TS Bac blanc de mathématiques mercredi 18

TS
Bac blanc de mathématiques
mercredi 18 février 2004.
Sans Spécialité mathématique.
Exercice 1 :
Deux milieux A et B sont séparés par une membrane poreuse. A l’instant t  0 , on
injecte 10 centigrammes d’une substance S dans le milieu A. Cette substance diffuse en
permanence entre les deux milieux, une partie étant éliminée vers l’extérieur.
Le réel positif t désignant le temps exprimé en heures, on appelle a(t ) et b(t ) les
quantités de substances S (en centigrammes) présentes à l’instant t, respectivement dans
les milieux A et B.
Les conditions initiales sont : a (0)  10 et b(0)  0 .
On admet que plus que les fonctions a : t  a(t ) et b : t  b(t ) sont définies et dérivables
sur 0; et sont telles que : a' (t )  5a(t )  2b(t ) et b' (t )  2a(t )  2b(t ) pour tout
t  0.
1. Calcul de a(t ) et de b(t ) :
On considère les fonctions f et g définies sur 0; par : f (t )  a(t )  2b(t ) et
g (t )  2a(t )  b(t ) .
a. Démontrer que, pour tout t  0 , on a : f ' (t )   f (t ) et g ' (t )  6 g (t ) .
b. Résoudre les équations différentielles y '   y et y '  6 y , puis déterminer
f (t ) et g (t ) en tenant compte des conditions initiales f (0) et g (0) .
c. En déduire que, pour tout t  0 , on a : a(t )  8e 6t  2e t et
b(t )  4e t  4e 6t .
2. Etude comparée des quantités a(t ) et b(t ) :
a. Déterminer le sens de variation de la fonction a , ainsi que lim a(t ) .
t  
Dresser le tableau de variation de a .
b.  ) Calculer b' (t ) et montrer que b' (t ) a le même signe que 6  e 5t .
 ) Résoudre l’équation 6  e 5t  0 . On notera t 0 la solution.
 ) Déterminer le signe de 6  e 5t selon les valeurs de t ,puis le sens de
variation de la fonction b .
 ) Déterminer lim b(t ) , puis dresser le tableau de variation de b .
t  
c. Dans un repère orthogonal, tracer les courbes des fonctions a et b sur
l’intervalle [0 ;2]. On prendra comme unités 10cm pour une heure en
abscisse et 1cm pour un centigramme en ordonnée.
Vérifier que ces deux courbes se coupent au point d’abscisse t 0 , et placer
ce point.
Exercice 2 :
 
Dans le plan complexe P, muni d’un repère orthonormal direct (O, u , v ) (unité : 2 cm), on
considère les points A, B, C, D d’affixes respectives z A  2i, z B  4  2i, z C  4  2i
et z D  1.
1. a) Placer les points A, B, C, D sur une figure qui sera peu à peu complète.
b) Préciser la nature du triangle ABC.
2. On désigne par f l’application qui, à tout point M et P, d’affixe z et distinct de
z  (4  2i )
A, associe le point M’ d’affixe : z ' 
.
z  2i
a) Déterminer les images de B et C par f .
b) Déterminer l’ensemble E1 des points M d’affixe z tels que |z’| = 1.
Construire E1 .
c) Déterminer l’ensemble E2 des points M d’affixe z tels que z’ soit réel.
Construire E2 .
3. a) Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de -2i, on a :
(z’-1)(z+2i) = -4-4i.
b) Montrer que, pour tout point M, distinct de A, et dont l’image par f est notée

M ' D


DM ' AM  4 2
M’ on a : 


5

(u , DM )  (u , AM )  4  k 2
c) Soit M un point du cercle C de centre A et de rayon 4. Prouver que son image
M’ par f , appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
1  ln x
.
x
 
On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O; i ; j ) . On
prendra 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.
1. On considère la fonction  définie sur 0; par :  ( x)  2 x 3  x²  ln x .
a) Etudier le sens de variation de  . Déterminer les limites de  aux bornes de
son ensemble de définition.
b) Démontrer que l’équation  ( x )  0 a une solution unique qu’on appellera  .
Exercice 3 : Soit la fonction f définie sur 0; par f ( x)  x ²  x 
Trouver le nombre entier naturel p tel que : p.10 2    ( p  1).10 2 .
c) En déduire le signe de  (x ) suivant les valeurs de x.
2. a) Déterminer la limite de la fonction f en   .
b) Déterminer la limite de la fonction f en 0. Qu’en déduire pour la courbe
représentative de C ?
c) Etudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.
d) Soit la fonction g définie sur 0; par g ( x)  x ²  x. On appelle  sa
 
courbe représentative dans le repère (O; i ; j ) . Préciser les positions relatives des
courbes c et  .
e) Calculer la limite en   de g  f . Qu’en résulte-t-il pour les courbes C et  .
f) Tracer  et C.
Exercice 4 : On définit deux suites u et v par u 0  16, v0  7 et pour tout entier naturel
1

u n1  5 (2u n  3vn )
n: 
1
 vn 1  (u n  5vn )
6

1. On appelle w la suite définie pour tout entier naturel n par : wn  vn  u n .
a) Monter que w est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la
raison.
b) Déterminer la limite de la suite w .
2. a) Monter que la suite u est croissante.
b) Montrer que la suite v est décroissante.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, u 0  u n  vn  v0 .
d) Dire pourquoi les deux suites u et v convergent vers le même réel l .
3. On appelle t la suite définie pour tout entier naturel n par : t n  5u n  18vn .
a) Montrer que t est une suite constante. Déterminer cette constante.
b) Déterminer alors la valeur de l .
Exercice 5 : Cet exercice est constitué de 5 propositions qui peuvent être vraies ou
fausses. Toute bonne réponse est bonifiée 1 point et toute mauvaise réponse est pénalisée
1 point. La note minimale de cet exercice est 0.
Il n’est pas demandé d’explications pour répondre « vrai » ou « faux ».
Il est obligatoire de recopier sur votre copie la proposition, puis de répondre « vrai » ou
« faux » ou « absence de réponse ».
Soit f la fonction définie sur D   ;0  2; par : f ( x)  x ²  2 x .
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.
 f est décroissante sur  ;0 .
 La droite d’équation x = 1 est un axe de symétrie de (C).
 La droite d’équation y = x est asymptote à (C) lorsque x tend vers   .
 f est dérivable sur D.
 L’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse -1 est :
2
y
( x  3)  3.
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