PGCD - lycée Beaussier

Chapitre 1
Arithmétique
Partie 5 : PGCD
Propriété/Définition : (PGCD)
On se donne deux entiers relatifs a et b non nuls.
L’ensemble des diviseurs positifs communs à a et b admet un plus grand élément que l’on
notera PGCD ( a ; b ) .
Démonstration :
Soit A l’ensemble des diviseurs positifs de a et B celui des diviseurs positifs de b.
On sait que A et B admettent un nombre fini d’éléments (c.f. propriété 1 de la partie divisibilité) (P1)
L’ensemble des diviseurs positifs communs à a et b est l’ensemble C = A ∩ B .
C est non vide et contient l’entier 1, il contient de plus un nombre fini d’éléments par (P1),
par suite C contient un plus grand élément ce qui démontre notre propriété.
Exemple :
En prenant a = 27 et b = -30. L’ensemble des diviseurs positifs de a est A = {1; 3 ; 9 ; 27} ,
celui des diviseurs positifs de b est B = {1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ;10 ;15 ; 30} .
L’ensemble des diviseurs positifs communs à a et b est C = A ∩ B = {1; 3} , son plus grand
élément est 3, donc PGCD ( 27 ; − 30 ) = 3 .
Propriétés 1 :
On se donne deux entiers relatifs a et b non nuls. Alors PGCD ( a ; b ) = PGCD ( a ; b ) .
Démonstration :
Comme a et a ainsi que b et b ont même ensemble de diviseurs positifs, ils ont le même PGCD.
Remarque : La propriété précédente nous permet de restreindre l’étude du PGCD de deux
entiers relatifs à celle de leurs valeurs absolues.
En vertu de ceci, toutes les propriétés suivantes seront données pour a et b entiers naturels.
Propriétés 2 :
On se donne deux entiers naturels a et b non nuls. Alors :
• 1 ≤ PGCD ( a ; b )
•
•
PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a )
•
•
PGCD ( a ; a ) = a
•
Si b divise a alors PGCD ( a ; b ) = b
PGCD (1; a ) = 1
PGCD ( a ; b ) ≤ a et PGCD ( a ; b ) ≤ b
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Démonstration : Le premier point découle du fait que 1 est un diviseur positif commun à a et b,
donc par définition PGCD ( a ; b ) est plus grand que celui-ci.
•
•
•
•
•
Le deuxième point est évident.
Comme l’ensemble des diviseurs positifs de 1 est B = {1} et puisque 1 est diviseur de a
alors le seul diviseur commun à 1 et a est {1} ce qui démontre le troisième point.
Puisque tout diviseur positif de a est inférieur à a et puisque clairement a divise a,
alors le plus grand diviseur commun à a et a est a ce qui montre le quatrième point.
L’ensemble A des diviseurs positifs de a admet a comme plus grand élément et comme
celui des diviseurs commun à a et b est contenu dans A alors PGCD ( a ; b ) ≤ a .
On montre de même que PGCD ( a ; b ) ≤ b.
Si b divise a et comme clairement b divise b, b est diviseur commun à a et b.
Ainsi b ≤ PGCD ( a ; b ) par définition même du PGCD. Maintenant d’après la propriété
précédente PGCD ( a ; b ) ≤ b . On conclut donc que b = PGCD ( a ; b ) .
Exemple :
7 est un diviseur de 21 donc PGCD (7 ; 21) = 7
Avant de continuer nous aurons besoin du résultat suivant :
Théorème de Bachet / Bezout : (Admis)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Si d = PGCD ( a ; b ) alors il existe alors u et v entiers relatifs tels que d = au + bv
ou autrement dit PGCD ( a ; b ) est combinaison entière de a et b.
Démonstration :
• Remarquons que PGCD ( a ; b ) divise a et PGCD ( a ; b ) divise b donc PGCD ( a ; b ) divise
toute combinaison entière de a et b (voir la partie divisibilité, propriété 2)
•
Posons H = {au ′ + bv′ ; a ∈ ℤ ; b ∈ ℤ avec au ′ + bv′ ≥ 0} l’ensemble des combinaisons entières
de a et b dont le résultat est positif.
