h,
y)
+
f
(x,
y
+
h)
+
f
(x,
y
−
h))
+
O
h
h2
ce qui se traduit plus visuellement en disant que la molécule (stencil) du laplacien de
pas
h
est

1
1
= 2  1 −4 1 
h
1

∆h
1.5.
Exemple basique.
Dans le cas général, on cherche à résoudre une EDP avec ses
conditions aux limites
Au = b
l'opérateur
A
prend en compte les conditions aux limites. Par exemple
On considère l'EDP
(1.13)

00
0

−u + cu
u (0)

u (1)
1
=f
=0
=0
dans
f, c
]0, 1[
sont des fonctions données,
1
de longueur h =
n+1
c > 0.
On découpe le segment
[0, 1]
en
n+1
intervalles
Ωh = {ih, 0 6 i 6 n + 1}
í
í
Les conditions aux limites s'écrivent :
u0 = un+1 = 0
L'approximation par diérences nies de la dérivée seconde au point
00
ui
=
ih
est
1
2
(u
−
2u
+
u
)
+
O
h
i−1
i
i+1
h2
1. En réalité c'est une EDP à une seule variable, donc une simple équation diérentielle, mais elle
permet de bien comprendre le fonctionnement de la méthode des diérences nies.
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í
Résolution d'EDP par diérences nies
Pour la dérivée première, on prend une approximation en
Pierre Puiseux
O (h2 )
an de garder la
même précision que sur la dérivée seconde
u0i =
1
(ui+1 − ui−1 ) + O h2
2h
Avec ces trois équations, on peut réécrire (1.13) aux points du maillage :
1
c1
2
(u
−
(u
−
2u
+
u
)
+
u
)
=
f
+
O
h
2
0
1
2
0
0
h2
2h
1
ci
(1.14)
1 < i < n : 2 (ui−1 − 2ui + ui+1 ) +
(ui+1 − ui−1 ) = fi + O h2
h
2h
1
cn
i = n : 2 (un−1 − 2un + un+1 ) +
(un+1 − un−1 ) = fn + O h2
h
2h
Ce qui peut s'écrire matriciellement Ah Uh = Bh , soit, en extension :


c1
2
− h12 + 2h
0
···
0
u1
h2
c2
c2
2
1
 − h12 − 2h

−
·
·
·
0
+
2
2

h
h
2h

  u2
.
..
..

  ..
.
.
.
0
.

 .


.

..
cn−1
1
2
.

.
− h2 + 2h  un−1
.
h2
cn
2
un
0
···
···
− h12 − 2h
h2
i=1 :
La résolution de ce système fournit
Uh = A−1
h Bh

f1

 f2 



 =  ... 




 f



qui contient les approximations de la
u aux points du maillage.
kπ
λk = =2 + 2 cos n+1
, k = 1, 2, . . . , n;
solution
1.6.
Consistance, stabilité, convergence.
La première question qui se pose concerne
la qualité de la solution : est-elle proche de la solution exacte ?
0 (ou
∗
bien n vers l'inni), la solution approchée Uh converge-t-elle vers les valeurs exactes Uh =
∗
(u (ih))16i6n de la solution ?
La seconde question concerne la convergence : si l'on fait tendre le pas
h
vers
De manière générale, on considère une EDP avec ses conditions aux limites et initiales :
Φ (u) = 0
(1.15)
de solution
ũ : Ω 7→ R
et
Ωh ,
un maillage de
Ω,
généralement dans ce cours, le domaine
est :
í Ω = ]0, 1[ × ]0, +∞[
(x, t) ∈ Ω, x est la variable d'espace et t la
variable temps. Le maillage est de la forme Ωh = {(j∆x, n∆t) , 1 6 j 6 J , et n > 0}.
On a posé h = (∆x, ∆t)
í ou bien Ω = ]0, 1[ × ]0, 1[ si le temps n'intervient pas et le maillage est de la forme
Ωh = {(i∆x, j∆y) , 1 6 j 6 J , et 1 6 i 6 I}. On a posé h = (∆x, ∆y)
En chaque point (j∆x, n∆t) l'équation Φ (u) = 0 est discrétisée par diérences nies sous
, où pour tout point
une forme
Φnj (u) = 0
(1.16)
Dénition 7.
í
Troncature
On appelle erreur locale de consistance ou erreur locale de troncature au point
(j∆x, n∆t)
la valeur :
εnj = Φnj (ũ)
où
í
ũ
et la solution exacte
L'erreur (globale) de troncature est
ε (∆x, ∆t) = max εnj , (j∆x, n∆t) ∈ Ωh
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n−1
fn
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í
Résolution d'EDP par diérences nies
Pierre Puiseux
Le schéma est consistant si
lim
ε (∆x, ∆t) = 0
(∆x,∆t)→(0,0)
í
Le schéma est consistant d'ordre
p
en espace,
q
en temps si
ε (∆x, ∆t) = O (∆xp ) + O (∆tq )
Dénition 8. Si les fonctions Φnj sont linéaires, alors la méthode peut s'écrire comme un
système linéaire
indépendament
Dénition 9.
Ah Uh = Bh .
de h
La méthode est stable si et seulement si
On appelle restriction à la grille
Ωh
A−1
h
est borné
l'application
ρh : C 1 (]0, 1[) → Rn
u 7→ (u1 , u2 , . . . , un )t
et
ρh (u)
sera généralement noté
Uh
ou parfois même
uh .
Théorème 10. Une méthode stable et consistante est convergente.
Démonstration.
TODO A revoir...L'erreur
Eh = Ũh − Uh
vérie
Ah Eh = Ah Ũh − Ah Uh
= Ah Ũh − Bh
= Rh
Eh = A−1
h Rh
donc
puis
A−1
h
kEh k 6
kRh k
2. Différences finies pour les problèmes elliptiques
2.1.
En dimension 1.
(2.1)
2.1.1.

