PGCD - lycée Beaussier

TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques
1
Chapitre 1
Arithmétique
Partie 5 : PGCD
Propriété/Définition : (PGCD)
On se donne deux entiers relatifs a et b non nuls.
L’ensemble des diviseurs positifs communs à a et b admet un plus grand élément que l’on
notera
(
)
;
PGCD a b
.
Démonstration :
Soit A l’ensemble des diviseurs positifs de a et B celui des diviseurs positifs de b.
On sait que A et B admettent un nombre fini d’éléments (c.f. propriété 1 de la partie divisibilité)
(P1)
L’ensemble des diviseurs positifs communs à a et b est l’ensemble
C A B
= ∩
.
C est non vide et contient l’entier 1, il contient de plus un nombre fini d’éléments par
(P1) ,
par suite C contient un plus grand élément ce qui démontre notre propriété.
Exemple :
En prenant a = 27 et b = -30. L’ensemble des diviseurs positifs de a est
{
}
1; 3 ; 9 ; 27
A = ,
celui des diviseurs positifs de b est
{
}
1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ;10 ;15 ; 30
B = .
L’ensemble des diviseurs positifs communs à a et b est
{
}
1; 3
C A B = ∩ = , son plus grand
élément est 3, donc
(
)
27 ; 30 3
PGCD
− =
.
Propriétés 1 :
On se donne deux entiers relatifs a et b non nuls. Alors
(
)
(
)
; ;
PGCD a b PGCD a b
=.
Démonstration :
Comme a et
a
ainsi que b et
b
ont même ensemble de diviseurs positifs, ils ont le même PGCD.
Remarque : La propriété précédente nous permet de restreindre l’étude du PGCD de deux
entiers relatifs à celle de leurs valeurs absolues.
En vertu de ceci, toutes les propriétés suivantes seront données pour a et b entiers naturels.
Propriétés 2 :
On se donne deux entiers naturels a et b non nuls. Alors :
•
(
)
1 ;
PGCD a b
≤
•
(
)
(
)
; ;
PGCD a b PGCD b a
=
•
(
)
1; 1
PGCD a
=
•
(
)
;
PGCD a a a
=
•
(
)
(
)
; et ;
PGCD a b a PGCD a b b
≤ ≤
• Si b divise a alors
(
)
;
PGCD a b b
=

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Démonstration : Le premier point découle du fait que 1 est un diviseur positif commun à a et b,
donc par définition
(
)
;
PGCD a b
est plus grand que celui-ci.
• Le deuxième point est évident.
• Comme l’ensemble des diviseurs positifs de 1 est
{
}
1
B=et puisque 1 est diviseur de a
alors le seul diviseur commun à 1 et a est
{
}
1
ce qui démontre le troisième point.
• Puisque tout diviseur positif de a est inférieur à a et puisque clairement a divise a,
alors le plus grand diviseur commun à a et a est a ce qui montre le quatrième point.
• L’ensemble A des diviseurs positifs de a admet a comme plus grand élément et comme
celui des diviseurs commun à a et b est contenu dans A alors
(
)
;
PGCD a b a
≤
.
On montre de même que
(
)
; .
PGCD a b b
≤
• Si b divise a et comme clairement b divise b, b est diviseur commun à a et b.
Ainsi
(
)
;
b PGCD a b
≤par définition même du PGCD. Maintenant d’après la propriété
précédente
(
)
;
PGCD a b b
≤
. On conclut donc que
(
)
;
b PGCD a b
=.
Exemple :
7 est un diviseur de 21 donc PGCD (7 ; 21) = 7
Avant de continuer nous aurons besoin du résultat suivant :
Théorème de Bachet / Bezout : (Admis)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Si
(
)
;
d PGCD a b
=alors il existe alors u et v entiers relatifs tels que
d au bv
= +
ou autrement dit
(
)
;
PGCD a b
est combinaison entière de a et b.
Démonstration :
• Remarquons que
(
)
;
PGCD a b
divise a et
(
)
;
PGCD a b
divise b donc
(
)
;
PGCD a b
divise
toute combinaison entière de a et b (voir la partie divisibilité, propriété 2)
• Posons
{
}
; ; avec 0
H au bv a b au bv
′ ′ ′ ′
= + ∈ ∈ + ≥
ℤ ℤ
l’ensemble des combinaisons entières
de a et b dont le résultat est positif.
H
est non vide, en effet quitte à prendre
1 et 0
u v
′ ′
= =
, on a
0
au bv a
′ ′
+ = >
car a est entier
naturel non nul. Ainsi
H
est une partie de
ℕ
non vide et contient des éléments strictement
positifs, elle admet donc un plus petit élément strictement positif noté m qui est donc une
combinaison entière de a et b, en ce sens posons
0
m au bv
= + >
(*) avec
u
et
v
entiers relatifs.
On en déduit par le premier point de notre démonstration que
(
)
;
PGCD a b
divise m et
donc
(
)
;
PGCD a b m
≤
(P1) (voir propriété 1 de la partie divisibilité).
• Maintenant effectuons la division euclidienne de a par m, on obtient alors l’existence
de deux entiers naturels q et r tels que avec 0
a mq r r m
= + ≤ <
et donc par (*) :
(
)
(
)
(
)
avec 0 1 avec 0
a au bv q r r m r qu a vq b r m
∈
∈
= + + ≤ < ⇔ = − + − ≤ <
ℤ
ℤ
.
r est donc une combinaison entière de a et b dont le résultat est positif et est strictement

