TS Bac blanc de mathématiques mercredi 18

TS Bac blanc de mathématiques mercredi 18 février 2004.
Sans Spécialité mathématique.
Exercice 1 :
Deux milieux A et B sont séparés par une membrane poreuse. A l’instant
0t
, on
injecte 10 centigrammes d’une substance S dans le milieu A. Cette substance diffuse en
permanence entre les deux milieux, une partie étant éliminée vers l’extérieur.
Le réel positif
t
désignant le temps exprimé en heures, on appelle
)(ta
et
)(tb
les
quantités de substances S (en centigrammes) présentes à l’instant t, respectivement dans
les milieux A et B.
Les conditions initiales sont :
10)0( a
et
0)0( b
.
On admet que plus que les fonctions
)(: tata 
et
)(: tbtb 
sont définies et dérivables
sur
;0
et sont telles que :
)(2)(5)(' tbtata 
et
)(2)(2)(' tbtatb 
pour tout
0t
.
1. Calcul de
)(ta
et de
)(tb
:
On considère les fonctions
f
et
g
définies sur
;0
par :
)(2)()( tbtatf 
et
)()(2)( tbtatg 
.
a. Démontrer que, pour tout
0t
, on a :
)()(' tftf 
et
)(6)(' tgtg 
.
b. Résoudre les équations différentielles
yy '
et
yy 6' 
, puis déterminer
)(tf
et
)(tg
en tenant compte des conditions initiales
)0(f
et
)0(g
.
c. En déduire que, pour tout
0t
, on a :
tt eeta   28)( 6
et
tt eetb 6
44)(  
.
2. Etude comparée des quantités
)(ta
et
)(tb
:
a. Déterminer le sens de variation de la fonction
a
, ainsi que
)(lim ta
t
.
Dresser le tableau de variation de
a
.
b. ) Calculer
)(' tb
et montrer que
)(' tb
a le même signe que
t
e5 6
.
) Résoudre l’équation
06 5 t e
. On notera
0
t
la solution.
) Déterminer le signe de
t
e5 6
selon les valeurs de
t
,puis le sens de
variation de la fonction
b
.
) Déterminer
)(lim tb
t
, puis dresser le tableau de variation de
b
.
c. Dans un repère orthogonal, tracer les courbes des fonctions
a
et
b
sur
l’intervalle [0 ;2]. On prendra comme unités 10cm pour une heure en
abscisse et 1cm pour un centigramme en ordonnée.
Vérifier que ces deux courbes se coupent au point d’abscisse
0
t
, et placer
ce point.
Exercice 2 :
Dans le plan complexe P, muni d’un repère orthonormal direct
),,( vuO 
(unité : 2 cm), on
considère les points A, B, C, D d’affixes respectives
,2izA
,24 izB
izC24
et
1
D
z
.
1. a) Placer les points A, B, C, D sur une figure qui sera peu à peu complète.

b) Préciser la nature du triangle ABC.
2. On désigne par
f
l’application qui, à tout point M et P, d’affixe z et distinct de
A, associe le point M’ d’affixe :
iz iz
z2)24( '
.
a) Déterminer les images de B et C par
f
.
b) Déterminer l’ensemble
1
E
des points M d’affixe z tels que |z’| = 1.
Construire
1
E
.
c) Déterminer l’ensemble
2
E
des points M d’affixe z tels que z’ soit réel.
Construire
2
E
.
3. a) Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de -2i, on a :
(z’-1)(z+2i) = -4-4i.
b) Montrer que, pour tout point M, distinct de A, et dont l’image par
f
est notée
M’ on a :
2
4
5
),(),(
24'
'
kAMuDMu
AMDM
DM
c) Soit M un point du cercle C de centre A et de rayon 4. Prouver que son image
M’ par
f
, appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 3 : Soit la fonction
f
définie sur
;0
par
xx
xxxf ln1 ²)( 
.
On désigne par (C) la courbe représentative de
f
dans un repère orthogonal
);;( jiO 
. On
prendra 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.
1. On considère la fonction définie sur
;0
par :
xxxx ln²2)( 3
.
a) Etudier le sens de variation de . Déterminer les limites de aux bornes de
son ensemble de définition.
b) Démontrer que l’équation
0)( x
a une solution unique qu’on appellera .
Trouver le nombre entier naturel p tel que :
22 10).1(10.  pp 
.
c) En déduire le signe de
)(x
suivant les valeurs de x.
2. a) Déterminer la limite de la fonction
f
en .
b) Déterminer la limite de la fonction
f
en 0. Qu’en déduire pour la courbe
représentative de C ?
c) Etudier le sens de variation de la fonction
f
et dresser son tableau de variation.
d) Soit la fonction
g
définie sur
;0
par
.²)( xxxg 
On appelle sa
courbe représentative dans le repère
);;( jiO 
. Préciser les positions relatives des
courbes c et .
e) Calculer la limite en de
fg 
. Qu’en résulte-t-il pour les courbes C et .
f) Tracer et C.
Exercice 4 : On définit deux suites
u
et
v
par
7,16 00  vu
et pour tout entier naturel

n :
)5(
6
1
)32(
5
1
1
1
nnn
nnn
vuv
vuu
1. On appelle
w
la suite définie pour tout entier naturel n par :
.
nnn uvw 
a) Monter que
w
est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la
raison.
b) Déterminer la limite de la suite
w
.
2. a) Monter que la suite
u
est croissante.
b) Montrer que la suite
v
est décroissante.
c) En déduire que, pour tout entier naturel
00
,vvuun nn 
.
d) Dire pourquoi les deux suites
u
et
v
convergent vers le même réel
l
.
3. On appelle
t
la suite définie pour tout entier naturel n par :
nnn vut 185
.
a) Montrer que
t
est une suite constante. Déterminer cette constante.
b) Déterminer alors la valeur de
l
.
Exercice 5 : Cet exercice est constitué de 5 propositions qui peuvent être vraies ou
fausses. Toute bonne réponse est bonifiée 1 point et toute mauvaise réponse est pénalisée
1 point. La note minimale de cet exercice est 0.
Il n’est pas demandé d’explications pour répondre « vrai » ou « faux ».
Il est obligatoire de recopier sur votre copie la proposition, puis de répondre « vrai » ou
« faux » ou « absence de réponse ».
Soit
f
la fonction définie sur
 ;20;D
par :
xxxf 2²)( 
.
On note (C) la courbe représentative de
f
dans un repère orthonormal.
f
est décroissante sur
0;
.
 La droite d’équation x = 1 est un axe de symétrie de (C).
 La droite d’équation y = x est asymptote à (C) lorsque x tend vers .
f
est dérivable sur D.
 L’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse -1 est :
.3)3(
3
2 xy