00

−u = f
u (0) = 0

u (1) = 0
sur
On reprend la problème modèle du premier chapitre :
]0, 1[
Discrétisation. h =
précédent, on pose
1
,n
n+1
> 1,
on dénit la discrétisation comme au chapitre
u (ih) = ui
La discrétisation de (2.1) amène le système linéaire
Ah Uh = Bh
(2.2)
avec
Ah =
Uh = (ui )16i6n et Bh = (fi )16i6n
ème
La i
composante de l'erreur
1
tridiagn (−1, 2, −1)
h2
1
(−vi+1 + 2vi − vi−1 ) − vi00 . Or,
h2
on sait que (en utilisant la formule de Taylor-Lagrange) pour tout i, 1 6 i 6 n on a
de troncature est
ri = h2
ri =
v (4) (αi ) + v (4) (βi )
24
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avec
αi
constante
Résolution d'EDP par diérences nies
](i − 1) h, (i + 1) h[. Par
indépendante de h, on peut écrire
et
βi
dans
suite, en posant
Pierre Puiseux
C =
1
12
sup]0,1[ v (4)
,
Rh = h2 (K1 , K2 , . . . , Kn )t
(2.3)
|Ki | 6 C, 1 6 i 6 n
où
.
Analyse de convergence en norme euclidienne
.
k.k2 La norme matricielle subordonnée à la norme euclidienne est la norme spectrale, qui, dans le cas d'une matrice A
2.1.2.
symétrique est égal à son rayon spectral
ρ (A) = max {|λ| , λ ∈ sp (A)}
o
n
−1
−1
1
La norme euclidienne de Ah est donc ρ Ah
= max |λ| , λ ∈ sp (Ah ) =
c'est à dire
√
2
π
sin
h
2 (n + 1)
√
π 2
∼
2
indépendamment de h
ρ
ρ A−1
h
donc
1
min{|λ|,λ∈sp(Ah )}
est bornée
A−1
h
=
L'erreur de troncature est
2
kAh Vh − (Av)h k2 = h
sX
Ki2
16j6n
√
6 h nC
√
6 h hC
2
La méthode est donc convergente en norme euclidienne.
2.1.3.
Analyse de convergence en norme innie k.k∞ .
Dans ce cas, l'erreur de troncature
est
La norme matricielle est
kAk∞
kAh Vh − (Av)h k∞ 6 h2 C
P
= maxi j |aij |. On montre au paragraphe suivant (2.2)que
A−1
h
6
1
8
La méthode est donc convergente en norme innie.
Monotonie, stabilité en norme k.k∞ .
Dénition 11. Soit A = (ai,j ) ∈ Rn,n .
2.2.
í
í
í
On dit que
On dit que
On dit que
A
A
A
Proposition 12.
ai,j > 0, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}
−1
est monotone si A est inversible et A
>0
n
conserve la positivité si ∀v ∈ R , Av > 0 =⇒ v > 0
est positive, et on note
A>0
si
A est monotone ⇐⇒ A conserve la positivité
Démonstration.
Si A conserve la positivité, alors. Supposons Ax = 0, alors Ax > 0 donc
x > 0. de même Ax 6 0 donc x 6 0 donc x = 0 donc A est inversible. En posant y = Av ,
−1
ème
−1
−1
on a y > 0 =⇒ v = A y > 0. Or la i
colonne de A
est A ei > 0, où ei > 0 est le
ème
−1
i
vecteur de base. Donc A
est positive et A est monotone.
−1
Réciproquement si A est monotone, alors les coecients de A
sont positifs, donc si
−1
y = Ax > 0 alors x = A y > 0, A conserve la monotonie.
Proposition 13. La matrice Ah = h1 tridiag (−1, 2, −1) est monotone.
2
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Résolution d'EDP par diérences nies
Démonstration.
indice tel que
v ∈ Rn tel que Ah v > 0.
vp = min16i6n vi . on a donc
Soit
On pose
v0 = vn+1 = 0.
Pierre Puiseux
Soit
p
le plus petit
vp−1 > vp
vp+1 > vp
(2.4)
(2.5)
On suppose
vp < 0.
Ah v > 0,
Comme
on a
(vp − vp−1 ) + (vp − vp+1 ) > 0
ce qui est en
contradiction avec (2.4) et (2.5)
Proposition 14.
A−1
h
6
Démonstration. A−1
> 0
h
t
eh = (1, . . . , 1)
1
8
car
donc la méthode est stable en norme k.k∞
Ah
bi,j = A−1
h
est monotone. De plus, en posant
i,j
et
−1
, la norme de Ah s'écrit :
A−1
h
∞
= max
X
i
bi,j = A−1
h eh
∞
j
x(1−x)
est solution de (2.1) avec e = 1 au second membre. Comme
Or on voit que u (x) =
2
(4)
u = 0, l'erreur de troncature est nulle, donc uh = ρh (u) = (u (h) , u (2h) , . . . , u (nh))t
−1
vérie exactement Ah uh = eh , donc uh = Ah eh et on obtient l'estimation
A−1
h
∞
6 sup |u|
]0,1[
6
1
8
Inuence de la discrétisation des CL.
2.3.
(2.6)

00

−u = f
u0 (0) = α

u (1) = 0
2.3.1.
Consistance.
i
0
1
16i6n
.
.
.
sur
Considérons :
]0, 1[
On discrétise :
Ah uh
(Au)h
Rh
0
(u1 − u0 )
u (0) = α
hK0
1
−u” (h) = f1 h2 K1
(−u0 + 2u1 − u2 )
h2
1
(−ui−1 + 2ui − ui+1 ) −u” (ih) = fi h2 Ki
h2
1
h
.
.
.
.
.
.
n+1
un+1
1
Avec K0 =
u” (hθ0 ) , Ki =
2
pour 1 6 i 6 n
h2
24
.
.
.
un+1 = 0
0
(4)
(4)
u ((i − θi ) h) + u ((i + θi0 ) h)
et
θ0 , θi , θi0 ∈ [0, 1]
t
Rh = (hK0 , h2 K1 , . . . , h2 Ki , . . . , h2 Kn , 0) ou les
1
h par K = max 12
sup[0,1] u(4) , 12 sup[0,1] |u”| .
Ce qui donne une erreur de troncature
|Ki |
sont bornés indépendament de
Pour résoudre le système, on teste plusieurs possibilités :
On conserve la variable
u0 et on élimine la variable un .
Le système s'écrit alors :
Ãh Uh = B̃h
avec

h −h
 −1 2 −1
1 
..
..

