Eléments de correction du DS nº1 - TS - 2015-2016 3 points

Eléments de correction du DS nº1 - TS - 2015-2016
EXERCICE 1 3 points -
Les suites ci-dessous sont définies sur N. Étudier la monotonie de chacune des suites.
1. un+1−un=n+1−1
n+1+2−n−1 n+2=n n+3−n−1 n+2=n(n+2)−(n−1)(n+3) (n+3)(n+2) =3 (n+2)(n+3) >0
ainsi unest croissante.
2. vn+1−vn=5(n+1)2−4(n+1)−(5n2−4n)=5(n2+2n+1)−4n−4−5n2+4n=10n+1>0
pour n∈Nainsi vnest croissante.
3. wn=3n+1
2n
Comme la suite est strictement positive à partir de n=2, on peut regarder
wn+1
wn=
3n+2
2n+1
3n+1
2n
=3n+2
2n+1×2n 3n+1=3 2>1 ainsi wnest croissante.
EXERCICE 2 3 points -
On considère la suite (un) définie pour tout n∈Npar :
u0=0 et un+1=pun+6
1. Conjecturer à l’aide de la calculatrice que (un) est bornée et trouver les bornes :
A l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que la suite semble majorée par 3 et mino-
rée par 0.
2. Montrer que (un) est bornée.
Démontrons par récurrence la propriété Pn: 0 ≤un≤3 pour n∈N
étape 1 : initialisation
n=0 donne 0 ≤u0=0≤3 est vraie, ainsi P0est vérifié
étape 2 : hérédité
Soit kun entier naturel quelconque.
On suppose que Pkest vrai, montrons alors que Pk+1est vrai
0≤uk≤3
6≤un+6≤9
p6≤pun+6≤p9=3 car la fonction racine carrée est croissante sur R+
0≤p6≤un+1≤3
ainsi Pk+1est vérifié
étape 3 : conclusion
La propriété Pnest initialisé avec n=0 et est héréditaire, ainsi d’après le principe de
récurrence, Pnest vrai pour tout n∈N:unest bornée par 0 et 3.
EXERCICE 5 Bonus -
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier par une propriété ou un contre-
exemple.
1. Une suite non majorée tend vers +∞.
FAUX, le contre-exemple un=(−1)nnn’est pas majoré et n’a pas de limite.
2. Une suite convergente est minorée.
VRAI, on sait que toute suite convergente est bornée, donc minorée
3. Une suite qui tend vers −∞ est majorée.
VRAI, puisque la suite tend vers −∞ alors tout les termes de la suite sont dans l’intervalle
]−∞;0]à partir d’un certain rang k. Soit la maximum M des termes d’indice inférieur à k.
Le plus grand des deux nombres Met 0 sera un majorant de la suite.
4. Une suite qui tend vers −∞ est minorée.
FAUX, le contre exemple suivant un=−nn’est pas minoré et a pour limite −∞

EXERCICE 3 4 points -
Déterminer les limites des suites suivantes lorsqu’elles existent.