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plus petite que m donc
0
r H r
∈ ⇒ =
par définition même de m. Par suite m divise a.
On montre de même que m divise b.
Finalement m est un diviseur commun à a et b et donc
(
)
;
PGCD a b m
≥
ce qui combiné avec
(P1) et (*) donne
(
)
; avec et entiers relatifs
PGCD a b m au bv u v = = + ce qu’on voulait montrer.
Remarque :
• Le théorème de Bachet / Bezout est un théorème d’existence, il ne donne aucune méthode
pratique permettant de déterminer les coefficients u et v
.
Celle-ci sera exposée dans la partie suivante (nombres premiers entre eux).
• La réciproque de ce théorème est fausse en général : ce n’est pas par ce qu’un entier naturel
d peut s’écrire sous la forme
d au bv
= +
avec u et v entiers relatifs que l’on peut en déduire
que
(
)
;
d PGCD a b
= . Par exemple :
(
)
(
)
12 5 8 7 4
da b
u v
= × + × −
mais
(
)
12 5;7
PGCD ≠.
Nous aboutissons désormais au très important :
Théorème fondamental : Ensemble des diviseurs communs de deux entiers (Admis)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
L’ensemble des diviseurs commun à a et b est l’ensemble des diviseurs de
(
)
;
PGCD a b
Démonstration :
On considère un diviseur d commun à a et b.
d divise toute combinaison entière de a et b (voir la partie divisibilité, propriété 2).
Par le théorème de Bachet/Bezout,
(
)
;
PGCD a b
est combinaison entière de a et b
donc d divise
(
)
;
PGCD a b
.
Maintenant si d est un diviseur de
(
)
;
PGCD a b
et comme
(
)
;
PGCD a b
divise a ainsi que b
alors d est un diviseur commun à a et b (
voir le quatrième point de la propriété 3/ du cours
sur la divisibilité). CQFD.
Propriété 3 : Théorème d’Euclide (Démonstration exigible)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Soient q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b
• Si r = 0 alors PGCD (a ; b) = b
• Si r ≠ 0 alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
Démonstration :
• Si r = 0, alors b divise a et le résultat découle du dernier point de la propriété 2.
• Si r ≠ 0, on a par division euclidienne
a b q r
= × +
avec q et r entiers naturels.
Comme PGCD (a ; b) divise a et b, il divise la combinaison entière
r a b q
= − ×
.
Il s’en suit que PGCD (a ; b) divise b et r et est donc un diviseur commun à b et r.
Par définition du PGCD, on déduit que PGCD (a ; b) ≤ PGCD (b ; r)
(1) .