.
.
Ãh = 2 
h 
..

.
avec
B̃h = (α, f1 , f2 , . . . , fn )t
et




.
 ∈ Rn+1,n+1

..
. −1 
−1 2
..
Uh = (ui )06i6n .
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Résolution d'EDP par diérences nies
Le problème est que probablement
Ã−1
h
Pierre Puiseux
n'est pas bornée. Donc le shéma n'est pas
convergent.
1
, sous la
On peut changer la première équation de ce système. en la multipliant par
h
1
α
forme 2 (u1 − u0 ) =
. Dans ce cas, le système s'écrit Ah Uh = B h avec
h
h

Ah
1 −1
 −1 2 −1

= 



−1 2


 ∈ Rn+1,n+1


t
α
, f1 , f2 , . . . , fn et Uh = (ui )06i6n . ce qui revient à écrire la première équation
avec B h =
h
1
(u1 − u0 ) = αh + hh K0 . Dans ce cas, le conditionnement de la matrice est meilleur, mais
h2
l'erreur de troncature devient en K0 c'est à dire que le schéma n'est pas consistant.
(L'erreur de troncature ne tend pas vers 0). Le shéma n'est donc toujours pas convergent.
Le conditionnement
des matrices


2 −1
 −1 2 −1

Ah = 


−1 2

1 −1
 −1 2 −1

Ah = 


et
Āh
est le suivant :






−1 2

h −h
 −1 2 −1

Ãh = 


Ah , Ãh






−1 2





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Résolution d'EDP par diérences nies
Pierre Puiseux
4133.6429 16370.242 235490.39
16373.242 65166.524 1319338.8
36718.536 146385.58 3623825.2
65169.524 260027.42 7426799.1
101726.21 406092.04 12961285.
146388.58 584579.44 20432189.
199156.66 795489.62 30024595.
260030.42 1038822.6 41908618.
329009.89 1314578.3 56242555.
406095.04 1622756.8 73175050.
On peut montrer, malgré cette inconsistance (ou cette instabilité suivant le cas), que
globalement, le shéma reste quand même convergent d'ordre 1, en norme
∞.
Une autre possibilité est de discrétiser la condition aux limites de Neuman à l'ordre
2
:
h2
u” (0) + O h3
2
2
h
= hα + f0 + O h3
2
u (h) − u (0) = hu0 (0) +
u1 − u0
1
h2
α
+ 12 f0 + O (h). Le système linéaire s'écrit dans ce cas :
h
t
f0
,
f
,
f
,
.
.
.
,
f
. On a alors la consistance en O (h) et la
1
2
n
2
matrice moins mal conditionnée.
(u1 − u0 ) =
Ah Uh = B̂h avec B̂h = αh +
et nalement
TP :.
í
Résoudre le problème à l'ordre 1 puis 2

00
2

−u = π sin πx
u0 (0) = π

u (1) = 0
(2.7)
í
í
sur
]0, 1[
u∗ = sin πx
1
1
, assemble la matrice Ah = 2 Tridiagn (−1, 2, −1)
Ecrire une fonction qui, pour n donné, h =
n+1
h
et la matrice Ah du pb ci dessus. Calculer les spectres de Ah et de Ah et tracer sur
−1
un même graphique les normes kAh k2 , Ah
, A−1
et Ah
h
2
2
Comparer avec la solution exacte
2
2.3.2.
Stabilité, étude de Ah .
On ne connaît pas les valeurs propres de
Ah ,
on sait par
∞
Rh = Bh − Ah Uh l'équation
contre, étudier sa norme
Posons
2.4.
En dimension 2.
Assembler matrice et trouver valeurs propres.
Numérotation des inconnues

Théorème 15. Les valeurs propres de
Ah laplacien 2d de stencil
sont
λpq
(p,q)
ui,j
1
h2

−1
 −1 4 −1 
−1
2 pπ
2 qπ
sin
+ sin
n+1
n+1
ipπ
jqπ
= sin
sin
n+1
n+1
4
= 2
h
Mettre en évidence la structure par blocs
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2.5.
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Exercices.

Exercice 16.
monotone. Soit
Il s'agit de montrer que la matrice
v ∈ Rn
1 −1
 −1 2 −1