1. un=n3−2n2+n−7=n3(1−2
n+1 n2−7 n3)
comme lim
n→+∞1−2
n+1 n2−7 n3=1
et
lim
n→+∞n3= +∞
par produit des limites, on obtient lim
n→+∞un= +∞
2. vn=4+n2
n+1=4+n2
n(1+1
n)=4+n
1+1
n
comme lim
n→+∞1+1
n=1
et
lim
n→+∞n= +∞
par quotient des limites, on obtient :
lim
n→+∞
n
1+1
n
=+∞
or par somme avec la constante 4, on obtient
lim
n→+∞vn=+∞
3. wn=n2−3n+2
n3+n=
n2(1−3
n+2 n2)
n3(1+1
n2)=
1−3
n+2 n2
n(1+1
n2)
comme
lim
n→+∞1+1
n2=1
et
lim
n→+∞n= +∞
par produit des limites, on obtient
lim
n→+∞n(1 +1
n2)=+∞
de plus
lim
n→+∞1−3
n+2 n2=1
ainsi par quotient des limites, on a
lim
n→+∞wn=0
4. hn=(−1)nsi n(n)
n+3
On sait que −1≤(−1)n≤1 et que −1≤si n(n)≤1, on a
−1≤(−1)nsi n(n)≤1
−1
n+3≤(−1)nsi n(n) n+3≤1 n+3
or
lim
n→+∞ −1
n+3=0 et lim
n→+∞
1
n+3=0
ainsi d’après le théorème des gendarmes, on a
lim
n→+∞hn=0
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EXERCICE 4-AMÉRIQUE DU SUD - 17 NOVEMBRE 2014 10 points -
On considère la suite numérique (un)définie sur Npar : 
u0=2
un+1= −1
2u2
n+3un−3
2pour tout n∈N
Partie A : Conjecture
1. u1=−1
2u2
0+3u0−3
2=−1 222+3×2−3 2=−2+6−3 2=5 2
u2=−1
2u2
1+3u1−3
2=−1 2µ5 2¶2
+3×5
2−3 2=−25 8+15 2−3 2=23 8
2. En s’aider de la calculatrice et du menu suite, j’obtiens
u3=383
128 ≈2,99219 et u4≈2,99997
3. On peut conjecturer que la suite (un) est croissante et qu’elle converge vers 3.
Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique (vn)définie pour tout entier naturel n, par : vn=un−3.
1. vn+1=un+1−3=−1
2u2
n+3un−3
2−3=−1 2u2
n+3un−9
2
v2
n=(un−3)2=u2 n−6un+9 donc
−1
2v2
n=−1
2¡u2
n−6un+9¢=−1
2u2
n+3un−9
2=vn+1
On a donc démontré que, pour tout entier naturel n,vn+1=−1
2v2
n.
2. Soit Pnla propriété −16vn60 pour n∈N.
étape 1 : initialisation v0=u0−3=2−3= −1 donc −16v060 ; la propriété est vraie au
rang 0.
étape 2 : hérédité Supposons la propriété vraie au rang p>0, c’est-à-dire −16vp60.
On sait que, pour tout p,vp+1=−1
2v2
p.
−16vp60=⇒06v2
p61=⇒−1
26−1 2v2
p60=⇒−1
26vp+160
Donc −16vp+160 et donc la propriété est vraie au rang p+1.
étape 3 : conclusion La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire; donc elle est
vraie pour tout entier naturel n.
Pour tout nde N,ona:−16vn60
3. a. Pour tout entier naturel n:vn+1−vn=−1
2v2
n−vn=−vnµ1
2vn+1¶
b. Pour tout n,vn60 donc −vn>0.
Pour tout n,−16vn60 donc −1
261 2vn60 et donc 1 261 2vn+161 ; donc 1 2vn+1>
0.
−vn>0
1
2vn+1>0
=⇒−vnµ1
2vn+1¶>0⇐⇒ vn+1−vn>0
Pour tout n,vn+1−vn>0, donc la suite (vn) est croissante.
4. La suite (vn) est croissante et majorée par 0 donc, d’après le théorème de la convergence
monotone, la suite (vn) est convergente.
5. On note `limite de la suite (vn). On admet que `∈[−1 ; 0]et vérifie l’égalité : `=−1
2`2.
On résout l’équation x= −1
2x2dont `est solution :
x=−1
2x2⇐⇒ 2x+x2=0⇐⇒ x(2+x)=0⇐⇒ x=0 ou x= −2
Mais on sait que `∈[−1; 0]donc ne peut pas correspondre à x=−2.
Donc `=0 et la limite de la suite (vn) est 0.
6. La suite (vn) est croissante et, pour tout n,un=vn+3 ; donc on peut dire que la suite (un)
est croissante.
La suite (vn) est convergente vers 0 donc, d’après les théorèmes sur les limites, on peut
dire que la suite (un) est convergente vers 3.
Les conjectures faites dans la partie A sont donc validées.
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