H est non vide, en effet quitte à prendre u ′ = 1 et v′ = 0 , on a au ′ + bv′ = a > 0 car a est entier
naturel non nul. Ainsi H est une partie de ℕ non vide et contient des éléments strictement
positifs, elle admet donc un plus petit élément strictement positif noté m qui est donc une
combinaison entière de a et b, en ce sens posons m = au + bv > 0 (*) avec u et v entiers relatifs.
On en déduit par le premier point de notre démonstration que PGCD ( a ; b ) divise m et
donc PGCD ( a ; b ) ≤ m (P1) (voir propriété 1 de la partie divisibilité).
•
Maintenant effectuons la division euclidienne de a par m, on obtient alors l’existence
de deux entiers naturels q et r tels que a = mq + r avec 0 ≤ r < m et donc par (*) :
a = ( au + bv ) q + r avec 0 ≤ r < m ⇔ r = (1 − qu ) a + ( −vq ) b avec 0 ≤ r < m .
∈ℤ
∈ℤ
r est donc une combinaison entière de a et b dont le résultat est positif et est strictement
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plus petite que m donc r ∈ H ⇒ r = 0 par définition même de m. Par suite m divise a.
On montre de même que m divise b.
Finalement m est un diviseur commun à a et b et donc PGCD ( a ; b ) ≥ m ce qui combiné avec
(P1) et (*) donne PGCD ( a ; b ) = m = au + bv avec u et v entiers relatifs
ce qu’on voulait montrer.
Remarque :
•
Le théorème de Bachet / Bezout est un théorème d’existence, il ne donne aucune méthode
pratique permettant de déterminer les coefficients u et v.
Celle-ci sera exposée dans la partie suivante (nombres premiers entre eux).
•
La réciproque de ce théorème est fausse en général : ce n’est pas par ce qu’un entier naturel
d peut s’écrire sous la forme d = au + bv avec u et v entiers relatifs que l’on peut en déduire
que d = PGCD ( a ; b ) . Par exemple : 12
= 5 × ( 8 ) + 7 × ( −4 ) mais 12 ≠ PGCD ( 5;7 ) .
d
a
u
b
v
Nous aboutissons désormais au très important :
Théorème fondamental : Ensemble des diviseurs communs de deux entiers (Admis)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
L’ensemble des diviseurs commun à a et b est l’ensemble des diviseurs de PGCD ( a ; b )
Démonstration :
On considère un diviseur d commun à a et b.
d divise toute combinaison entière de a et b (voir la partie divisibilité, propriété 2).
Par le théorème de Bachet/Bezout, PGCD ( a ; b ) est combinaison entière de a et b
donc d divise PGCD ( a ; b ) .
Maintenant si d est un diviseur de PGCD ( a ; b ) et comme PGCD ( a ; b ) divise a ainsi que b
alors d est un diviseur commun à a et b (voir le quatrième point de la propriété 3/ du cours
sur la divisibilité). CQFD.
Propriété 3 : Théorème d’Euclide (Démonstration exigible)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Soient q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b
• Si r = 0 alors PGCD (a ; b) = b
• Si r ≠ 0 alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
Démonstration :
• Si r = 0, alors b divise a et le résultat découle du dernier point de la propriété 2.
• Si r ≠ 0, on a par division euclidienne a = b × q + r avec q et r entiers naturels.
Comme PGCD (a ; b) divise a et b, il divise la combinaison entière r = a − b × q .
Il s’en suit que PGCD (a ; b) divise b et r et est donc un diviseur commun à b et r.
Par définition du PGCD, on déduit que PGCD (a ; b) ≤ PGCD (b ; r) (1).
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De manière analogue, PGCD (b ; r) divise b et r et divise donc la combinaison entière
b × q + r et donc divise a, il s’en suit que PGCD (b ; r) divise b et a et ainsi PGCD (b ; r)
divise PGCD (a ; b) . On conclut que PGCD (a ; b) ≥ PGCD (b ; r) (2) d’où notre résultat
en combinant (1) et (2)
Exemple :
Pour trouver le PGCD de 1533 et 306, on peut écrire la division euclidienne de 1533 par 306 :
1533 = 306 × 5 + 3. On en déduit alors PGCD (1533 ; 306) = PGCD (306 ; 3)
Il est immédiat que PGCD (306 ; 3) = 3 car 3 divise 306.