Ah = 



−1 2





est
tel que
Ah v > 0
(2.8)
Considérons le plus petit indice
p, 1 6 p 6 n
tel que
vp = min16i6n vi
et supposons que
vp < 0
(2.9)
(1) Montrer que
p=1
(2) On suppose que
conduit à une absurdité.
p > 1.
Établir que
vp−1 > vp
vp+1 > vp
(2.10)
(2.11)
et déduire de (2.8) une absurdité.
(3) En déduire que
Exercice.
Ah
A = tridiagn (−1, 2, −1).
ikπ
ui = sin n+1
, 1 6 i 6 n.
Etude de la matrice
le vecteur de coordonnées
í
est monotone.
Montrer que
u
Soit
est un vecteur propre de la matrice
A.
k
xé
16k6n
et
u ∈ Rn
Calculer la valeur propre
associée.
í
En déduire que
A
est inversible, calculer la norme spectrale de
conditionnement de
í
A
celle de
A−1 ,
et le
en norme spectrale.
Etudier le comportement de ces diérentes quantités lorsque
Exercice.
A,
n → ∞.
kAk∞ :
Au 6 0 =⇒ u 6 0 (cette inégalité s'entend composante par composante. Considérer un indice i tel que ui = max16j6n uj et supposer ui > 0. En
distinguant les cas i = 1,1 < i < n et i = n parvenir à une contradiction.)
í En déduire que A est inversible (Au = 0 =⇒ u = 0)
í Montrer que (A−1 )ij = bij > 0 (considérer ei = A (A−1 ei ) = Aci > 0 où ei est le ième
ème
−1
vecteur de base et ci est la i
colonne de A .
t
1
í Montrer que kA−1 k∞ 6 8 . (Considérer ũ (x) = 21 x (1 − x) etu = (u (h) , u (2h) , . . . , u (nh))
,
P
P
P
t
−1
montrer que Au = (1, 1, . . . , 1) ≡ U. Comme u = A U =
j b1j ,
j b2j , . . . ,
j bnj ,
í
Etude de
Montrer que
on a
A−1
∞
= kuk∞
6 inf ũ
[0,1]
=
1
8
3. Différences finies pour les problèmes hyperboliques
pas de conditions aux limites (Ω
= R),
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condition initiale
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Equation de convection, pb modèle.
3.1.
∂u
∂u
+c
= 0 pour (x, t) ∈ R × R∗+
∂t
∂x
u (x, 0) = u0 (x) donné
(3.1)
(3.2)
Théorème 17. Si
u0 est de classe C 1 sur R, alors l'équation
unique u (x, t) = u (x − ct)
(3.1)
0
admet la solution
Démonstration.
í
í
La fonction
0 0
0 0
u (x − ct) vérie bien ut + cux = −c (u ) + c (u ) = 0 et u (x, 0) = u0 (x).
L'unicité se démontre en utilisant les droites caractéristiques : on appelle droite
x0 ,la
caractéristique de (3.1), issue de
droite
Dx0
du plan
(x, t),
d'équation
x (t) =
x0 + ct. Montrons que si u est solution, de (3.1), alors u est constante le long de cette
(x, t) ∈ Dx0 ), et ceci pour tout x0 . La fonction ϕ : t 7→ u (x0 + ct, t)
droite (i.e. pour
vérie :
ϕ0 = cux + ut
= 0
donc
ϕ
est constante et vaut
ϕ (t) = ϕ (0)
c'est à dire :
∀ (x0 , t) ∈ R × R+ , u (x0 + ct, t) = u0 (x0 )
et en posant
3.2.
x = x0 + ct,
on obtient
u (x, t) = u0 (x − ct).
Stabilité L2 , analyse de Von-Neumann.
En général, pour la stabilité d'un schéma,
on utilisera l'analyse de Von Neumann que l'on décrit ci dessous :
soit
u
est une fonction
2π -périodique
susament régulière, on peut l'écrire comme une
ikx
série de Fourier, somme dénombrable d'ondes monochromatiques
u (x) =
X
e
û (k) eikx
k∈Z
avec des coecients de Fourier en nombre inni, dénombrable
û (k) =
(û (k))k∈Z
1
2π
k∈Z
:
2π
Z
u (x) e−ikx dx
0
est une suite double de coecients de Fourier.
De manière analogue, si
u
est intégrable sur
R,
elle est la somme d'un nombre inni
non dénombrable d'ondes monochromatiques
Z
û (ω) eiωx dω
u (x) =
R
avec les coecients de Fourier cette fois ci en nombre inni, non dénombrable (c'est à
dire une fonction
û
appelée la transformée de Fourier) :
û (ω) =
1
2π
Z
u (x) e−iωx dx
R
L'application
u 7→ û
est appelée transformation de Fourier, la fonction
transformée de Fourier de
On retiendra que
û
est appelée la
u.
u est un signal composé de fréquences ω (ou k ), et que û (ω) (ou û (k))
ω (ou la k -ième fréquence) dans
représentent l'intensité, ou l'importance de la fréquence
la fonction
u
An d'étudier le comportement d'un schéma comme (3.6), on l'écrit sous la forme
(3.3)
u(n+1) (x) = u(n) (x) −
β (n)
u (x + ∆x) − u(n) (x − ∆x)
2
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x R= j∆x. Supposant que l'on peut décomposer un , un+1 ,etc. en intégrale de Fourier,
un (x) = R uˆn (ω) eiωx dω , on peut se demander, pour une fréquence ω donnée, que devient
le coecient de Fourier uˆn (ω) au cours de la marche en temps du schéma ?
On démontrera en exercice que la fonction φ : x 7→ u (x + ∆x) a pour transformée de
b (ω) = û (ω) eiω∆x
Fourier φ
avec
Lorsque l'on prend la transformée de Fourier de (3.3) (c'est à dire lorsqu'on calcule le
ω ), on obtient :
β iω∆x
−iω∆x
d
\
(n+1)
(n)
u
(ω) = u (ω) 1 −
e
−e
2
(n) (ω) (1 − iβ sin ω∆x)
= ud
coecient de Fourier correspondant à la fréquence
La quantité
A (ω) = 1 − iβ sin iω∆x
est appellée coecient d'amplication du schéma.
On a donc
(n+1) (ω)
u\
ub0 (ω) An+1 (ω)
n+1
ub0 (ω) sup |A|
=
6
R
Lorsque ce coecient est de module plus petit que 1, pour toute valeur de
L2 −stable.
ω,
le shéma
est
Lorsqu'il existe des fréquences
ω
pour lesquelles
A (ω) > 1,
le schéma est
L2 −instable.
C'est le cas dans l'exemple ci-dessus.
2
On parle de stabilité L car la transformée de Fourier est une isométrie et vérie :
u(n)
2
L2
2
(n)
ud
L2