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De manière analogue, PGCD (b ; r) divise b et r et divise donc la combinaison entière
b q r
× +
et donc divise a, il s’en suit que PGCD (b ; r) divise b et a et ainsi PGCD (b ; r)
divise PGCD (a ; b) . On conclut que PGCD (a ; b) ≥ PGCD (b ; r)
(2) d’où notre résultat
en combinant (1) et (2)
Exemple :
Pour trouver le PGCD de 1533 et 306, on peut écrire la division euclidienne de 1533 par 306 :
1533 = 306
×
5 + 3. On en déduit alors PGCD (1533 ; 306) = PGCD (306 ; 3)
Il est immédiat que PGCD (306 ; 3) = 3 car 3 divise 306.
Donc PGCD (1533 ; 306) = 3
Propriété 4 : Détermination pratique du PGCD, Algorithme d’Euclide. (Admis)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
On définit la suite
(
)
n
r
d'entiers naturels de la façon suivante :
•
0
r b
=
et
1
r
est le reste de la division euclidienne de a par b
• Pour n ≥ 1 : si
0
n
r
≠
, on définit
1
n
r
+
comme le reste de la division euclidienne de
1
n
r
−
par
n
r
Alors il existe un entier
0
n
tel que
0
0
n
r
≠
et
0
1
0
n
r
+
=
.
On a alors PGCD(a ; b) =
0
n
r
Démonstration :
• Si
1
0
r
=
alors b divise a et
(
)
0
;
PGCD a b b r
= =
d’après le dernier point de la propriété 2.
• Existence du rang
0
n
: si
0
n
r
≠
, comme
1
n
r
+
est le reste de la division euclidienne de
1
n
r
−
par
n
r
,
alors
1
0
n n
r r
+
≤ <
. On génère donc une suite
0 1
; ; ...; ; ...
n
r r r strictement décroissante d’entiers
naturels et par conséquent il existe un entier
0
n
tel que
0
0
n
r
≠
et
0
1
0
n
r
+
=
.
• Par le théorème d’Euclide, tant que
0
n
r
≠
,
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 1 0 1 1 2
0 0 1
0 0 1 1 2
'
'
; ; ; ;
Car r b Car a b q r Car r r q r
a r q r par construction
et en utilisant le
par construction
théorème d Euclide
et en utilisant le
théorème d Euclide
PGCD a b PGCD a r PGCD r r PGCD r r
= = × + = × +
⇔ = × +
= = =
(
)
(
)
0 0 0 0
2 1
0 0 1 0
0
2 1 1
'
... ; ;
n n n
n
n n n n
Car r r q r
par construction
et en utilisant le
théorème d Euclide
PGCD r r PGCD r r
− − −
− − −
= × +
= = =
.
Maintenant :
0
1
0
n
r
+
=
donc par construction,
0
n
r
divise
0
1
n
r
−
et par suite
(
)
0 0 0
1
;
n n n
PGCD r r r
−
=
d’après le dernier point de la propriété 2. On conclut que PGCD(a ; b) =
0
n
r
. CQFD.
Remarque :
En effectuant ainsi des divisions euclidiennes successives : de a par b, puis du diviseur par le reste, ...
le dernier reste non nul est le PGCD de a et de b. C'est l'algorithme d'Euclide.
Suivant les nombres a et b, le nombre d'itérations à effectuer peut être plus ou moins grand.
Sachant que PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a) on aura toujours intérêt à prendre b ≤ a.

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"A" :? → A
↵
"B" :? → B
↵
1 → R
While R > 0
↵
Int (A
÷
B) → Q
↵
A - B Q
×
→ R
↵
"Q" : Q
"R" : R
B → A
R → B
WhileEnd
↵
"PGCD=" : A
Exemple :
Pour déterminer le PGCD de 410258 et de 126
écrivons les divisions euclidiennes successives :
Pour déterminer le PGCD de 15648 et de 657
écrivons les divisions euclidiennes successives :
410258 = 126 x 3256 + 2 15648 = 657 x 23 + 537
126 = 2 x 63 + 0 657 = 537 x 1 + 120
537 = 120 x 4 + 57
Donc PGCD(410258 ; 126) = 2 120 = 57 x 2 + 6
57 = 6 x 9 + 3
6 = 3 x 2 + 0
Donc PGCD(15648 ; 657) = 3
Programmation de l’algorithme d’Euclide avec une calculatrice
Pour
obtenir
"
Taper ► puis sélectionner "
↵
Taper Exe
? ou
Taper Shift ►
IF Then
Else
IfEnd
while…
Taper Shift com ►►
Int
Taper OPTN ► num INT
≤ et =
Taper Shift ►► REL ►
Lbl
goto
Taper Shift JUMP puis
sélectionner Lbl ou goto
:
Taper Shift ►►
Reste nul : arrêt de l’algorithme
PGCD ( 15648 ; 657)
PRGM
PRGM
PRGM
PRGM
PRGM
Casio Texas
: Input "A ? ", A
: Input "B ? ", B
: 1→ R
: While R > 0
: int (A/B) → Q
: A-B
×
Q→ R
: Disp "Q", Q
: Pause
: Disp "R", R
: Pause
: B → A
: R → B
: End
: Disp "PGCD =", A