Donc PGCD (1533 ; 306) = 3
Propriété 4 : Détermination pratique du PGCD, Algorithme d’Euclide. (Admis)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
On définit la suite ( rn ) d'entiers naturels de la façon suivante :
• r0 = b et r1 est le reste de la division euclidienne de a par b
• Pour n ≥ 1 : si rn ≠ 0 , on définit rn +1 comme le reste de la division euclidienne de rn −1 par rn
Alors il existe un entier n0 tel que rn ≠ 0 et rn +1 = 0 .
0
0
On a alors PGCD(a ; b) = rn
0
Démonstration :
• Si r1 = 0 alors b divise a et PGCD ( a ; b ) = b = r0 d’après le dernier point de la propriété 2.
•
Existence du rang n0 : si rn ≠ 0 , comme rn +1 est le reste de la division euclidienne de rn −1 par rn ,
alors 0 ≤ rn +1 < rn . On génère donc une suite r0 ; r1 ; ... ; rn ; ... strictement décroissante d’entiers
naturels et par conséquent il existe un entier n0 tel que rn ≠ 0 et rn +1 = 0 .
•
Par le théorème d’Euclide, tant que rn ≠ 0 ,
0
PGCD ( a ; b )
=
PGCD ( a ; r0 )
Car r0 = b
(
= ... = PGCD rn0 − 2 ; rn0 −1
=
PGCD ( r0 ; r1 )
Car a = b× q0 + r1
⇔ a = r0 × q0 + r1
par construction
et en utilisant le
théorème d ' Euclide
)
=
Car rn0 −2 = rn0 −1 × q n −1 + rn0
0
par construction
et en utilisant le
théorème d ' Euclide
0
=
PGCD ( r1 ; r2 )
Car r0 = r1 × q1 + r2
par construction
et en utilisant le
théorème d ' Euclide
(
)
PGCD rn0 −1 ; rn0 .
Maintenant : rn +1 = 0 donc par construction, rn divise rn −1 et par suite PGCD ( rn −1 ; rn ) = rn
0
0
0
0
0
0
d’après le dernier point de la propriété 2. On conclut que PGCD(a ; b) = rn . CQFD.
0
Remarque :
En effectuant ainsi des divisions euclidiennes successives : de a par b, puis du diviseur par le reste, ...
le dernier reste non nul est le PGCD de a et de b. C'est l'algorithme d'Euclide.
Suivant les nombres a et b, le nombre d'itérations à effectuer peut être plus ou moins grand.
Sachant que PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a) on aura toujours intérêt à prendre b ≤ a.
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Exemple :
Pour déterminer le PGCD de 410258 et de 126
écrivons les divisions euclidiennes successives :
410258 = 126 x 3256 + 2
126 = 2 x 63 + 0
Donc PGCD(410258 ; 126) = 2
Pour déterminer le PGCD de 15648 et de 657
écrivons les divisions euclidiennes successives :
15648 = 657 x 23 + 537
657 = 537 x 1 + 120
537 = 120 x 4 + 57
120 = 57 x 2 + 6
57 = 6 x 9 + 3
6=3x2+0
Donc PGCD(15648 ; 657) = 3
PGCD ( 15648 ; 657)
Reste nul : arrêt de l’algorithme
Programmation de l’algorithme d’Euclide avec une calculatrice
Casio
Texas
Pour
obtenir
"
↵
Taper ► puis sélectionner "
Taper Exe
Aller dans le menu Programme
Sélectionner New
PRGM
? ou
IF Then
Else
IfEnd
while…
Int
Taper Shift
►
PRGM
Taper Shift
com ►►
Taper OPTN ► num INT
PRGM
≤ et =
Taper Shift
Lbl
goto
Taper Shift
JUMP puis
sélectionner Lbl ou goto
►► REL ►
PRGM
"A" :? → A ↵
"B" :? → B ↵
1→R
While R > 0 ↵
Int (A ÷ B) → Q ↵
A - B× Q → R ↵
"Q" : Q
"R" : R
B→A
R→B
WhileEnd ↵
"PGCD=" : A
: Input "A ? ", A
: Input "B ? ", B
: 1→ R
: While R > 0
: int (A/B) → Q
: A-B × Q→ R
: Disp "Q", Q
: Pause
: Disp "R", R
: Pause
:B→A
:R→B
: End
: Disp "PGCD =", A
PRGM
:
Taper Shift
►►
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Propriété 5 :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls et k un entier relatif non nul
On a alors : PGCD ( ka ; kb ) = k × PGCD ( a ; b )
Démonstration :
Si k est un entier naturel non nul :
Par le théorème de Bachet/Bezout il existe deux entiers relatifs u et v tels que :
PGCD ( a ; b ) = au + bv et en multipliant par k : k × PGCD ( a ; b ) = ( ka ) u + ( kb ) v .