Z
2
(n) (ω) dω
ud
=
ZR
2
d
(0) (ω) dω
=
|A (ω)|2n u
=
R
2
d
(0)
6 sup |A (ω)|2n u
L2
ω∈R
On a donc
u(n)
3.3.
L2
6 kAkn∞ u(0)
L2
Amplication, dissipation, dispersion TODO.
L'analyse de Von Neumann donne
plus de renseignements que l'amplication globale du schéma. Elle renseigne également
sur la dissipation et la dispersion. La dissipation caractérise la faculté d'un schéma à dissiper l'énergie d'une onde de fréquence donnée, la dispersion rend compte de l'aptitude de
ce même schéma à disperser au quatre vents les diérentes harmoniques de l'onde initiale
qui ne se propagent pas toutes à la même vitesse.
La solution exacte de l'équation de transport au temps
n∆t,
s'écrit
un (x) = u0 (x − cn∆t)
sa transformée de Fourier (en espace) de fréquence
ω
est
uˆn (ω) = uˆ0 (ω) e−iωc∆t
n
Le nombre
ϕ (ω) = ω∆x
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est appelé la phase de la fréquence
Pierre Puiseux
ω
dans le schéma. C'est un nombre que connaissent
∆t
bien les physiciens. On le fait apparaître dans l'équation compte tenu de β = c
:
∆x
uˆn (ω) = uˆ0 (ω) e−iβϕ(ω)
(3.4)
n
Lorsque l'on calcule la transformée de Fourier de la solution numérique au temps
n∆t,
on trouve
uˆn (ω) = uˆ0 (ω) An (ω)
(3.5)
En mettant
A (ω)
sous la forme
A (ω) = |A (ω)| e−iδ(ω)ϕ(ω)
−iβϕ(ω)
on en vient naturellement à comparer les deux coecients e
et
δ
quotient
est l'erreur de dispersion ... TODO, cf quarteroni, page480
β
3.4.
Shéma explicite centré.
(n+1)
uj
(3.6)
í
í
on pose
Consistance en
e−iδ(ω)ϕ(ω)
: le
∆t
β = c ∆x
(n)
= uj −
β (n)
(n)
uj+1 − uj−1
2
O (∆t) + O (∆x2 )
2
Le schéma est inconditionnellement L −instable car : on écrit (3.6) sous la forme
β
un+1 (x) = un (x) − 2 (un (x + ∆x) − un (x − ∆x)) et on calcule sa transformée de
Fourier on obtient :
β iω∆x
−iω∆x
n+1
n
d
c
e
−e
u
(ω) = u (ω) 1 −
2
d'où l'on tire :
n+1 (ω) = A (ω) u
cn (ω)
ud
avec le coecient d'amplication
1. Le schéma est
β 2 sin2 ω∆x > 1
3.5.
2
inconditionellement stable.|A (ω)|
í
í
í
3.6.
1
1+β 2 sin2 ω∆x
2
6
= |1 − iβ sin iω∆x| = 1 +
Shéma implicite décentré amont.
n+1
un+1
= unj − β un+1
j
j+1 − uj
(3.7)
í
í
A (ω) = 1 − iβ sin ω∆x et |A (ω)|2 =
Erreur de troncature : localement d'ordre 1 en temps, 1 en espace.
2
Le schéma est inconditionnellement stable L car le coecient d'amplication vaut
2
1
1
= 1 + 2β (1 − cos ω∆x) + 2β 2 (1 − cos ω∆x) > 1
A (ω) = 1+β(eiω∆x
et
−1)
A(ω)
∞
Stabilité l
Principe du maximum
Variation totale
Shéma avec diusion numérique articielle.
(3.8)
3.6.1.
(n+1)
uj
(n)
= uj −
Erreur de troncature
β (n)
(n)
(n)
(n)
(n)
uj+1 − uj−1 + d uj+1 − 2uj + uj−1
2
Voir le schéma de Lax-Wendro
Université de Pau et des Pays de l'Adour
.
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Stabilité L2 :
Pierre Puiseux
∆t
A (ω) = 1−ic ∆x
sin ω∆x−2d (1 − cos ω∆x).
Pour c et d xés, A (ω) décrit dans le plan complexe une ellipse paramétrée par ω ∈ [0, 2π].
Les axes de cette ellipse sont vertical et horizontal. Le max de |A (ω)| est atteint pour
. Le schéma est stable si et seulement si
ω∆x ∈ 0, π2 , π, 3π
2
3.6.2.
Le coecient d'amplication est
|1 − 4d| 6 1
|1 ± iβ − 2d| 6 1
si la condition CFL est réalisée :
∆x
> c
∆t
on obtient la condition de stabilité
1 1p
1
>d> −
1 − β2
2
2 2
3.6.3.
Stabilité l∞ .
On écrit le schéma sous la forme
(n+1)
uj
β
β
(n)
(n)
(n)
uj−1 + (1 − 2d) uj + d −
uj+1
=
d+
2
2
(n)
(n)
(n)
= Auj−1 + Buj + Cuj+1
Les conditions obtenues pour
d
B > 0.
ci-dessus impliquent que
Si on suppose de
surcroît
d >
alors
A, B
et
C
β
,
2
sont positifs si bien que
(n+1)
uj
(n)
(n)
6 A uj−1 + B uj
(n)
+ C uj+1
(n)
6 (A + B + C) max uj
j
ce qui assure la stabilité au sens
3.7.
Schéma saute-mouton.
(n+1)
uj
(3.9)
í
l∞ .
(n−1)
uj
=
−β
(n)
uj+1
−
(n)
uj−1
consistance : le schéma est d'ordre 2 en temps et 2 en espace car on reconnaît des
dérivées centrées en temps et en espace, d'ordre 2 donc :
(3.9)
⇐⇒
⇐⇒
í
Stabilité
L2
1 (n+1)
c (n+1)
(n−1)
(n−1)
u
− uj
+
u
− uj
=0
2∆t j
2∆x j
(n)
(n)
∂u
∂u
+c
+ O ∆x2 + O ∆t2 = 0
∂t j
∂x j
: on écrit (3.9) sous la forme suivante :
u(n+1) (x) = u(n−1) (x) − β u(n) (x + ∆x) − u(n) (x − ∆x)
avec
x = j∆x.
En prenant la transformée de Fourier :
d
\
(n+1) (ω) = u
(n−1) (ω) − 2iβ u
(n) (ω) sin ω∆x
u\
Cette égalité couvre deux pas de temps. On peut l'écrire matriciellement :
(n+1) (ω)
u\
(n) (ω)
ud
!
=
−2iβ sin ω∆x 1
1
0
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(n) (ω)
ud
(n−1) (ω)
u\
!
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Pierre Puiseux
Le coecient d'amplication apparaît comme une matrice d'amplication
A (ω) =
−2iβ sin ω∆x 1
1
0
det (A (ω) − λI) = λ2 + 2λiβ sin ω∆x
n − 1. Sous la p
> c, le discriminant est positif et les deux racines λ1 , λ2 ∈ −iβ sin ω∆x ± 1 − β 2 sin
dont les valeurs propres sont racines de
condition CFL
vérient
3.8.
∆x
∆t
|λ1 | = |λ2 | = 1.
On en déduit que le shéma est stable
Partie numérique.
on traitera le problème de diusion convection suivant :
∂u
∂u
∂ 2u
+c
−µ 2
∂t
∂x
∂x
u (x, 0)
∂u
(0, t)
∂x
∂u
(1, t)
∂x
avec (0
L2
= 0, x ∈ [0, 1] , t > 0
= u(0) (x)
= 0
= 0
< α < 1)


0
(x−α)2 (1−α−x)2
u(0) (x) = 16 sin 4π x−α
0.25
(0.25)4


0
La mise en ÷uvre se déroule ainsi :
1
on se xe N et on pose ∆x =
, on xe ∆t
N +1
On discrétise les conditions aux limites à l'ordre 1 :
si
06x<α
si
α6x61−α
si
1−α<x61
uN +1 = uN
et
u0 = u1 .
On discrétise le problème de diusuion convection avec un schéma de notre choix.
Par exemple le schéma implicite décentré amont
(n)
(3.10)
uj
(n)
=
(n−1)
uj
µ (n−1)
β (n)
(n−1)
(n)
(n−1)
+ uj+1 , n > 0, 1 6 j 6 N
−
− 2uj
u − uj−1 +
u
2 j+1
∆x2 j−1
(n)
uN +1 = uN
(n)
(n)
= u1
u0
Ce qui se met sous forme matricielle :
AU (n+1) = BU (n) avec A = et B =
3.9.
Exercices.
3.9.1.
Shéma Lax-Wendro.
(3.11)
(n+1)
uj
í
í
í
β2 β (n)
(n)
(n)
(n)
(n)
−
u − uj−1 +
uj+1 − 2uj + uj−1
2 j+1
2
Erreur de troncature locale et globale
2 ∞
Stabilité L ,l
sous la condition CFL
Variation totale non conservée (voir sur dessin)
3.9.2.
(3.12)
í
í
í
í
=
(n)
uj
Shéma Lax-Friedrichs.
(n+1)
uj
=
(n)
(n)
uj+1 + uj−1 β (n)
(n)
−
uj+1 − uj−1
2
2
2
et globale : noter que vj+1 + vj−1 = 2vj + O (∆x )
Erreur de troncature locale
2
Stabilité L , stabilité l∞ : condition CFL
Principe du maximum discret
Variation totale décroissante
Université de Pau et des Pays de l'Adour
17 Laboratoire de Mathématiques Appliquées
Janvier 2010
3.9.3.
Résolution d'EDP par diérences nies
Schéma de Newmark.
Pierre Puiseux
voir Quarteroni, p 473
4. Différences finies pour les problèmes paraboliques
Introduction de la forme matricielle et des conditions aux limites
Ω=R
+ condition
initiale
4.1.
Equation de la chaleur, pb modèle.
∂u
∂ 2u
−α 2
∂t
∂x
u (x, 0)
u (0, t)
u (1, t)
Maillage:
∆t > 0
et
= f
si
(x, t) ∈ ]0, 1[ × ]0, +∞[
= u0 (x)
= 0
= 0
∆x > 0
Mise en équation du problème
condition initiale donnée
sont le pas de temps et le pas d'espace, donnés.
Ω∆t,∆x = Ωh = {(tn , xj ) = (n∆t, j∆x) , 1 ≤ j ≤ J
4.2.
et
n > 0}
Le shéma d'Euler explicite.
∂u
∂t
n
2
n
∂ u
∂x2
1
un+1
− unj + O (∆t)
j
∆t
1
=
unj−1 − 2unj + unj+1 + O ∆x2
2
∆x
=
j
j
on rajoute les conditions aux limites de Dirichlet : ce qui fournit le schéma :
un+1
= unj −
j
α∆t n
n
n
−
2u
+
u
+ ∆t.fjn
u
j−1
j
j+1
2
∆x
unJ+1 = 0
un0 = 0
4.2.1.
Consistance.
(n)
εj
(4.1)
4.2.2.
Stabilité L2 .
= O ∆x2 ∆t + O (∆t)
On oublie les conditions et on écrit (4.1) sous la forme :
un+1 (x) = un (x) − β (un (x − ∆x) − 2un (x) + un (x + ∆x))
On prend la transformée de Fourier des deux membres :
ˆ (x) = uˆn (x) 1 − β e−iω∆x − 2 + eiω∆x
un+1
d'où le coecient d'amplication :
1 − β e−iω∆x − 2 + eiω∆x
ω∆x
= 1 − 4β sin2
2
A (ω) =
Schéma
(4.2)
L2
stable si et seulement si pour tout
α
ω ,|A (ω)| < 1
soit
∆t
1
≤
2
∆x
2
Université de Pau et des Pays de l'Adour
18 Laboratoire de Mathématiques Appliquées
Janvier 2010
4.2.3.
Résolution d'EDP par diérences nies
Ecriture matricielle du shéma. U
(n)
=
(n)
(n)
(n)
u1 , u2 , ..., uJ
Pierre Puiseux
t
U (n+1) = M U (n) + ∆tF (n)
(4.3)
M =I −α
(4.4)
∆t
A
∆x2
et

−1
2
···
0
0
.