Comme maintenant PGCD ( ka ; kb ) divise la combinaison entière ( ka ) u + ( kb ) v , alors PGCD ( ka ; kb )
divise k × PGCD ( a ; b ) qui est entier naturel. On en déduit que PGCD ( ka ; kb ) ≤ k × PGCD ( a ; b ) (1).
Ensuite, PGCD ( a ; b ) divise a et b donc k × PGCD ( a ; b ) est un diviseur commun à ka et kb
(voir le cinquième point de la propriété 3 de la partie divisibilité)
Par définition du PGCD on obtient k × PGCD ( a ; b ) ≤ PGCD ( ka ; kb ) ce qui combiné avec (1) démontre le
résultat annoncé.
Si k est un entier relatif non nul :
Comme PGCD ( ka ; kb ) = PGCD ( ka ; kb ) = PGCD ( k a ; k b ) , on obtient le résultat en utilisant ce
Propriété 1
qui vient d’être précédemment démontré puisque k est entier naturel non nul.
EXERCICES SUR LE PGCD
Exercice 1
Déterminer
a/ PGCD(23452; 3)
b/ PGCD(8415 ; 5)
c/ PGCD(3216 ; 6)
Exercice 2
Démontrer que le PGCD de deux entiers naturels non nuls et consécutifs est égal à 1.
Exercice 3
En utilisant l'algorithme d'Euclide déterminer :
a/ PGCD (567 ; 1040) b/ PGCD (2376 ; 13475)
Exercice 4
Trouver le PGCD de 492480 et 165888.
492480
sous la forme d'une fraction irréductible.
En déduire l'écriture de la fraction
165888
Exercice 5
Soit n un entier naturel. Déterminer suivant les valeurs de n PGCD ( 3n + 4 ; n + 1)
Exercice 6
Soit n un entier naturel, on note : a = 2n + 8 et b = 3n + 15 . On pose δ = PGCD ( a; b ) .
1/ Démontrer que pour tout entier naturel n, δ divise 6.
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2/ Déterminer l’ensemble des entiers naturels pour lesquels δ = 6 .
Exercice 7
Soit n un entier naturel. Déterminer suivant les valeurs de n : PGCD ( n 2 + 5n + 7 ; n + 1) .
Exercice 8
Déterminer l'ensemble des diviseurs communs à 656 et 312
Exercice 9
Soient a et b deux entiers naturels non nuls tels que b < a
Démontrer que PGCD (a ; b) = PGCD (a - b ; b)
En utilisant cette propriété, déterminer PGCD (3587 ; 2743).
Exercice 10
Soit p un entier naturel. On sait que 17085 ≡ 12 (p) et 5399 ≡ 2 (p). Déterminer p.
Exercice 11
On dispose d'une plaque rectangulaire dont les dimensions sont 735 mm sur 504 mm
On veut découper dans cette plaque des carrés de coté x mm ( x ∈ ℕ ), sans qu'il y ait de
perte de matière.
Déterminer les valeurs de x pour lesquelles on peut réaliser un tel découpage.
Quelle est la valeur de x maximale et quel est dans ce cas le nombre de carrés découpés.
Exercice 12
1/ Déterminer le PGCD d des nombres a = 4420 et b = 2772.
2/ Déterminer les restes de la division par 5 des entiers : 12d, 12a, 12b.
Exercice 13
Déterminer tous les couples (a ; b) d'entiers naturels non nuls tels que
PGCD (a ; b) = 14 et a × b = 2940
Exercice 14
Déterminer tous les couples (a ; b) d'entiers naturels non nuls tels que
PGCD(a ; b) = 56 et a + b = 224.
Exercice 15
2
2
 x − y = 5
Déterminer tous les couples d’entiers naturels non nuls (x ; y) tels que 
 PGCD ( x ; y ) = 8
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