..
..
.
.
.
 −1 2
.

.
.
.
..
..
..
A = 
0
 0
 . .
.
..
..
 ..
2 −1
0 · · · 0 −1 2
= tridiagn (−1, 2, −1)
Les valeurs propres de la matrice
(4.5)
donc les valeurs propres
(4.6)
4.2.4.
A







sont
π
λk = 4 sin2 k ∆x , 1 ≤ j ≤ J
2
de M sont
π
2
µk = 1 − 4β sin k ∆x , 1 ≤ j ≤ J
2
Stabilité, analyse matricielle.
Schéma stable si et seulement si
β=α
(4.7)
On retrouve (4.2).
−2
∆x ≈ 10

⇒ ∆t ≈ 10−4
ou
∀k, |µk | ≤ 1
soit
∆t
1
≤
2
∆x
2
J = 100 ⇒ n = 10000
pas de temps !
Sous la condition CFL, on a
(1) pour tout
(2)
k , µk > 0
car
1 − 4β sin2 k π2 ∆x > 1 − 2 sin2 k π2 ∆x = sin (kπ∆x)
kM k = sup1≤k≤J |µk | = µ1
soit encore
2
kM k = 1 − 4β sin
(4.8)
π
2
∆x
Pour l'inuence du second membre, voir exercice
4.2.5.
convergence.
sous la condition CFL, (ε
(n)
= erreur de troncature Ũ (n) projection de
la solution exacte )
Ũ (n+1) = M Ũ (n) + ∆tF (n) + ε(n)
(4.9)
en soustrayant
(4.9)
et
(4.3)
on obtient l'erreur
E (n+1)
E (n+1)
=
...
=
M E (n) + ε(n)
M n+1 E (0) +
X
M k ε(n−k)
k=0,n−1
Compte tenu de
E (0) = 0,
on en tire une majoration de l'erreur en norme euclidienne :
E (n+1)
X
≤
kM kk ε(n−k)
k=0,n−1
≤
1
sup ε(n)
1 − kM k n
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19 Laboratoire de Mathématiques Appliquées
Janvier 2010
Résolution d'EDP par diérences nies
Pierre Puiseux
(grace
2
∆t
∆t
π ∆x
≈ π 2 α∆t, et ε(n) = O (∆x∆t)+O ∆x
= O (∆x) ,
1−kM k = 4α ∆x
2 sin
2
∆t
à la condition CFL,
= O (1)), on obtient une majoration en O (∆x)
∆x2
4.2.6.
Convergence vers une solution stationnaire.
De plus
4.3.
Shéma d'Euler implicite.
M U (n+1) = U (n) + ∆tF (n)
(4.10)
M =I +α
(4.11)
4.3.1.
Erreur de troncature locale et globale.
4.3.2.
Stabilité L2 , inconditionnelle.
4.3.3.
Stabilité l∞ .
4.3.4.
Principe du maximum.
4.3.5.
Variation totale.
4.4.
TODO
Le teta-schéma.
Le paramètre
θ
∆t
A
∆x2
est pris dans l'intervalle
[0, 1],
ce schéma consiste
à mixer les deux schémas Euler implicite et explicite, et à écrire
n+1
un+1
− unj
un+1
+ un+1
unj−1 − 2unj + unj+1
j
j−1 − 2uj
j+1
(4.12)
− αθ
− α (1 − θ)
= fjn+θ
2
2
∆t
∆x
∆x
n+θ
Dans cette écriture on a posé fj
= f (j∆x, (n + θ) ∆t). Sous forme matricielle, tenant
compte des conditions aux limites de Dirichlet homogènes :
U (n+1) = U n −
4.4.1.
α∆t
A θU (n+1) + (1 − θ) U (n) + ∆tF (n)
2
∆x
Consistance du θ−schéma.
on pose
tn+θ = (n + θ) ∆t et vjn+θ = v (j∆x, (n + θ) ∆t)
Proposition 18. Soit f une fonction dénies au voisinage d'un point a ∈ R, susament
régulière, et soit θ ∈ [0, 1]. Alors
θf (t + ∆t) + (1 − θ) f (t − ∆t) = f (t) + (2θ − 1) f 0 (t) ∆t + O ∆t2
Démonstration.
DL de
f (t ± ∆t)
Autrement dit, θf (t + ∆t) + (1 − θ) f (t −
1
0
2 si θ =
(ou si f (t) = 0), d'ordre 1 sinon.
2
∆t)
est une approximation de
f (t),
d'ordre
Proposition 19. Le teta-schéma est consistant d'ordre 1 en temps si θ 6= 12 et d'ordre 2
en temps si θ = 12 , et d'ordre 2 en espace. Pour θ =
Nicholson.
Démonstration.
1
2
il s'appelle le schéma de Cranck-
On écrit l'erreur locale de troncature
εn+1
= T1 + T2 + T3
j
avec
1
ũn+1
− ũnj
j
∆t
θα
n+1
ũn+1
+ ũn+1
=
j−1 − 2ũj
j+1
2
∆x
(1 − θ) α n
n
n
=
ũ
−
2ũ
+
ũ
j
j+1
j−1
∆x2
T1 =
T2
T3
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20 Laboratoire de Mathématiques Appliquées
Janvier 2010
Résolution d'EDP par diérences nies
Pierre Puiseux
Et on exprime
T1 =
puis en utilisant 18 à la fonction
∂ ũ
∂t
n+ 21
j
∂ 2 ũ
∂x2
f (•) =
+ O ∆t2
(x, •)
:
n+1
∂ 2 ũ
+ O ∆x2
= θα
2
∂x j
2 n+ 21
3 n+ 12 !
∂ ũ
∂ ũ
∆t
2
2
= θα
+
O
∆x
+
+
O
∆t
∂x2 j
2 ∂x2 ∂t j
T2
et enn
n
∂ 2 ũ
2
= (1 − θ) α
+
O
∆x
∂x2 j
2 n+ 21
3 n+ 12 !
∂ ũ
∂ ũ
∆t
= (1 − θ) α
−
+ O ∆t2 + O ∆x2
2
2
∂x j
2 ∂x ∂t j
T3
ũ étant la solution exacte, il vient :
2 n+ 21
n+ 21
3 n+ 12
∂ ũ
∂ ũ
∆t
∂ ũ
=
−α
+
(2θ − 1)
+ O ∆x2 + O ∆t2
2
2
∂t j
∂x j
2
∂x ∂t j
= (2θ − 1) O (∆t) + O ∆x2 + O ∆t2
Finalement,
εn+1
j
4.4.2.
Stabilité L2 .
en supposant
f = 0,
A (ω) =
on trouve
1 − 4β (1 − θ) sin2 ω ∆x
2
2 ∆x
1 + 4βθ sin ω 2
|A (ω)| < 1 pour tout ω . Ce qui équivaut à 1+4β (2θ − 1) sin2 ω ∆x
>
2
φ (s) = 1 + 4β (2θ − 1) s > 0, ∀s ∈ [0, 1].
et la stabilité a lieu lorsque
0, ∀ω ∈ R ou encore
í si θ > 21 cette inégalité est vériée
í si θ < 21 cette inégalité est vériée si
et seulement si
φ (1) > 0
car
φ
est décroissante.
Ce qui a lieu pour
1
1−
4β
1
θ >
2
Le schéma de Crank-Nicholson.
1
2
Consiste à mixer les deux schémas implicite et explicite, et à écrire (ici sous forme
4.5.
C'est le
θ-schéma
avec
θ=
matricielle)
(4.13)
un+1
− unj
α n+1
j
n
n
n
= fjn
uj−1 − 2un+1
+ un+1
−
j
j+1 + uj−1 − 2uj + uj+1
2
∆t
2∆x
Sous forme matricielle, si l'on tient compte des conditions aux limites de Dirichlet
homogènes :
U
(n+1)
n
= U − βA
U (n) + U (n+1)
2
+ ∆tF (n)
soit
U
(n+1)
= I+
−1
β
A
2
I−
Université de Pau et des Pays de l'Adour
β
A
2
−1
β
U + I+ A
∆tF (n)
2
n
21 Laboratoire de Mathématiques Appliquées
Janvier 2010
í
4.6.
Résolution d'EDP par diérences nies
Pierre Puiseux
−1
β
β
Étude matricielle de la stabilité. M = I + A
I
−
A
a pour valeurs propres
2
2
2−βλk
2−βx
2
π
µk = 2+βλk , avec λk = 4 sin k 2 ∆x ∈ Sp (A). La fonction µ (x) = 2+βx
est décroisπ
2
1−2β sin ( 2 ∆x)
< 1... à
sante car β > 0 donc µk est maximum pour λ1 , et ρ (M ) =
1+2β sin2 ( π2 ∆x)
1
peauner car si β >
les λk ne sont pas toutes >0
2
Schéma de Richardson (saute mouton).
(4.14)
un+1
− un−1
α
j
j
n
n
n
n
−
u
−
2u
+
u
j
j−1 + fj
2∆t
∆x2 j+1
(4.15)
U (n+1) = U (n−1) − 2βAU (n) + 2∆tF (n)
4.6.1.
4.6.2.
Consistance. Schéma consistant d'ordre 2 en temps, et 2 en espace
∆t
Stabilité L2 . On pose β = α ∆x
2
L2 -instable. Pour le montrer, on
(x, t) = (j∆x, n∆t) sous la forme
C'est un schéma
schéma au point
suppose que
f = 0,
et on écrit le
u(n+1) (x) = u(n−1) (x) + 2β u(n) (x + ∆x) − 2u(n) (x) + u(n) (x − ∆x)
on en prend la transformée de Fourier.
d
d
d
\
(n+1) (ω) = u
(n−1) (ω) + 2β u
(n) (ω) eiω∆x − 2u
(n) (ω) + u
(n) (ω) e−iω∆x
u\
d
(n−1) (ω) + 2β u
(n) (ω) eiω∆x − 2 + e−iω∆x
= u\
∆x
d
(n−1) (ω) − 8β u
(n) (ω) sin2 ω
= u\
2
qui se met sous forme matricielle :
(n+1) (ω)
u\
(n) (ω)
ud
!
= A (ω)
(n) (ω)
ud
(n−1) (ω)
u\
!
avec
1
−8β sin2 ω ∆x
2
1
0
A (ω) =
Le schéma est
L2 -stable si et seulement si le spectre de A (ω) est contenu dans le disque
|z| 6 1.
Les valeurs propres de
A (ω)
sont les racines du polynôme
2 ∆x
p (λ) =
−8β sin ω
− λ (−λ) − 1
2
∆x
= λ2 + 8λβ sin2 ω
−1
2
q
2 ∆x
2 ∆x 2
qui admet les deux racines λ± = −4β sin ω
±
1
+
4β
sin
ω
.
2
2
On a |λ− | > 1 pour toute valeur de ω , ce qui montre l'instabilité inconditionnelle
du
schéma.
4.7.
Le schéma de Dufort-Franckel.
(4.16)
Consistance
C'est le schéma Richardson stabilisé
α∆t n
n+1
n−1
n
un+1
= un−1
+
u
−
u
+
u
+
u
+ ∆t.fjn
j+1
j−1
j
j
j
j
2
∆x
2
∆t
:O
+ O (∆x2 ) (conditionnellement consistant).
∆x2
Stabilité : inconditionnellement stable en norme
Université de Pau et des Pays de l'Adour
L2
22 Laboratoire de Mathématiques Appliquées